试卷 专题27《函数与线段》

专题27《函数与线段》

破解策略

常见的有三类问题：

1．距离问题

（1）点到直线的距离：如图，点P到直线l的距离，可线求出△PAB的面积，则该三角形AB边上的高线就是点P到直线l的距离．

（2）点到点的距离（线段长度）：

①若点，，则；

②若点A在直线上，点B在抛物线上，设点，，则，

当点A，B横坐标相同时，

当点A，B纵坐标相同时，．

2．线段定值问题

（1）单独的线段定值：线段的定值可以成点到点的定值．

（2）多个线段加、减、乘、除组合定值：

①通过两点间的距离公式表示出对应的线段，再代入多个线段加、减、乘、除组合的式子中，通过计算得出一个常数；

②通过全等或相似找出线段间的关系，进行加、减、乘、除、运算后得到一个常数．

3．线段垂直问题

（1）代数法：证明两条线段垂直时，可以将两条线段所在直线的表达式求出．

例如，，，则．

（2）几何法

①根据几何图形的性质证明．例如，根据等腰三角形三线合一，菱形的对角线互相垂直平分等性质进行证明；

②利用相似或全等的性质，将等角转移，从而得到90°角．

例题讲解

例1  如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，P是线段AB下方的抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作于点D．

（1）求a，b及sin∠ACP的值；

（2）求出线段PC，PD长的最大值．

解：（1）由，得到x＝－2，所以点A的坐标为．

由，得到x＝4,所以点B的坐标为．

因为抛物线经过A，B两点，

所以，

设直线AB与y轴交于点E，则点E的坐标为，AE＝．

因为PC//y轴，

所以∠ACP＝∠AEO．

所以sin∠ACP＝sin∠AEO＝．

（2）由（1）可知，抛物线的表达式为，

设点P的坐标为，点C的坐标为．

PC＝，

所以当m＝1时，PC有最大值．

在Rt△PCD中，PD＝PC·sin∠ACP，

因为，所以当m＝1时，PD有最大值．

例2  如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若A，B两点的横坐标分别是方程的两根，且∠DAB＝45°．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）若C点坐标为，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C，D到直线l的距离分别记为，试求的最大值．

解：（1）解方程得，

而，

则点A的坐标为，B的坐标为，

如图1，过点D作轴于点D1，则D1为AB的中点，

所以点D1的坐标为．

因为∠DAB＝45°，

所以AD1＝DD1＝2

所以点D的坐标为．

令抛物线的表达式为y＝a（x－1）2－2，因为抛物线过点A（－1，0），

所以0＝4a－2，得a＝，所以抛物线的表达式为y＝（x－1）2－2．

（2）由已知条件可得AC＝6，AD＝2，DC＝4，所以AC2＋AD2＝DC2，

所以∠CAD＝90°，如图，过A作AM⊥CD于点M．

因为AC·AD＝DC·AM，所以AM＝＝．

因为S△ADC＝S△APD＋S△APC，所以AC·AD＝AP·d1＋AP·d2，

d1＋d2＝≤＝24×＝4，即此时d1＋d2的最大值为4．

例3 已知：如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A在点B左侧，点C为抛物线与y轴的交点，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．

解  设直线AC的表达式为y＝mx＋3．

将点A的坐标代入得，

解得，

所以直线AC的表达式为．

所以∠CAO＝60°，D（0，1）．

设直线MN的表达式为y＝kx＋1，

所以点N的坐标为．

所以

将与y＝kx＋1联立得，

所以点M的横坐标为

过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则AG＝．

因为∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，所以AM＝2AG＝

故．

例4 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M（0，－1），与x轴交于A，B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△MAB的形状，并说明理由；

（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C，D两点，连结MC，MD，试判断是否MC⊥MD，并说明理由．

