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高三数学导数专题 方法10 导数解决函数零点交点和方程根的问题
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方法10 导数解决函数零点交点和方程根的问题
一、单选题
1．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
参变分离后可根据直线与函数的图象有3个不同的交点可得实数的取值范围.
【解析】
问题等价于又三个不等的实数根，
令，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在和上为增函数，在上为减函数，
又，且极小值为，的图象如图所示：
因此与的图象有三个不同的交点时，.
故选：B.
【小结】
对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：
（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；
（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.
2．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数
B．若，则是增函数
C．当时，函数恰有三个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】C
【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得，则，,所以在上单调递增,且,所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则,将的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D
【解析】
对A, 的定义域为,且
.故A正确.
由条件可得，则，
所以在上单调递增,且
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.则
对B, 当时，，所以是增函数，故B正确.
对C,当时，由上可知, ，
所以是增函数,故不可能有3个零点.故C错误.
对D,当时，，由上可知在上单调递减，在上单调递增.
则，，
所以存在，使得，成立
则在上，，在上，，在上，.
所以函数在单调递增，在的单调递减，在单调递增.
所以函数恰有两个极值点，故D正确.
故选：C
【小结】
本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得，则，所以在上单调递增,且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.
3．已知函数（）与（）的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将问题转化为的图象与有两个公共点，即有两解，再构造新函数，根据的单调性和取值分析的取值即可得到结果.
【解析】
因为函数的图象关于直线对称，
所以两个图象的公共点在上，所以的图象与有两个公共点，
即有两解，即有两解，即有两解，
令，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
大致图象如下图所示：
所以，所以，
故选：A.
【小结】
函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：
已知，则有的零点个数方程根的数目函数与函数的图象的交点个数.
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在、，函数没有零点
B．任意，存在，函数恰有个零点
C．任意，存在，函数恰有个零点
D．任意，存在，函数恰有个零点
【答案】B
【分析】
利用零点存在定理可判断A选项的正误；分析出，讨论当时，利用函数的单调性与零点存在定理可判断B选项的正误；由B选项可判断C选项的正误；令，可知当函数恰有个零点，函数必有两个极值点，利用导数求得的极大值为负数，进而可判断D选项的正误.
【解析】
对于A选项，当时，，当时，时，
所以，对任意的、，函数必有零点，A选项错误；
对于B选项，，则，函数在上单调递增，
，，所以，存在使得.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
当时，对任意的，，此时函数单调递增，
由A选项可知，函数有唯一的零点，B选项正确；
对于C选项，任意，由B选项可知，当时，对任意的，，
此时函数单调递增，函数至多有个零点，C选项错误；
对于D选项，令，则函数的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，
若函数有三个零点，则函数必有两个极值点、，且满足，
，由题意可得，且，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当或时，，当时，.
所以，，
，
令，则，
由B选项可知，令，可得使得，则，可得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，
函数在上单调递减，，
当时，，所以，.
所以，，
因此，当时，不存在使得函数有个零点，D选项错误.
故选：B.
【小结】
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
分离参数有一个交点，设，利用导数求出的单调区间，若有且只有1个零点，所以，代入函数求解即可.
【解析】
函数有且只有一个零点，
有一个交点，
设，
则，
则，所以单调递增.
而，，
所以存在使得，
即，且当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
又因为且时，，时，，
且有且只有1个零点，所以.
由（）可得，即，
两边同时取自然对数得，整理得；
又，所以，
所以，
故选：B.
【小结】
本题考查了利用导数研究函数的零点，解题的关键是转化为求的单调区间，考查了转化为与划归的思想.
6．已知函数，若函数与函数的图象有且仅有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．） B． C． D．
【答案】C
【分析】
的图象是直线，的图象是的图象及关于轴对称的图象，直线与的图象要有三个交点，可求出直线与的图象相切时的斜率，然后结合图象利用分类讨论思想可得结论．
【解析】
易知函数的图象是过定点，斜率为的直线，设为；利用偶函数的图象关于轴对称的性质，作出的图象如图所示（左右两支），其中，结合图形易知函数与函数的图象有且仅有三个交点时，直线与左支有两个交点或与右支有两个交点.当时，直线与图象的右支相切于点为临界状态，且.设，，则有，解得，所以；当时，由于函数的图象关于轴对称，所以.
故选：C.
【小结】
本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题方法是数形结合思想，即作出函数图象与直线，观察它们交点个数，求出临界点的直线斜率，然后得出结论．
7．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，即可得答案；
【解析】
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，
，
令，，
在递增，在递减，
，且
令，，
令，则，，
，
当，，，
在递增，在递减，
且
，
所以直线与有两个交点，
可得的取值范围为：.
故选：D.
【小结】
利用参变全分离，再结合导数研究函数的图象特征，从而得到参数的取值范围，是常用的方法；本题若是采用半分离，图象不好作出，容易犯错.
8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出的导数，可得时函数单调递增，不满足题意，时，利用可得.
【解析】
可知的定义域为，，
当时，恒成立，单调递增，则不可能有两个零点；
当时，时，，单调递增；时，，单调递减，则在处取得极大值即最大值，
要满足有两个零点，则，解得，
综上，.
故选：D.
【小结】
本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：
（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；
（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；
（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；
（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.
9．已知函数，若恰有3个互不相同的实数，，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
根据题意，令，得到函数与直线共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断和时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果.
【解析】
因为，令，
由题意，函数与直线共有三个不同的交点；
当时，，则，
由解得；
所以时，，即函数单调递减；
时，，即函数单调递增；
所以，
又，，
所以与直线有且仅有两个不同的交点；
当时，，则，
由得，
所以当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
所以，
又当时，；当时，；
当时，，
所以为使与直线只有一个交点，
只需或，即或.
