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试卷 2021年河北省石家庄外国语学校中考数学段考试卷（3月份）
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这是一份试卷 2021年河北省石家庄外国语学校中考数学段考试卷（3月份），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省石家庄外国语学校中考数学段考试卷（3月份）
一、选择题（本大题共有16个小题，共42分。第1--10每题3分，11---16每题2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣ B．x≥﹣ C．x≥ D．x≤
3．（3分）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）如图，点A、P在函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，则△ABO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（ ）
A．55° B．110° C．120° D．125°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（3分）若是关于x、y的方程组的解，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
9．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，给出如下结论：①a+b＞0；②b﹣a＞0；③﹣a＞b；④a＞﹣b；⑤|a|＞b＞0．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．下图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
13．（2分）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2）
14．（2分）△ABC的边长AB＝2，面积为1，直线PQ∥BC，分别交AB、AC于P、Q，设AP＝t，△APQ面积为S，则S关于t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
16．（2分）如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
二、填空题（本大题有3个小题，每题3分，共9分）
17．（3分）计算：|﹣|+（）﹣1＝ ．
18．（3分）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
19．（3分）对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围 ．
三、解答题（本大题有7个小题，20题7分，21-24题每题8分，25题9分，26题12分共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（7分）化简：（a﹣1）÷（）•a．
21．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
22．（8分）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，
②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，
③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，
④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．
…
（1）请写出：
算式⑤ ；
算式⑥ ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
23．（8分）如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）则n＝ ，k＝ ，点B的坐标 ；
（2）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是 ；
（3）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
25．（9分）我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天可获利润2000元？
（3）销售一段时间后发现，当草莓销售单价定价高时每日所获利润反而比定价低时少，请你说明原因．并给出合理建议：如何制定销售单价，才能使销售单价越高则每天所获利润就越多．
26．（11分）如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于E，交AB于F，交AB延长线于G点，M是半圆O上任一点；
发现：AM的最大值为 ，S阴影＝ ．
如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．
思考：（1）若点C落在半圆O的直径GF上，求圆心O到AB的距离；
（2）若α＝90°，求半圆O落在正方形内部的弧长；
探究：在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，求点A到切点的距离．
【注：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝】
2021年河北省石家庄外国语学校中考数学段考试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有16个小题，共42分。第1--10每题3分，11---16每题2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，＝2是有理数；
【解答】解：＝2是有理数，是无理数，
故选：D．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣ B．x≥﹣ C．x≥ D．x≤
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可求得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣3x≥0，
解得x≤，
故选：D．
3．（3分）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【解答】解：∵8.15×1010表示的原数为81500000000，
∴原数中“0”的个数为8，
故选：B．
4．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．（3分）如图，点A、P在函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，则△ABO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得，过反比例函数图象的一点，向x轴、y轴作垂线，所构成的长方形的面积等于k的绝对值，原点与垂足所构成的三角形的面积为k的绝对值的一半．由此可得△ABO的面积等于k的绝对值的一半．
【解答】解：点 P（﹣1，2）在函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
设点A（a，b），则OA＝﹣a，AB＝b，
点 A（a，b）也在函数y＝（x＜0）的图象上，
k＝ab＝﹣2，
∴△ABO的面积为×OA×AB＝＝1；
故选：A．
6．（3分）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（ ）
A．55° B．110° C．120° D．125°
【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【解答】解：根据圆周角定理，得
∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝×250°＝125°．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
8．（3分）若是关于x、y的方程组的解，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】把x、y值代入方程组得到关于a和b的方程组，然后①+②即可求解a+b的值．
【解答】解：把代入方程组中，
得到，
①+②，得3a+3b＝9，
所以a+b＝3．
故选：A．
9．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，给出如下结论：①a+b＞0；②b﹣a＞0；③﹣a＞b；④a＞﹣b；⑤|a|＞b＞0．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤
【分析】根据数轴即可确定a，b的符号以及绝对值的大小，从而进行判断．
【解答】解：根据数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|．
①a+b＜0，原来的说法错误；
②b﹣a＝b+（﹣a）＞0正确；
③﹣a＞b正确；
④a＜﹣b，原来的说法错误；
⑤|a|＞b＞0正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF＝AF，EF＝AE，由矩形的对称性得：AE＝DE，得出EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，由勾股定理求出DF＝＝2x，再由三角函数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝，
∴EF＝AF，
∴EF＝AE，
∵点E是边BC的中点，
由矩形的对称性得：AE＝DE，
∴EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，
∴DF＝＝2x，
∴tan∠BDE＝＝＝；
故选：A．
11．（2分）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．下图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】解决此题的关键是借助p点所在横行的另一点（即左下角），利用等式的性质进行解答．
【解答】解：通过观察，我们不难看出此图题实质上是让2个点与5个点的和等于1个点与P所在位置的点的和．
再进一步算出P＝2+5﹣1＝6．所以P点的点数为6个．各个选项只有C选项符合．
故选：C．
12．（2分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
13．（2分）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2）
【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．
【解答】解：∵点A坐标为（0，a），
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，
∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），
∴点C、D关于y轴对称，
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，
∴点B、E也关于y轴对称，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标为（3，2）．
故选：C．
14．（2分）△ABC的边长AB＝2，面积为1，直线PQ∥BC，分别交AB、AC于P、Q，设AP＝t，△APQ面积为S，则S关于t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，由相似三角形的判定，易∴△APQ∽△ABC，由相似三角形的性质，可得S与t的关系，进而分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴（）2＝S，
∴（）2＝S，
∴S＝t2，0≤t≤2，
结合二次函数的图象，可得其图象为B．
故选：B．
15．（2分）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】由三角形中位线定理可得CD＝AP，即当AP为直径时，CD长最大，由直角三角形的性质可求AP的长，即可求解．
【解答】解：∵C，D分别是AB，BP的中点
∴CD＝AP，
当AP为直径时，CD长最大，
∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，
∴AP＝4．
∴CD长的最大值为2．
故选：B．
16．（2分）如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后根据平行线的性质即可求得．
【解答】解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC＝90°，∠DEB+∠DBE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC＝FG：AB，
即＝，
∴y＝﹣．
故选：A．
二、填空题（本大题有3个小题，每题3分，共9分）
17．（3分）计算：|﹣|+（）﹣1＝ 6 ．
【分析】首先计算负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣|+（）﹣1
＝3+3
＝6．
故答案为：6．
18．（3分）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 2﹣2 ．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如答图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，DH＝2，
∴IA＝＝2，
∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
19．（3分）对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围 42≤x＜51 ．
【分析】先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：根据题意得：5≤＜6，
解得：45≤x+3＜54，即42≤x＜51，
故答案为42≤x＜51．
三、解答题（本大题有7个小题，20题7分，21-24题每题8分，25题9分，26题12分共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（7分）化简：（a﹣1）÷（）•a．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣1）•a
＝﹣a2．
21．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200×＝240（人）；
（4）列表得：
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为＝．
22．（8分）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，
②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，
③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，
④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．
…
（1）请写出：
算式⑤ 40＝8×5 ；
算式⑥ 48＝8×6 ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
