试卷 专题10《平移》

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通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法，其中，通过平移构造辅助线比较线段大小的常见类型有：
（1）比较两条线段的大小关系，可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较，也可以把其中一条线段转化成三角形的两条边，再利用三角形三边关系比较大小；
（2）比较三条线段的大小关系，可以把三条线段平移到同一个三角形中，再利用三角形三边的关系来比较大小；
（3）比较四条线段的大小关系，可以转化成“飞镖形”或“8”字形（如图）来比较线段的大小关系．
AB＋AC>BD＋DC

AD＋BC>AB＋CD
例题讲解
例1 已知：在ABC中，P为BC边的中点．
（1）如图1，求证：；
（2）延长AB至点D，使得BD＝AC，延长AC至点E，使得CE＝AB，连结DE．
①如图2，连结BE，若BAC＝60，请你探究线段BE与AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：．
图1
图2
图3
证明（1）如图4，延长AP至点F，使得PF ＝AP，连结BF．
易证APC≌FPB，所以AC＝BF．
从而AB＋AC＝AB＋BF＞AF，
即．
图4
（2）①BE＝2AP．证明如下：
因为BD＋AB＝AC＋CE，BAC＝60，
所以ADE为等边三角形．
如图5，在DE上取一点G，使得DG＝DB，连结BG，则BDG为等三角形．
连结CG，PG，则四边形ABGC为平行四边形，所以点A，P，G共线，故AG＝2AP．
易证DGA≌DBE．则BE＝AG＝2AP．
图5
②如图6，过点C作CH∥AB，且CH＝BD，连结DH，HE．
则四边形BDHC为平行四边形，
易证ABC≌CEH，所以DH＝BC＝EH．
由三角形三边关系定理可得DH＋EH＞DE．
而当D，H，E三点共线时，有DH＋EH＝DE，所以．
图6
例2 在ABC中，ACB＝90，AC＞BC，D是AC边上的点，E是BC边上的点，AD＝BC，CD＝BE．点E与点B，C不重合，连结AE，BD交于点F，求BFE的度数．
解 如图，过点A作AGAC，使得AG＝CD＝BE，连结BG，GD．
可得四边形AEBG是平行四边形，则BG∥EA．
易证GAD≌DCB（SAS），
所以GD＝DB，GDA＝DBC．
所以GDA＋BDC＝90，
可得BGD是等腰直角三角形，
又因为BG∥EF，所以BFE＝GBD＝45．
例3 如图，ABC的三条中线分别为AD，BE，CF，若ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于 ．
答案 ．
解 如图，过点C作CP∥AD，且CP＝AD，连结AP，PF，EP，FE．
由辅助线作法，可得四边形ADCP为平行四边形，
所以AP＝CD，AP∥CD．
由D，E，F为ABC三边中点，可得AP＝EF，AP∥EF．
所以四边形AFEP为平行四边形，则PE＝AF＝FB，PE∥FB．
所以四边形PEBF为平行四边形，
则BE＝FP．
因而FPC为以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形，
所以．
进阶训练
1． 如图，两条长度都为1的线段AB和CD相交于点O，且AOC＝60，求证：AC＋BD1．
【提示】分别过点C，B作AB，AC的平行线，两线交于点E，连结DE，则四边形ABEC是平行四边形，CDE是等边三角形，从而AC＝BE，DE＝DC＝1，即得证．
已知：在Rt△ABC中，点D、E分别在CB、CA的延长线上，连接BE，AD交于点P，若AC＝BD，CD＝AE，求∠APE．
解：∠APF＝30°【提示】过点D作DF∥BE，且DF＝BE，连接EF、AP．则四边形EFBD为平行四边形，易证△AEF∽△DCA，从而∠FAD＝90°，AD＝AF，所以∠APE＝∠ADF＝30°
如图，已知△ABC的面积为1，分别以△ABC的三边AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE，ACFG，BCHI，连接EG、FH、ID，则以EG、FH、ID长度为三边的三角形的面积为________
解：3 【提示】如图，分别过点I，H作AB、AC的平行线，两线段交于点M，连AM、EM、GM．则△EGM是以EG、FH、ID的长度为三边的一个三角形，由“等腰直角三角形共顶点”中的结论知：S△DOI＝S△CFH＝S△EAG＝S△ADG