故选：D.
【小结】
本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型.
10．已知函数恰有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数式确定函数有一个零点1，然后变形为：两个零点是方程的两根．确定的单调性，同时求出时，的极限为，从而作出函数的图象，作直线，由图象可得时直线与的图象才可能有两交点．
【解析】
，
显然是函数的一个零点，因此另两个零点是方程的两根．
即函数且的图象与直线有两个交点，
直线过点，
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
∴．∴且时，，
∴在和上都是增函数，又，因此定义，这样新函数在上是增函数，
作出函数的图象，作直线，
显然只有，它们才可能有两个交点．
故选：A．
【小结】
本题解题关键是把零点转化为方程的解，再转化为函数图象与直线的交点，通过导数研究出新函数的性质，作出大致图象，可得直线与函数图象交点个数情况，从而得解．
11．已知函数有两个零点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求导，分类讨论，当时，函数在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，在上递增，在上递减，取得最大值，由解得结果即可得解.
【解析】
的定义域为，
，
当时，，函数在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
当时，由得，由得，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，
因为趋近于时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，
所以要使有两个零点，只需，因为，所以，
所以.
故选：D
【小结】
已知函数零点的个数求参数值(取值范围)常用的方法：利用导数判断函数的单调性，研究函数的极值与最值，根据函数变化趋势作出大致图象，通过图象直观分析解决问题.
12．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数，，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果.
【解析】
显然，不是函数的零点，令，得，
构造函数，，则，
令得到，令得到且，
即函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；
所以函数有极小值；
画出函数的图象，如图所示，
由图像可知，
当时，直线与的图象不可能有两个交点，
当，只需，的图象与直线即有两个不同的交点，
即函数恰有两个不同的零点，
∴的取值范围为.
故选：B.
【小结】
本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.
二、多选题
13．函数在上有唯一零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由，可得出，令，，利用导数得出函数在上为增函数，再令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可求得，可判断ACD选项的正误，再结合函数的单调性可判断B选项的正误.
【解析】
由，可得，即，
令，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
若函数在上有唯一零点，则.
所以，，由于函数在上单调递增，
，，即，，
所以，ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【小结】
利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.
14．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】BD
【分析】
本题首先可根据以及判断出A错误，然后根据当时的函数单调性、当时的函数单调性、以及判断出B正确和C错误，最后根据得出，根据函数单调性即可证得，D正确.
【解析】
函数的定义域为，
当时，，；
当时，，，
A项：，，
则曲线在处的切线方程为，即，A错误；
B项：当时，，函数是减函数，
当时，，函数是减函数，
因为，，所以函数恰有2个零点，B正确；
C项：由函数的单调性易知，C错误；
D项：当、时，
因为，
所以，
因为在上为减函数，所以，，
同理可证得当、时命题也成立，D正确，
故选：BD.
【小结】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于，则函数是增函数，若导函数值小于，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
15．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线
B．f(x)的极值点个数为3
C．f(x)的零点个数为4
D．若f()=f()(≠)，则+=0
【答案】ABD
【分析】
求导，令，即，令，，在同一坐标系中作出两函数的图像，得出导函数取得正负的区间，从而可得出原函数的单调性，再求出，，，可作出函数的图象，从而可得出选项.
【解析】
因为，所以，令，即，
令，，在同一坐标系中作出两函数的图像，
由图像得：当和时，，所以此时，所以在和 上单调递增；当和时，，所以此时，所以在和上单调递减；且，，，作出函数的图象如下图所示：
对于A选项：根据函数的图象，知A选项正确；
对于B：由图象得有3个不同的解，有3个极值点，故B正确；
对于C：当或时，，所以函数有2个零点，故C不正确；
对于D：因为，所以函数是偶函数，所以函数关于y轴对称，若，则，所以，即，故D正确.
故选：ABD.
【小结】
本题考查运用导函数求函数的切线方程，运用导函数研究函数的单调性，极值，零点，关键在于由导函数的正负，得出原函数所对应的单调性，从而得出原函数的图象趋势，运用数形结合的思想解决问题，属于中档题.
16．已知函数有两个零点、，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．的值随的增大而减小
C． D．
【答案】ABD
【分析】
由得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取、，且，设，其中；设，其中，利用函数的单调性结合不等式的基本性质得出，可判断B选项的正误.
【解析】
令，可得，构造函数，定义域为，.
当时， ，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，如下图所示：
由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，A选项正确；
当时，，由图象可得，，C选项错误，D选项正确；
任取、，且，
设，其中；设，其中.
由于函数在区间上单调递增，且，；
函数在区间上单调递减，且，.
由不等式的基本性质可得，则.
所以，的值随的增大而减小，B选项正确.
故选：ABD.
【小结】
在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定有两个实根时实数应满足的条件，并注意的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．
三、解答题
17．已知函数，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）求函数在上的零点个数．
【答案】（1）函数在上的单调递减；（2）有且只有一个零点．
【分析】
（1）由题设得，求导，可判断，故函数在上的单调递减．
（2）由题设，求，可判断，故函数在上单调递减，又，，可知函数在上有且只有一个零点．
【解析】
（1），则．
当时， ，，，即，
，故函数在上的单调递减．
（2），则
，
时，，，
又，且，
，故函数在上单调递减，
又，，
因此，函数在上有且只有一个零点．
【小结】
本题考查判断函数单调性，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
18．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数只有1个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间；（2）.
【分析】
（1）由得到，求得，然后由求解.
（2） 由得到，令，将问题转化为与函数的图象有且只有一个交点，利用导数法画出的大致图象，利用数形结合法求解.