【分析】（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n；
（3）举反例，如42﹣22＝（4+2）（4﹣2）＝12；
【解答】解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，
132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6，
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n，
∵n为整数，
∴两个连续奇数的平方差能被8整除；
故答案为40＝8×5；48＝8×6；
（3）不成立；
举反例，如42﹣22＝（4+2）（4﹣2）＝12，
∵12不是8的倍数，
∴这个说法不成立；
23．（8分）如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）则n＝ 3 ，k＝ 12 ，点B的坐标 （2，0） ；
（2）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是 x≤﹣4或x＞0 ；
（3）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（4，n）代入y＝x﹣3即可求得n的值，从而求得A（4，3），代入y＝即可求得k的值，在一次函数y＝x﹣3中，令y＝0，解方程即可求得B的坐标；
（2）观察图象即可求得；
（3）作点B（2，0）关于y轴的对称点B′的坐标为（﹣2，0），连接AB′交y轴的交点为P，求出AB′解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣3经过点A（4，n），
∴n＝×4﹣3＝3，
∴A（4，3），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×3＝12，
在一次函数y＝x﹣3中，令y＝0，则＝x﹣3＝0，
解得x＝2，
∴B（2，0），
故答案为3，12，（2，0）；
（2）把y＝﹣3代入y＝，解得x＝﹣4，
由图象可知，当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0；
故答案为x≤﹣4或x＞0；
（3）存在，
如图，作点B（2，0）关于y轴的对称点B′的坐标为（﹣2，0），
设直线AB′的解析式为y＝ax+b，
把A（4，3），B′（﹣2，0）代入得，解得，
∴直线AB′的关系式为y＝x+1，
∴直线AB′与y轴的交点为P（0，1）．
24．（8分）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
25．（9分）我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天可获利润2000元？
（3）销售一段时间后发现，当草莓销售单价定价高时每日所获利润反而比定价低时少，请你说明原因．并给出合理建议：如何制定销售单价，才能使销售单价越高则每天所获利润就越多．
【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式，结合草莓销售不会亏本，即可得出x的取值范围；
（2）利用每天销售草莓可获得的利润＝销售每千克草莓获得的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）设每天所获利润为w元，利用每天销售草莓可获得的利润＝销售每千克草莓获得的利润×每天的销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将A（12，400），B（14，300）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣25x+700．
当y＝0时，﹣25x+700＝0，解得：x＝28，
∴10≤x≤28，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣25x+700（10≤x≤28）．
（2）依题意得：（x﹣10）（﹣25x+700）＝2000，
整理得：x2﹣38x+360＝0，
解得：x1＝18，x2＝20．
答：当该品种草莓的定价为18元/千克或20元/千克时，每天可获利润2000元．
（3）设每天所获利润为w元，则w＝（x﹣10）（﹣25x+700）＝﹣25x2+950x﹣7000＝﹣25（x﹣19）2+2025，
∵a＝﹣25＜0，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大；当x≥19时，w随x的增大而减小，
∴当单价不低于10元/千克且不超过19元/千克时，才能使销售单价越高则每天所获利润就越多．
26．（11分）如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于E，交AB于F，交AB延长线于G点，M是半圆O上任一点；
发现：AM的最大值为 13 ，S阴影＝ 64 ．
如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．
思考：（1）若点C落在半圆O的直径GF上，求圆心O到AB的距离；
（2）若α＝90°，求半圆O落在正方形内部的弧长；
探究：在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，求点A到切点的距离．
【注：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝】
【分析】发现：当点M与G重合时，AM的值最大最大值为8+5＝13，观察图象可知：S阴＝S正方形；
思考：（1）如图1中，若点C落在半圆O的直径GF上，设半圆B交AD于N，过O作OH⊥AD于H，由OQ∥BC，可得，由此即可解决问题；
（2）如图2中，若α＝90°，设半圆B交AD于N，过O作OH⊥AD于H，想办法求出圆心角即可解决问题；
探究：分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【解答】解：发现：当点M与G重合时，AM的值最大最大值为8+5＝13，
观察图象可知：S阴＝S正方形＝AB2＝64．
故答案为13，64．
思考：（1）如图1中，过O作OQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°
∴OQ∥BC，
∴，
∵CF＝，
∴，
∴OQ＝．
（2）如图2中，设半圆B交AD于N，过O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°
∵半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为90°，∴∠OFA＝90°
∴四边形HAFO是矩形，
∴AH＝OF，OH＝AF＝AB﹣BF＝3，AH∥OF，
∴sin∠HNO＝，
∴∠HNO＝37°，
∴∠HNO＝∠NOF＝37°，
∴半圆O落在正方形内部的弧长．
探究：①由思考（2）得当半圆O与AB相切时，切点为F，
∴A到切点的距离为AF＝3．
②如图3中，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，并延长RO交AB于T，
∴∠ORC＝90°
∵DC∥AB，
∴∠OTF＝90°，
∴四边形RCBT是矩形，
∴RT＝CB＝8，
∴OT＝8﹣5＝3，
∴FT＝，AT＝AB﹣BT＝AB﹣（BF﹣FT）＝7，连接AR，
∴AR＝，
③如图4中，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过F点作FS⊥PO，易得四边形PAFS是矩形，
∴PS＝AF＝3，AP＝SF，
∵SF＝，
∴AP＝．
2021年河北省石家庄外国语学校中考数学段考试卷（3月份）
一、选择题（本大题共有16个小题，共42分。第1--10每题3分，11---16每题2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣ B．x≥﹣ C．x≥ D．x≤
