高考数学真题专项练习 专题35 不等式选讲（解析版）

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专题35  不等式选讲十年大数据*全景展示年 份题号考 点考 查 内 容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013[来源:学科网ZXXK][来源:Z|xx|k.Com]卷1文理24[来源:Zxxk.Com]不等式选讲[来源:Z*xx*k.Com]绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明 卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法 卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明 大数据分析*预测高考考  点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次 十年试题分类*探求规律考点120  绝对值不等式的求解1．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．（1）画出的图像； （2）求不等式的解集．【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：由，解得，∴不等式的解集为．2．（2020江苏23）设，解不等式．【答案】【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】或或，或或，∴解集为．3．（2016全国I文理）已知函数．（I）在图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【解析】(1)如图所示：(2) ，．当，，解得或，；当，，解得或，或；当，，解得或，或．综上，或或，，解集为．4．（2014全国II文理）设函数=（Ⅰ）证明：2；（Ⅱ）若，求的取值范围．【解析】（I）由，有，∴≥2．（Ⅱ）．当时＞3时，=，由＜5得3＜＜；当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3．综上：的取值范围是（，）．5．（2011新课标文理）设函数，其中．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．【解析】（Ⅰ）当时，可化为，由此可得  或．故不等式的解集为或．( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组  或，即或，因为，∴不等式组的解集为，由题设可得=，故．考点121  含绝对值不等式的恒成立问题6．（2020全国Ⅱ文理22）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．【解析】（1）当时，．当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或．（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．7．（2019全国II文理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，，∴不等式的解集为．（2）因为，∴．当，时，∴的取值范围是．8．（2018全国Ⅰ文理）已知．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时不等式成立，求的取值范围．【解析】(1)当时，，即故不等式的解集为．(2)当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，∴，故．综上，的取值范围为．9．（2018全国Ⅱ文理）设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围．【解析】(1)当时，可得的解集为．(2)等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，∴的取值范围是．10．（2018全国Ⅲ文理）设函数．(1)画出的图像；(2)当时，，求的最小值．【解析】(1)的图像如图所示．(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．11．（2018江苏）若，，为实数，且，求的最小值．【解析】由柯西不等式，得．因为，∴，当且仅当时，不等式取等号，此时，∴的最小值为4．12．（2017全国Ⅰ文理）已知函数，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而，∴的解集为．（2）当时，，∴的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为．13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得．∴的解集为．（2）由得，而，且当时，，故m的取值范围为．14．（2016全国III文理）已知函数（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，．解不等式，得，因此的解集为．（Ⅱ）当时，，当时等号成立，∴当时，等价于．  ① 当时，①等价于，无解．当时，①等价于，解得．∴的取值范围是．15．（2015全国I文理）已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，不等式化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．∴的解集为．（Ⅱ）有题设可得，，∴函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为．有题设得，故．∴的取值范围为．16．（2014全国I文理）若，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由．【解析】（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．∴的最小值为．（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．16．（2013全国I文理）已知函数=，=．（Ⅰ）当=-2时，求不等式＜的解集；（Ⅱ）设＞-1，且当∈[，)时，≤，求的取值范围．【解析】(Ⅰ)当=2时，不等式＜化为，设函数=，=，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是．（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，∴对∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范围为(1，]．17．（2012新课标文理）已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．【解析】(1)当时，或或或．(2)原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立．考点122  不等式的证明18．（2020全国Ⅲ文理23）设．（1）证明：； （2）用表示的最大值，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【思路导引】（1）根据题设条件两边平方，再利用均值不等式证明即可；（2）思路一：不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】（1）证明：即（2）证法一：不妨设，由可知，，，，当且仅当时，取等号，，即．证法二：不妨设，则而矛盾，∴命题得证．19．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【解析】（1）因为，又， 故有，∴．（2）因为为正数且，故有=24．∴．20．（2019全国III文理23）设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．∴的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．由题设知，解得或．21．（2017全国Ⅱ文理）已知，，，证明：(1)；(2) ．【解析】（1）．（2）∵，∴，因此．22．（2017江苏）已知，，，为实数，且，，证明．【解析】证明：由柯西不等式可得：，因为∴，因此．23．（2016全国II文理）已知函数，M为不等式的解集．（I）求M；（II）证明：当a，时，．【解析】（I）当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，．（Ⅱ）当时，有，即， 则，则，即，证毕．24．（2015全国II文理）设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若>，则；（Ⅱ）是 的充要条件．【解析】（Ⅰ）∵，，由题设，得，因此． （Ⅱ）（ⅰ）若，则，即．因为，∴，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若， 则，即．因为，∴，于是．因此．综上是的充要条件．25．（2013全国II文理）设均为正数，且，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）得，由题设得，即，∴，即．（Ⅱ）∵，∴，即，∴．