【解析】
（1）的定义域是，
当时，，，
易知单调递增，且当时，，
所以当时，，当时，，
因此的单调递减区间是，单调递增区间．
（2）由，得，
令，
若函数只有一个零点，则直线与函数的图象有且只有一个交点．
，
令，则，
所以在上单调递减，
易知，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
易知当时，；当时，．
作出直线与函数的大致图象如图所示，
由图可知，若，则直线与函数的图象有且只有一个交点．
若，则当直线与函数的图象相切时，有且只有一个交点，
设切点为，则，得，．
故实数的取值范围是．
【小结】
函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
19．已知函数，．
（1）求的最值；
（2）若，求关于的方程（）的实数根的个数．
【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；当时，关于的方程（）的实数根的个数为1．
【分析】
（1）求出得出的单调区间，从而得出其最值.
（2）将问题转化为（）的图象与射线（）的交点个数，求出得出的单调区间，分析其交点情况，得出答案.
【解析】
（1）因为（），所以．
令，解得，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故，
当 时，
所以的最小值为，无最大值．
（2）因为（），所以（），
关于的方程（）的实数根的个数等价于函数（）的图象与射线（）的交点个数．
因为（），
令（），则，
所以在上单调递增，
又，，
故存在唯一的，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
因为当时，，
所以当时，．
因为，所以，
当时，函数的图象与射线（）有两个交点，
当时，函数的图象与射线（）有一个交点．
综上，当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；
当时，关于的方程（）的实数根的个数为1．
【小结】
根据方程的根的个数（或零点个数）求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
20．已知函数．
（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围；
（2）若在处有极大值，求当时的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由函数奇偶性，得到，得出，对其求导，分别讨论和两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；
（2）先对函数求导，根据极大值求出，根据函数单调性，即可求出值域.
【解析】
（1）∵是定义域为的奇函数，所以，且．
∴，
∴．
当时，，此时在上单调递减，
在上只有一个零点，不合题意．
当时，，解得，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∵在上有三个零点，∴且，
即，即，
而恒成立，∴．
所以实数的取值范围为．
（2），
由已知可得，且，
解得或
当，时，
，，
令，即，解得，
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极小值点，与题意不符．
当，时，，．
令，即，解得；
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极大值点，符合题意，故，．
又∵，∴在上单调递增，在上单调递减．
又，，．
所以在上的值域为．
【小结】
导数的方法求函数零点的一般步骤：
先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.
21．设函数．
（1）当时，讨论在内的单调性；
（2）当时，证明：有且仅有两个零点．
【答案】（1）在或上单调递减，在或上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．
【解析】
（1）当时，，
，
令，解得或，，
当时，解得或，当时，解得或，
在，或，上单调递减，在或上单调递增；
（2）的定义域为，
，
为偶函数，
，
有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，
，
当时，，恒成立，
在上单调递减，
，
，
在上有且只有一个零点，
当时，令，即，
可知存在唯一，使得，
当或时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
由，，可得，
当，，
，
在上有且只有一个零点，
综上所述，当时，有且仅有两个零点．
【小结】
1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.
22．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求证：函数在上恰有一个零点；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质直接判断即可求证；
（2）对求导，得，构造函数，利用导数的性质求出参数的范围即可
【解析】
（1）法一：易得：，
∴，
令，∴，
令，∴，
∴在上单调递减，且；
在上单调递增且有，，
故命题获证.
法二：易得：，
恒成立，
有唯一零点.
（2）易得，
令得，
∴在上单调递减且；在上单调递增且有，
∵函数有两个极值点，
∴.
【小结】
解题的关键在于求导得到后，构造函数，并通过对通过求导得到奇函数的极值点，进而求出的范围，难度属于中档题
23．已知函数，a为非零常数.
（1）求单调递减区间；
（2）讨论方程的根的个数.
【答案】（1）当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；（2）当时，原方程有且仅有一个解；当时，原方程有两个解.
【分析】
（1）求导，对分类讨论，利用可解得结果；
（2）转化为函数与的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.
【解析】
（1），
由得，
①若时，由得，所以的单调递减区间为；
②若时，由得，所以的单调递减区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为.
（2）因为方程等价于，令，
所以方程的根的个数等于函数与的图象的交点的个数，
因为，
由，得，
当，时，，在上单调递增；
当时，，所以在，上单调递减，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，.
所以，当时，原方程有且仅有一个解；
当时，原方程有两个解.
【小结】
讨论函数零点或方程根的个数的常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
24．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程在区间内无零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）．
【分析】
（1）求出函数的导数，根据导数的正负即可判断单调区间；
（2）可转化为在无零点，可得，讨论的范围结合的单调性和零点存在性定理求解.
【解析】
（1）依题意，．
令，解得，故函数的单调增区间是，
由，得，单调减区间是．
（2）原方程可化为，即．
令，，则．
是增函数，时，，
(ⅰ)当时，恒成立．
在上是增函数，，故原方程在内无零点．
(ⅱ)当时，由得，时，，当时
，故在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，在区间上恒小于0．∴，
下面讨论的正负；
令，．
则，
令是的导函数，
则，在上增函数．
．即，又
由零点存在性定理知，原方程在上有零点．即在上有零点．
综上所述，所求实数的取值范围是．
【小结】
本题考查利用导数讨论函数的零点问题，解题的关键是将题转化为在无零点，可以通过导数研究的单调性，注意讨论参数的范围结合零点存在性定理进行判断.
25．设为实数，已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）由得，对函数求导，根据导数的方法，即可求出单调区间；
（2）先对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，得到，为使有两个不同的零点，首先，解得，再判断和时，函数都有零点，即可得出结果.