3．（3分）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）如图，点A、P在函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，则△ABO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（ ）
A．55° B．110° C．120° D．125°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（3分）若是关于x、y的方程组的解，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
9．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，给出如下结论：①a+b＞0；②b﹣a＞0；③﹣a＞b；④a＞﹣b；⑤|a|＞b＞0．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2分）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．下图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
13．（2分）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2）
14．（2分）△ABC的边长AB＝2，面积为1，直线PQ∥BC，分别交AB、AC于P、Q，设AP＝t，△APQ面积为S，则S关于t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2分）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
16．（2分）如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
二、填空题（本大题有3个小题，每题3分，共9分）
17．（3分）计算：|﹣|+（）﹣1＝ ．
18．（3分）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ．
19．（3分）对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围 ．
三、解答题（本大题有7个小题，20题7分，21-24题每题8分，25题9分，26题12分共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（7分）化简：（a﹣1）÷（）•a．
21．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
22．（8分）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，
②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，
③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，
④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．
…
（1）请写出：
算式⑤ ；
算式⑥ ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
23．（8分）如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）则n＝ ，k＝ ，点B的坐标 ；
（2）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是 ；
（3）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
25．（9分）我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天可获利润2000元？
（3）销售一段时间后发现，当草莓销售单价定价高时每日所获利润反而比定价低时少，请你说明原因．并给出合理建议：如何制定销售单价，才能使销售单价越高则每天所获利润就越多．
26．（11分）如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于E，交AB于F，交AB延长线于G点，M是半圆O上任一点；
发现：AM的最大值为 ，S阴影＝ ．
如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．
思考：（1）若点C落在半圆O的直径GF上，求圆心O到AB的距离；
（2）若α＝90°，求半圆O落在正方形内部的弧长；
探究：在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，求点A到切点的距离．
【注：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝】
2021年河北省石家庄外国语学校中考数学段考试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有16个小题，共42分。第1--10每题3分，11---16每题2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，＝2是有理数；
【解答】解：＝2是有理数，是无理数，
故选：D．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣ B．x≥﹣ C．x≥ D．x≤
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可求得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣3x≥0，
解得x≤，
故选：D．
3．（3分）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【解答】解：∵8.15×1010表示的原数为81500000000，
∴原数中“0”的个数为8，
故选：B．
4．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．（3分）如图，点A、P在函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，则△ABO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得，过反比例函数图象的一点，向x轴、y轴作垂线，所构成的长方形的面积等于k的绝对值，原点与垂足所构成的三角形的面积为k的绝对值的一半．由此可得△ABO的面积等于k的绝对值的一半．
【解答】解：点 P（﹣1，2）在函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
设点A（a，b），则OA＝﹣a，AB＝b，
点 A（a，b）也在函数y＝（x＜0）的图象上，
k＝ab＝﹣2，
∴△ABO的面积为×OA×AB＝＝1；
故选：A．
6．（3分）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（ ）
A．55° B．110° C．120° D．125°
【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【解答】解：根据圆周角定理，得
∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝×250°＝125°．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
8．（3分）若是关于x、y的方程组的解，则a+b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】把x、y值代入方程组得到关于a和b的方程组，然后①+②即可求解a+b的值．
【解答】解：把代入方程组中，
得到，
①+②，得3a+3b＝9，
所以a+b＝3．
故选：A．