解：（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M（0，－1），

所以抛物线的表达式为y＝x2－1．

（2）△MAB是等腰直角三角形．理由如下：

因为点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（1，0），所以OA＝OB＝OM＝1．

所以∠AMO＝∠MAO＝∠BMO＝∠MBO＝45°，所以∠AMB＝90°，BM＝AM．

所以△MAB是等腰直角三角形．

（3）MC⊥MD．理由如下：

如图，分别过点C，D作y轴的平行线，分别交x轴于点E，F，过点M作x轴的平行线，交EC延长线于点G，交DF延长线于点H．

设点D的坐标为（m，m2－1），点C的坐标为（n，n2－1），

所以OE＝－n，CE＝1－n2，OF＝m，DF＝m2－1，因为OM＝1，所以CG＝n2，DH＝m2．

因为EG∥DH，所以＝，．即＝，所以mn＝－1，即m＝－．

因为＝＝－n，＝＝＝－n，所以＝．

因为∠CGM＝∠MHD＝90°，所以△CGM∽△MDH，所以∠CMG＝∠MDH．

因为∠MDH＋∠DMH＝90°，所以∠CMG＋∠DMH＝90°，

所以∠CMD＝90°，即MC⊥MD．

进阶训练

1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，），R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．

（1）若P是抛物线上的一个动点（如图1），求证：点P到点R的距离与点P到直线y＝－1的距离恒相等；

（2）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y＝－1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图2）．求证：PF⊥QF．

1．略．

【提示】（1）题意可得抛物线表达式为．

设点P的坐标为（x，），则PM＝．

由两点间距离公式得PR2＝（x－1）2＋．

（2）因为QN＝QR，PR＝PM，所以PQ＝PR＋QR＝PM＋QN．根据题意可得EF为梯形PMNQ的中位线，即EF＝（QV＋PM）＝PQ．所以EF＝EQ＝EP，即点F在以PQ为直径的圆上，所以PF⊥QF．

2、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，过动点P作PE⊥y轴于点E，交AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

答案：当EF最短时，点P的坐标是（）或（）

提示：如图，连结OD，因为四边形OFDE是矩形，所以OD＝EF，所以当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．根据OC＝OA，可以得到点P的纵坐标．

3、如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB＝3，tan∠AOB＝，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1，再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线经过点B，B1，A2．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：（1）抛物线的表达式为

（2）存在．点Q的坐标是（－1，－4）或（－3，－2）

提示：（2）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（），使点Q到直线BB1的距离为，连结BB1，过点Q作QD⊥BB1于点D，过Q作QE⊥X轴于点E，因为

所以x0＝－1或x0＝－3．所以这样的点Q的坐标是（－1，－4）或（－3，－2）．

4、如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D．

（1）求点A的坐标（用m表示）；

（2）求抛物线的表达式；

（3）设Q为抛物线上点P至点B之间的一个动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，证明：的值为定值．

答案：（1）点A的坐标为（3－m，0）；（2）抛物线的表达式为（3）略

提示：（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N，设点Q的坐标为（x，x2－2x＋1），则QM＝CN＝（x－1）2，MC＝QN＝3－x，因为m＝4，所以BC＝AC＝4，因为QM∥CE，所以△PQM∽△PEC，从而，即

得EC＝2（x－1）．因为QN∥FC．所以△BQN∽△BFC，从而，即得FC＝，因为AC＝4，所以，所以FC×（AC＋EC）的值为定值．

5、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE＝，且，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线l：经过点E，且与AB边相交于点F．若M是BE的中点，连结MF，求证：MF⊥BD．

答案：提示因为Rt△ABD∽RtODE．设OE＝3k，则OD＝4k，CE＝DE＝5k，AB＝OC＝8;，可得AD＝6k，OA＝BC＝BD＝10k，于是BE＝，解得k＝1，所以抛物线的表达式为，因为DF＝，BF＝AB－AF＝8－，∠BDE＝90°，M是BE的中点（斜边中线的性质），所以MF是线段DB的中垂线，故MF⊥BD