【解析】
（1）当时，，
则，
令，则，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
即函数的单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）因为，
所以，
因为，
由得；由得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
因此，
要使有两个不同的零点，
则首先，即，所以，解得；
当时，，
令，，则，，
由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此在上单调递增，因此，即在上恒成立，
所以当时，，
此时；
当时，，
令，可得；
取且知，
故满足在和各有一个零点；
综上，的取值范围为.
【小结】
利用导数解决函数零点问题的方法：
1.直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；
2.构造新函数法：将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；
3.分离参变量法：即由分离参变量，得，研究直线与的图像的交点问题.
26．设函数.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)已知函数存在两个不同零点，，求满足条件的最小正整数的值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】
（1）由得，利用参变分离法得到，然后构造函数，利用导数分析实数的取值范围
（2）求导得到，对进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小正整数的值
【解析】
(1)由得
又
所以
所以
令
所以
所以函数在上单调递增
所以
所以，即实数的取值范围为
(2)因为
所以
若，则，函数在上单调递增，函数之多一个零点
所以若函数有两个两点，则
当时，函数在单调递减，在单调递增
得的最小值，因此函数有两个零点
则
又
所以
令，显然在上为增函数
且，
所以存在，
当时，
当时，
所以满足条件的最小正整数
又当时，，
所以时，有两个零点
综上所述，满足条件的最小正整数的值为
【小结】
解题的关键在于：（1）利用参变分离法，得到，然后构造函数，求导进行数形结合的分析求解；（2）对求导，然后对分类为：和，尤其在时，得到，进而构造函数，利用零点存在定理进行数形结合的分析来求解，本题难度属于困难
27．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时.
（1）求的解析式；
（2）求在内的“倍倒域区间”；
（3）若在定义域内存在“ 倍倒域区间”，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）当时，,求出，再根据求出可得解；
（2）设，根据在上单调递减，得解得结果即可得解；
（3）设在定义域内的倍倒域区间为，则或，
当时，根据在上的最大值推出，根据在为递减函数可得，，可得方程在区间上有两个不等的实数解，再构造函数利用导数可解得的范围，同理可求得当时，的范围.
【解析】
（1）因为为定义在上的奇函数，
所以当时，，，
因为，所以，
所以.
（2）因为在内的“倍倒域区间”，
设，因为在上单调递减，
所以，整理得，
解得，
所以在内的“倍倒域区间”为.
（3）设在定义域内的倍倒域区间为，则函数值的取值区间为，
所以或，
当时，因为在上的最大值为，所以，又，所以，
因为在上递减，所以在上递减，所以，，
即，所以，
所以方程在区间上有两个不等的实数解，
令，，
则，令，得，令，得，
所以在上递减，在上递增，
因为，，
所以要使方程在区间上有两个不等的实数解，只需，
即，解得，所以.
同理可得当时，.
综上所述：的取值范围是.
【小结】
第（3）问中当时，根据函数上的最大值和函数在上函数值的取值区间推出是解题关键.
28．已知函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）对任意，满足的图象与直线恒有且仅有一个公共点，求k的取值范围.
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）或.
【分析】
（1）首先求函数的导数，分和两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程，转化为，构造函数，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据有唯一解，确定的取值范围.
【解析】
（1）
当时，恒有，所以在单调递增；
当时，令，则，则 ，
（舍去），
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）原命题等价于对任意， 有且仅有一解，
即；
令 则，，令得
所以在上递减，在上递增，
当时，，所以在R上单调递增，
又当时，，所以；
当时，，所以.
所以在R上必存在唯一零点，此时；
当时，，同时又当时，，
所以；当时，，所以.
所以方程存在两根，即
且，
所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为
要使有方程唯一解，必有或，
又，
又 ，则，，所以在递减，
且时，，所以；
同理，，在递增，
，所以.
综上可得，或.
【小结】
本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.
29．已知函数f(x)=-mx-2，g(x)=-sinx- xcosx-1.
（1）当x≥时，若不等式f(x)> 0恒成立，求正整数m的值；
（2）当x≥0时，判断函数g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据: ≈4.8
【答案】（1）1；（2）2个，证明见解析.
【分析】
(1)将问题转化为时，不等式恒成立，令，用导数法求得其最小值即可.
(2) 易知，则0是的一个零点，由时，，得到无零点，当时，用导数法结合零点存在定理求解.
【解析】
(1) 因为当x≥时，若不等式f(x)> 0恒成立，
所以当时，不等式恒成立，
令，
则，
所以在上递增，
所以，
因为，所以正整数的值为1.
(2) 当时， 函数有2个零点.
证明如下：显然，所以0是的一个零点，
①当时，，所以无零点；
②当时，，
令，
则，
所以在上递增
又，
所以存在唯一使得.
所以当时，，故递减；当时，，故递增；
因为，所以，又，
所以存在唯一使得
综上得：当时， 函数有2个零点.
【小结】
用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
30．设函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为；（2）.
【分析】
（1）当时，，对求导判断单调性、即可求得极值；
（2）对求导，利用导函数得符号判断出的单调递增区间是，单调递减区间是，然后对参数进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数有2个零点时实数的取值范围.
【解析】
（1）的定义域是，
当时，，.
令，得或（舍）.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，极小值为.无极大值
（2）函数的定义域为，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
①令，得，
当，的最小值为，
即有唯一的零点；
②当时，的最小值为，
且，即不存在零点；
③当时，的最小值，
又，，所以函数在上有唯一的零点，
又当时，，，
令，则，解得，
可知在上递减，在上递增，
所以，所以，
所以函数在上有唯一的零点，
所以当时，有2个不同的零点，
综上所述：实数的取值范围是.
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
方法10 导数解决函数零点交点和方程根的问题
一、单选题
1．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
参变分离后可根据直线与函数的图象有3个不同的交点可得实数的取值范围.