9．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，给出如下结论：①a+b＞0；②b﹣a＞0；③﹣a＞b；④a＞﹣b；⑤|a|＞b＞0．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤
【分析】根据数轴即可确定a，b的符号以及绝对值的大小，从而进行判断．
【解答】解：根据数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|．
①a+b＜0，原来的说法错误；
②b﹣a＝b+（﹣a）＞0正确；
③﹣a＞b正确；
④a＜﹣b，原来的说法错误；
⑤|a|＞b＞0正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF＝AF，EF＝AE，由矩形的对称性得：AE＝DE，得出EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，由勾股定理求出DF＝＝2x，再由三角函数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝，
∴EF＝AF，
∴EF＝AE，
∵点E是边BC的中点，
由矩形的对称性得：AE＝DE，
∴EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，
∴DF＝＝2x，
∴tan∠BDE＝＝＝；
故选：A．
11．（2分）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．下图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】解决此题的关键是借助p点所在横行的另一点（即左下角），利用等式的性质进行解答．
【解答】解：通过观察，我们不难看出此图题实质上是让2个点与5个点的和等于1个点与P所在位置的点的和．
再进一步算出P＝2+5﹣1＝6．所以P点的点数为6个．各个选项只有C选项符合．
故选：C．
12．（2分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
13．（2分）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2）
【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．
【解答】解：∵点A坐标为（0，a），
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，
∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），
∴点C、D关于y轴对称，
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，
∴点B、E也关于y轴对称，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标为（3，2）．
故选：C．
14．（2分）△ABC的边长AB＝2，面积为1，直线PQ∥BC，分别交AB、AC于P、Q，设AP＝t，△APQ面积为S，则S关于t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，由相似三角形的判定，易∴△APQ∽△ABC，由相似三角形的性质，可得S与t的关系，进而分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴（）2＝S，
∴（）2＝S，
∴S＝t2，0≤t≤2，
结合二次函数的图象，可得其图象为B．
故选：B．
15．（2分）如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】由三角形中位线定理可得CD＝AP，即当AP为直径时，CD长最大，由直角三角形的性质可求AP的长，即可求解．
【解答】解：∵C，D分别是AB，BP的中点
∴CD＝AP，
当AP为直径时，CD长最大，
∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，
∴AP＝4．
∴CD长的最大值为2．
故选：B．
16．（2分）如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后根据平行线的性质即可求得．
【解答】解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC＝90°，∠DEB+∠DBE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC＝FG：AB，
即＝，
∴y＝﹣．
故选：A．
二、填空题（本大题有3个小题，每题3分，共9分）
17．（3分）计算：|﹣|+（）﹣1＝ 6 ．
【分析】首先计算负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣|+（）﹣1
＝3+3
＝6．
故答案为：6．
18．（3分）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 2﹣2 ．
【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．
【解答】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如答图：
∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴BC2+AC2＝AB2
∴∠C＝90°
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，
∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，
则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，
∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，
由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，
而AH+BH＝10，
∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，
∴AH＝6，DH＝2，
∴IA＝＝2，
∴点A到圆上的最近距离为2﹣2，
故答案为：2﹣2．
19．（3分）对于实数x，我们[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，则x的取值范围 42≤x＜51 ．
【分析】先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：根据题意得：5≤＜6，
解得：45≤x+3＜54，即42≤x＜51，
故答案为42≤x＜51．
三、解答题（本大题有7个小题，20题7分，21-24题每题8分，25题9分，26题12分共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（7分）化简：（a﹣1）÷（）•a．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣1）•a
＝﹣a2．
21．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示）
【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200×＝240（人）；
（4）列表得：
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为＝．
22．（8分）如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，
②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，
③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，