【解析】
问题等价于又三个不等的实数根，
令，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在和上为增函数，在上为减函数，
又，且极小值为，的图象如图所示：
因此与的图象有三个不同的交点时，.
故选：B.
【小结】
对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：
（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；
（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.
2．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数
B．若，则是增函数
C．当时，函数恰有三个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】C
【分析】
对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得，则，,所以在上单调递增,且,所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则,将的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D
【解析】
对A, 的定义域为,且
.故A正确.
由条件可得，则，
所以在上单调递增,且
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.则
对B, 当时，，所以是增函数，故B正确.
对C,当时，由上可知, ，
所以是增函数,故不可能有3个零点.故C错误.
对D,当时，，由上可知在上单调递减，在上单调递增.
则，，
所以存在，使得，成立
则在上，，在上，，在上，.
所以函数在单调递增，在的单调递减，在单调递增.
所以函数恰有两个极值点，故D正确.
故选：C
【小结】
本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得，则，所以在上单调递增,且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.
3．已知函数（）与（）的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将问题转化为的图象与有两个公共点，即有两解，再构造新函数，根据的单调性和取值分析的取值即可得到结果.
【解析】
因为函数的图象关于直线对称，
所以两个图象的公共点在上，所以的图象与有两个公共点，
即有两解，即有两解，即有两解，
令，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
大致图象如下图所示：
所以，所以，
故选：A.
【小结】
函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：
已知，则有的零点个数方程根的数目函数与函数的图象的交点个数.
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在、，函数没有零点
B．任意，存在，函数恰有个零点
C．任意，存在，函数恰有个零点
D．任意，存在，函数恰有个零点
【答案】B
【分析】
利用零点存在定理可判断A选项的正误；分析出，讨论当时，利用函数的单调性与零点存在定理可判断B选项的正误；由B选项可判断C选项的正误；令，可知当函数恰有个零点，函数必有两个极值点，利用导数求得的极大值为负数，进而可判断D选项的正误.
【解析】
对于A选项，当时，，当时，时，
所以，对任意的、，函数必有零点，A选项错误；
对于B选项，，则，函数在上单调递增，
，，所以，存在使得.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
当时，对任意的，，此时函数单调递增，
由A选项可知，函数有唯一的零点，B选项正确；
对于C选项，任意，由B选项可知，当时，对任意的，，
此时函数单调递增，函数至多有个零点，C选项错误；
对于D选项，令，则函数的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，
若函数有三个零点，则函数必有两个极值点、，且满足，
，由题意可得，且，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当或时，，当时，.
所以，，
，
令，则，
由B选项可知，令，可得使得，则，可得.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，
函数在上单调递减，，
当时，，所以，.
所以，，
因此，当时，不存在使得函数有个零点，D选项错误.
故选：B.
【小结】
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．函数有且只有一个零点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
分离参数有一个交点，设，利用导数求出的单调区间，若有且只有1个零点，所以，代入函数求解即可.
【解析】
函数有且只有一个零点，
有一个交点，
设，
则，
则，所以单调递增.
而，，
所以存在使得，
即，且当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
又因为且时，，时，，
且有且只有1个零点，所以.
由（）可得，即，
两边同时取自然对数得，整理得；
又，所以，
所以，
故选：B.
【小结】
本题考查了利用导数研究函数的零点，解题的关键是转化为求的单调区间，考查了转化为与划归的思想.
6．已知函数，若函数与函数的图象有且仅有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．） B． C． D．
【答案】C
【分析】
的图象是直线，的图象是的图象及关于轴对称的图象，直线与的图象要有三个交点，可求出直线与的图象相切时的斜率，然后结合图象利用分类讨论思想可得结论．
【解析】
易知函数的图象是过定点，斜率为的直线，设为；利用偶函数的图象关于轴对称的性质，作出的图象如图所示（左右两支），其中，结合图形易知函数与函数的图象有且仅有三个交点时，直线与左支有两个交点或与右支有两个交点.当时，直线与图象的右支相切于点为临界状态，且.设，，则有，解得，所以；当时，由于函数的图象关于轴对称，所以.
故选：C.
【小结】
本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题方法是数形结合思想，即作出函数图象与直线，观察它们交点个数，求出临界点的直线斜率，然后得出结论．
7．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，即可得答案；
【解析】
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根，
，
令，，
在递增，在递减，
，且
令，，
令，则，，
，
当，，，
在递增，在递减，
且
，
所以直线与有两个交点，
可得的取值范围为：.
故选：D.
【小结】
利用参变全分离，再结合导数研究函数的图象特征，从而得到参数的取值范围，是常用的方法；本题若是采用半分离，图象不好作出，容易犯错.
8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出的导数，可得时函数单调递增，不满足题意，时，利用可得.
【解析】
可知的定义域为，，
当时，恒成立，单调递增，则不可能有两个零点；
当时，时，，单调递增；时，，单调递减，则在处取得极大值即最大值，
要满足有两个零点，则，解得，
综上，.
故选：D.
【小结】
本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：
（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；
（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；
（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；
（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.
9．已知函数，若恰有3个互不相同的实数，，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
根据题意，令，得到函数与直线共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断和时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果.
【解析】
因为，令，
由题意，函数与直线共有三个不同的交点；
当时，，则，
由解得；
所以时，，即函数单调递减；
时，，即函数单调递增；
所以，
又，，
所以与直线有且仅有两个不同的交点；
当时，，则，
由得，
所以当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
所以，
又当时，；当时，；
当时，，
所以为使与直线只有一个交点，
只需或，即或.
故选：D.
【小结】
本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型.