④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．
…
（1）请写出：
算式⑤ 40＝8×5 ；
算式⑥ 48＝8×6 ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
【分析】（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n；
（3）举反例，如42﹣22＝（4+2）（4﹣2）＝12；
【解答】解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝40＝8×5，
132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝48＝8×6，
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2×4n＝8n，
∵n为整数，
∴两个连续奇数的平方差能被8整除；
故答案为40＝8×5；48＝8×6；
（3）不成立；
举反例，如42﹣22＝（4+2）（4﹣2）＝12，
∵12不是8的倍数，
∴这个说法不成立；
23．（8分）如图，已知一次函数y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）则n＝ 3 ，k＝ 12 ，点B的坐标 （2，0） ；
（2）观察反比例函数y＝的图象，当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是 x≤﹣4或x＞0 ；
（3）在y轴上是否存在点P，使PA+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（4，n）代入y＝x﹣3即可求得n的值，从而求得A（4，3），代入y＝即可求得k的值，在一次函数y＝x﹣3中，令y＝0，解方程即可求得B的坐标；
（2）观察图象即可求得；
（3）作点B（2，0）关于y轴的对称点B′的坐标为（﹣2，0），连接AB′交y轴的交点为P，求出AB′解析式即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣3经过点A（4，n），
∴n＝×4﹣3＝3，
∴A（4，3），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×3＝12，
在一次函数y＝x﹣3中，令y＝0，则＝x﹣3＝0，
解得x＝2，
∴B（2，0），
故答案为3，12，（2，0）；
（2）把y＝﹣3代入y＝，解得x＝﹣4，
由图象可知，当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x＞0；
故答案为x≤﹣4或x＞0；
（3）存在，
如图，作点B（2，0）关于y轴的对称点B′的坐标为（﹣2，0），
设直线AB′的解析式为y＝ax+b，
把A（4，3），B′（﹣2，0）代入得，解得，
∴直线AB′的关系式为y＝x+1，
∴直线AB′与y轴的交点为P（0，1）．
24．（8分）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
25．（9分）我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天可获利润2000元？
（3）销售一段时间后发现，当草莓销售单价定价高时每日所获利润反而比定价低时少，请你说明原因．并给出合理建议：如何制定销售单价，才能使销售单价越高则每天所获利润就越多．
【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式，结合草莓销售不会亏本，即可得出x的取值范围；
（2）利用每天销售草莓可获得的利润＝销售每千克草莓获得的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）设每天所获利润为w元，利用每天销售草莓可获得的利润＝销售每千克草莓获得的利润×每天的销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将A（12，400），B（14，300）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣25x+700．
当y＝0时，﹣25x+700＝0，解得：x＝28，
∴10≤x≤28，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣25x+700（10≤x≤28）．
（2）依题意得：（x﹣10）（﹣25x+700）＝2000，
整理得：x2﹣38x+360＝0，
解得：x1＝18，x2＝20．
答：当该品种草莓的定价为18元/千克或20元/千克时，每天可获利润2000元．
（3）设每天所获利润为w元，则w＝（x﹣10）（﹣25x+700）＝﹣25x2+950x﹣7000＝﹣25（x﹣19）2+2025，
∵a＝﹣25＜0，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大；当x≥19时，w随x的增大而减小，
∴当单价不低于10元/千克且不超过19元/千克时，才能使销售单价越高则每天所获利润就越多．
26．（11分）如图1，四边形ABCD是正方形，且AB＝8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于E，交AB于F，交AB延长线于G点，M是半圆O上任一点；
发现：AM的最大值为 13 ，S阴影＝ 64 ．
如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．
思考：（1）若点C落在半圆O的直径GF上，求圆心O到AB的距离；
（2）若α＝90°，求半圆O落在正方形内部的弧长；
探究：在旋转过程中，若半圆O与正方形的边相切，求点A到切点的距离．
【注：sin37°＝，sin53°＝，tan37°＝】
【分析】发现：当点M与G重合时，AM的值最大最大值为8+5＝13，观察图象可知：S阴＝S正方形；
思考：（1）如图1中，若点C落在半圆O的直径GF上，设半圆B交AD于N，过O作OH⊥AD于H，由OQ∥BC，可得，由此即可解决问题；
（2）如图2中，若α＝90°，设半圆B交AD于N，过O作OH⊥AD于H，想办法求出圆心角即可解决问题；
探究：分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【解答】解：发现：当点M与G重合时，AM的值最大最大值为8+5＝13，
观察图象可知：S阴＝S正方形＝AB2＝64．
故答案为13，64．
思考：（1）如图1中，过O作OQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°
∴OQ∥BC，
∴，
∵CF＝，
∴，
∴OQ＝．
（2）如图2中，设半圆B交AD于N，过O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°
∵半圆O绕点F逆时针旋转，旋转角为90°，∴∠OFA＝90°
∴四边形HAFO是矩形，
∴AH＝OF，OH＝AF＝AB﹣BF＝3，AH∥OF，
∴sin∠HNO＝，
∴∠HNO＝37°，
∴∠HNO＝∠NOF＝37°，
∴半圆O落在正方形内部的弧长．
探究：①由思考（2）得当半圆O与AB相切时，切点为F，
∴A到切点的距离为AF＝3．
②如图3中，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，并延长RO交AB于T，
∴∠ORC＝90°
∵DC∥AB，
∴∠OTF＝90°，
∴四边形RCBT是矩形，
∴RT＝CB＝8，
∴OT＝8﹣5＝3，
∴FT＝，AT＝AB﹣BT＝AB﹣（BF﹣FT）＝7，连接AR，
∴AR＝，
③如图4中，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过F点作FS⊥PO，易得四边形PAFS是矩形，
∴PS＝AF＝3，AP＝SF，
∵SF＝，
∴AP＝．
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