10．已知函数恰有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数式确定函数有一个零点1，然后变形为：两个零点是方程的两根．确定的单调性，同时求出时，的极限为，从而作出函数的图象，作直线，由图象可得时直线与的图象才可能有两交点．
【解析】
，
显然是函数的一个零点，因此另两个零点是方程的两根．
即函数且的图象与直线有两个交点，
直线过点，
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
∴．∴且时，，
∴在和上都是增函数，又，因此定义，这样新函数在上是增函数，
作出函数的图象，作直线，
显然只有，它们才可能有两个交点．
故选：A．
【小结】
本题解题关键是把零点转化为方程的解，再转化为函数图象与直线的交点，通过导数研究出新函数的性质，作出大致图象，可得直线与函数图象交点个数情况，从而得解．
11．已知函数有两个零点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求导，分类讨论，当时，函数在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，在上递增，在上递减，取得最大值，由解得结果即可得解.
【解析】
的定义域为，
，
当时，，函数在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
当时，由得，由得，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，
因为趋近于时，趋近于负无穷大，趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，
所以要使有两个零点，只需，因为，所以，
所以.
故选：D
【小结】
已知函数零点的个数求参数值(取值范围)常用的方法：利用导数判断函数的单调性，研究函数的极值与最值，根据函数变化趋势作出大致图象，通过图象直观分析解决问题.
12．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数，，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果.
【解析】
显然，不是函数的零点，令，得，
构造函数，，则，
令得到，令得到且，
即函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；
所以函数有极小值；
画出函数的图象，如图所示，
由图像可知，
当时，直线与的图象不可能有两个交点，
当，只需，的图象与直线即有两个不同的交点，
即函数恰有两个不同的零点，
∴的取值范围为.
故选：B.
【小结】
本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.
二、多选题
13．函数在上有唯一零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由，可得出，令，，利用导数得出函数在上为增函数，再令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可求得，可判断ACD选项的正误，再结合函数的单调性可判断B选项的正误.
【解析】
由，可得，即，
令，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
若函数在上有唯一零点，则.
所以，，由于函数在上单调递增，
，，即，，
所以，ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【小结】
利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.
14．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】BD
【分析】
本题首先可根据以及判断出A错误，然后根据当时的函数单调性、当时的函数单调性、以及判断出B正确和C错误，最后根据得出，根据函数单调性即可证得，D正确.
【解析】
函数的定义域为，
当时，，；
当时，，，
A项：，，
则曲线在处的切线方程为，即，A错误；
B项：当时，，函数是减函数，
当时，，函数是减函数，
因为，，所以函数恰有2个零点，B正确；
C项：由函数的单调性易知，C错误；
D项：当、时，
因为，
所以，
因为在上为减函数，所以，，
同理可证得当、时命题也成立，D正确，
故选：BD.
【小结】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于，则函数是增函数，若导函数值小于，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
15．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．直线y=0为曲线y=f(x)的一条切线
B．f(x)的极值点个数为3
C．f(x)的零点个数为4
D．若f()=f()(≠)，则+=0
【答案】ABD
【分析】
求导，令，即，令，，在同一坐标系中作出两函数的图像，得出导函数取得正负的区间，从而可得出原函数的单调性，再求出，，，可作出函数的图象，从而可得出选项.
【解析】
因为，所以，令，即，
令，，在同一坐标系中作出两函数的图像，
由图像得：当和时，，所以此时，所以在和 上单调递增；当和时，，所以此时，所以在和上单调递减；且，，，作出函数的图象如下图所示：
对于A选项：根据函数的图象，知A选项正确；
对于B：由图象得有3个不同的解，有3个极值点，故B正确；
对于C：当或时，，所以函数有2个零点，故C不正确；
对于D：因为，所以函数是偶函数，所以函数关于y轴对称，若，则，所以，即，故D正确.
故选：ABD.
【小结】
本题考查运用导函数求函数的切线方程，运用导函数研究函数的单调性，极值，零点，关键在于由导函数的正负，得出原函数所对应的单调性，从而得出原函数的图象趋势，运用数形结合的思想解决问题，属于中档题.
16．已知函数有两个零点、，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．的值随的增大而减小
C． D．
【答案】ABD
【分析】
由得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取、，且，设，其中；设，其中，利用函数的单调性结合不等式的基本性质得出，可判断B选项的正误.
【解析】
令，可得，构造函数，定义域为，.
当时， ，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，如下图所示：
由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，A选项正确；
当时，，由图象可得，，C选项错误，D选项正确；
任取、，且，
设，其中；设，其中.
由于函数在区间上单调递增，且，；
函数在区间上单调递减，且，.
由不等式的基本性质可得，则.
所以，的值随的增大而减小，B选项正确.
故选：ABD.
【小结】
在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定有两个实根时实数应满足的条件，并注意的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．
三、解答题
17．已知函数，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）求函数在上的零点个数．
【答案】（1）函数在上的单调递减；（2）有且只有一个零点．
【分析】
（1）由题设得，求导，可判断，故函数在上的单调递减．
（2）由题设，求，可判断，故函数在上单调递减，又，，可知函数在上有且只有一个零点．
【解析】
（1），则．
当时， ，，，即，
，故函数在上的单调递减．
（2），则
，
时，，，
又，且，
，故函数在上单调递减，
又，，
因此，函数在上有且只有一个零点．
【小结】
本题考查判断函数单调性，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
18．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数只有1个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间；（2）.
【分析】
（1）由得到，求得，然后由求解.
（2） 由得到，令，将问题转化为与函数的图象有且只有一个交点，利用导数法画出的大致图象，利用数形结合法求解.
【解析】
（1）的定义域是，
当时，，，
易知单调递增，且当时，，
所以当时，，当时，，
因此的单调递减区间是，单调递增区间．
（2）由，得，
令，
若函数只有一个零点，则直线与函数的图象有且只有一个交点．
，
令，则，
所以在上单调递减，
易知，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
易知当时，；当时，．
作出直线与函数的大致图象如图所示，
由图可知，若，则直线与函数的图象有且只有一个交点．
若，则当直线与函数的图象相切时，有且只有一个交点，
设切点为，则，得，．
故实数的取值范围是．
【小结】
函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
19．已知函数，．
（1）求的最值；
（2）若，求关于的方程（）的实数根的个数．
【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；当时，关于的方程（）的实数根的个数为1．
【分析】
（1）求出得出的单调区间，从而得出其最值.
（2）将问题转化为（）的图象与射线（）的交点个数，求出得出的单调区间，分析其交点情况，得出答案.
【解析】
（1）因为（），所以．
令，解得，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故，
当 时，
所以的最小值为，无最大值．
（2）因为（），所以（），
关于的方程（）的实数根的个数等价于函数（）的图象与射线（）的交点个数．
因为（），
令（），则，
所以在上单调递增，
又，，
故存在唯一的，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
因为当时，，
所以当时，．
因为，所以，
当时，函数的图象与射线（）有两个交点，
当时，函数的图象与射线（）有一个交点．
综上，当时，关于的方程（）的实数根的个数为2；
当时，关于的方程（）的实数根的个数为1．
【小结】
根据方程的根的个数（或零点个数）求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
20．已知函数．
（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围；
（2）若在处有极大值，求当时的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由函数奇偶性，得到，得出，对其求导，分别讨论和两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；
（2）先对函数求导，根据极大值求出，根据函数单调性，即可求出值域.
【解析】
（1）∵是定义域为的奇函数，所以，且．
∴，
∴．
当时，，此时在上单调递减，
在上只有一个零点，不合题意．
当时，，解得，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∵在上有三个零点，∴且，
即，即，
而恒成立，∴．
所以实数的取值范围为．
（2），
由已知可得，且，
解得或
当，时，
，，
令，即，解得，
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极小值点，与题意不符．
当，时，，．
令，即，解得；
令，即，解得或，
即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
所以是的极大值点，符合题意，故，．
又∵，∴在上单调递增，在上单调递减．
又，，．
所以在上的值域为．
【小结】
导数的方法求函数零点的一般步骤：
先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.
21．设函数．
（1）当时，讨论在内的单调性；
（2）当时，证明：有且仅有两个零点．
【答案】（1）在或上单调递减，在或上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出．
【解析】
（1）当时，，
，
令，解得或，，
当时，解得或，当时，解得或，
在，或，上单调递减，在或上单调递增；
（2）的定义域为，
，
为偶函数，
，
有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，
，
当时，，恒成立，
在上单调递减，
，
，
在上有且只有一个零点，
当时，令，即，
可知存在唯一，使得，
当或时，，，函数单调递增，
当时，，，函数单调递减，
由，，可得，
当，，
，
在上有且只有一个零点，
综上所述，当时，有且仅有两个零点．
【小结】
1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.
22．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求证：函数在上恰有一个零点；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质直接判断即可求证；
（2）对求导，得，构造函数，利用导数的性质求出参数的范围即可
【解析】
（1）法一：易得：，
∴，
令，∴，
令，∴，
∴在上单调递减，且；
在上单调递增且有，，
故命题获证.
法二：易得：，
恒成立，
有唯一零点.
（2）易得，
令得，
∴在上单调递减且；在上单调递增且有，
∵函数有两个极值点，
∴.
【小结】
解题的关键在于求导得到后，构造函数，并通过对通过求导得到奇函数的极值点，进而求出的范围，难度属于中档题
23．已知函数，a为非零常数.
（1）求单调递减区间；
（2）讨论方程的根的个数.
【答案】（1）当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；（2）当时，原方程有且仅有一个解；当时，原方程有两个解.
【分析】
（1）求导，对分类讨论，利用可解得结果；
（2）转化为函数与的图象的交点的个数，利用导数可求得结果.
【解析】
（1），
由得，
①若时，由得，所以的单调递减区间为；
②若时，由得，所以的单调递减区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为.
（2）因为方程等价于，令，
所以方程的根的个数等于函数与的图象的交点的个数，
因为，
由，得，
当，时，，在上单调递增；
当时，，所以在，上单调递减，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，.
所以，当时，原方程有且仅有一个解；
当时，原方程有两个解.
【小结】
讨论函数零点或方程根的个数的常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的个数；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
24．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程在区间内无零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；（2）．
【分析】
（1）求出函数的导数，根据导数的正负即可判断单调区间；
（2）可转化为在无零点，可得，讨论的范围结合的单调性和零点存在性定理求解.
【解析】
（1）依题意，．
令，解得，故函数的单调增区间是，
由，得，单调减区间是．
（2）原方程可化为，即．
令，，则．
是增函数，时，，
(ⅰ)当时，恒成立．
在上是增函数，，故原方程在内无零点．
(ⅱ)当时，由得，时，，当时
，故在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，在区间上恒小于0．∴，
下面讨论的正负；
令，．
则，
令是的导函数，
则，在上增函数．
．即，又
由零点存在性定理知，原方程在上有零点．即在上有零点．
综上所述，所求实数的取值范围是．
【小结】
本题考查利用导数讨论函数的零点问题，解题的关键是将题转化为在无零点，可以通过导数研究的单调性，注意讨论参数的范围结合零点存在性定理进行判断.
25．设为实数，已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）由得，对函数求导，根据导数的方法，即可求出单调区间；
（2）先对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，得到，为使有两个不同的零点，首先，解得，再判断和时，函数都有零点，即可得出结果.
【解析】
（1）当时，，
则，
令，则，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
即函数的单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）因为，
所以，
因为，
由得；由得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
因此，
要使有两个不同的零点，
则首先，即，所以，解得；
当时，，
令，，则，，
由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此在上单调递增，因此，即在上恒成立，
所以当时，，
此时；
当时，，
令，可得；
取且知，
故满足在和各有一个零点；
综上，的取值范围为.
【小结】
利用导数解决函数零点问题的方法：
1.直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；
2.构造新函数法：将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；
3.分离参变量法：即由分离参变量，得，研究直线与的图像的交点问题.
26．设函数.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)已知函数存在两个不同零点，，求满足条件的最小正整数的值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】
（1）由得，利用参变分离法得到，然后构造函数，利用导数分析实数的取值范围
（2）求导得到，对进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小正整数的值
【解析】
(1)由得
又
所以
所以
令
所以
所以函数在上单调递增
所以
所以，即实数的取值范围为
(2)因为
所以
若，则，函数在上单调递增，函数之多一个零点
所以若函数有两个两点，则
当时，函数在单调递减，在单调递增
得的最小值，因此函数有两个零点
则
又
所以
令，显然在上为增函数
且，
所以存在，
当时，
当时，
所以满足条件的最小正整数
又当时，，
所以时，有两个零点
综上所述，满足条件的最小正整数的值为
【小结】
解题的关键在于：（1）利用参变分离法，得到，然后构造函数，求导进行数形结合的分析求解；（2）对求导，然后对分类为：和，尤其在时，得到，进而构造函数，利用零点存在定理进行数形结合的分析来求解，本题难度属于困难
27．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时.
（1）求的解析式；
（2）求在内的“倍倒域区间”；
（3）若在定义域内存在“ 倍倒域区间”，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）当时，,求出，再根据求出可得解；
（2）设，根据在上单调递减，得解得结果即可得解；
（3）设在定义域内的倍倒域区间为，则或，
当时，根据在上的最大值推出，根据在为递减函数可得，，可得方程在区间上有两个不等的实数解，再构造函数利用导数可解得的范围，同理可求得当时，的范围.
【解析】
（1）因为为定义在上的奇函数，
所以当时，，，
因为，所以，
所以.
（2）因为在内的“倍倒域区间”，
设，因为在上单调递减，
所以，整理得，
解得，
所以在内的“倍倒域区间”为.
（3）设在定义域内的倍倒域区间为，则函数值的取值区间为，
所以或，
当时，因为在上的最大值为，所以，又，所以，
因为在上递减，所以在上递减，所以，，
即，所以，
所以方程在区间上有两个不等的实数解，
令，，
则，令，得，令，得，
所以在上递减，在上递增，
因为，，
所以要使方程在区间上有两个不等的实数解，只需，
即，解得，所以.
同理可得当时，.
综上所述：的取值范围是.
【小结】
第（3）问中当时，根据函数上的最大值和函数在上函数值的取值区间推出是解题关键.
28．已知函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）对任意，满足的图象与直线恒有且仅有一个公共点，求k的取值范围.
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）或.
【分析】
（1）首先求函数的导数，分和两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程，转化为，构造函数，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据有唯一解，确定的取值范围.
【解析】
（1）
当时，恒有，所以在单调递增；
当时，令，则，则 ，
（舍去），
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）原命题等价于对任意， 有且仅有一解，
即；
令 则，，令得
所以在上递减，在上递增，
当时，，所以在R上单调递增，
又当时，，所以；
当时，，所以.
所以在R上必存在唯一零点，此时；
当时，，同时又当时，，
所以；当时，，所以.
所以方程存在两根，即
且，
所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，极小值为
要使有方程唯一解，必有或，
又，
又 ，则，，所以在递减，
且时，，所以；
同理，，在递增，
，所以.
综上可得，或.
【小结】
本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.
29．已知函数f(x)=-mx-2，g(x)=-sinx- xcosx-1.
（1）当x≥时，若不等式f(x)> 0恒成立，求正整数m的值；
（2）当x≥0时，判断函数g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据: ≈4.8
【答案】（1）1；（2）2个，证明见解析.
【分析】
(1)将问题转化为时，不等式恒成立，令，用导数法求得其最小值即可.
(2) 易知，则0是的一个零点，由时，，得到无零点，当时，用导数法结合零点存在定理求解.
【解析】
(1) 因为当x≥时，若不等式f(x)> 0恒成立，
所以当时，不等式恒成立，
令，
则，
所以在上递增，
所以，
因为，所以正整数的值为1.
(2) 当时， 函数有2个零点.
证明如下：显然，所以0是的一个零点，
①当时，，所以无零点；
②当时，，
令，
则，
所以在上递增
又，
所以存在唯一使得.
所以当时，，故递减；当时，，故递增；
因为，所以，又，
所以存在唯一使得
综上得：当时， 函数有2个零点.
【小结】
用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
30．设函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为；（2）.
【分析】
（1）当时，，对求导判断单调性、即可求得极值；
（2）对求导，利用导函数得符号判断出的单调递增区间是，单调递减区间是，然后对参数进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数有2个零点时实数的取值范围.
【解析】
（1）的定义域是，
当时，，.
令，得或（舍）.
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，极小值为.无极大值
（2）函数的定义域为，
令，则，
所以当时，；当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
①令，得，
当，的最小值为，
即有唯一的零点；
②当时，的最小值为，
且，即不存在零点；
③当时，的最小值，
又，，所以函数在上有唯一的零点，
又当时，，，
令，则，解得，
可知在上递减，在上递增，
所以，所以，
所以函数在上有唯一的零点，
所以当时，有2个不同的零点，
综上所述：实数的取值范围是.
【小结】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
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