高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积同步测试题

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积同步测试题，共6页。试卷主要包含了证明等内容，欢迎下载使用。
教材习题点拨练习1．解：p·q＝|p||q|cos 60°＝8×6×＝24.2．解：与的夹角为∠A.当a·b<0时，cos A<0，所以∠A为钝角，△ABC是钝角三角形；当a·b＝0时，∠A＝90°，△ABC为直角三角形．3．解：　　|a|cos 45°＝3 |a|cos 90°＝0 |a|cos 135°＝－3练习1．解：|a|＝＝＝5，|b|＝＝，a·b＝－3×5＋4×2＝－7.2．解：a·b＝2×(－2)＋3×4＝8，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝22＋32－[(－2)2＋42]＝－7，a·(b＋c)＝(2，3)·(－3，2)＝2×(－3)＋3×2＝0，(a＋b)2＝[2＋(－2)]2＋(3＋4)2＝49.3．解：a·b＝3×5＋2×(－7)＝1.∴cos θ＝＝＝≈0.032 2.由计算器计算得θ≈88°.习题2.4A组1．解：a·b＝|a||b|cos θ＝3×4×cos 150°＝3×4×＝－6.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos 150°＋|b|2＝16＋9－12＝25－12.|a＋b|＝＝＝.2．解：如图，·＝||||cos C＝8×5×cos 60°＝20.(第2题图)  而·＝－·＝－20.3．解：|a＋b|＝，|a－b|＝.4．解：设a与b的夹角为θ.(1)当λ＝0时，等式显然成立．(2)当λ>0时，∵λa与b，a与λb的夹角都为θ，∴(λa)·b＝|λa||b|cos θ＝λ|a||b|cos θ，λ(a·b)＝λ|a||b|cos θ，a·(λb)＝|a||λb|cos θ＝λ|a||b|cos θ.∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)当λ<0时，∵λa与b，a与λb的夹角都为180°－θ，∴(λa)·b＝|λa||b|cos(180°－θ)＝－|λ||a||b|cos θ，λ(a·b)＝λ|a||b|cos θ＝－|λ||a||b|cos θ，a·(λb)＝|a||λb|cos(180°－θ)＝－|λ||a||b|cos θ，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．5．解：(1)由＝(5，2)－(－1，－4)＝(6，6)，＝(3，4)－(5，2)＝(－2，2)，·＝6×(－2)＋6×2＝0，所以⊥.所以△ABC是直角三角形．(2)由＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)，·＝21×1＋7×(－3)＝0，所以⊥，△ABC是直角三角形．(3)由＝(5，2)－(2，5)＝(3，－3)，＝(10，7)－(5，2)＝(5，5)，·＝3×5＋(－3)×5＝0，所以⊥，△ABC是直角三角形．6．解：cos θ＝＝＝，所以θ＝π.7．解：因为(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝61，所以a·b＝－6.所以cos θ＝＝－.所以θ＝π.8．解：因为|a＋b|＝16，所以a2＋2a·b＋b2＝162.所以a·b＝＝46.所以cos θ＝＝＝.所以θ≈55°.9．证明：由＝(5，－2)－(1，0)＝(4，－2)，＝(8，4)－(4，6)＝(4，－2)，∴＝.①∴四边形ABCD是平行四边形．又∵＝(8，4)－(5，－2)＝(3，6)，·＝4×3＋(－2)×6＝0，∴⊥.②由①②可知，四边形ABCD是矩形．10．解：a＝或a＝.11．解：或.B组1．证明：(1)a·b＝a·c⇒a·b－a·c＝0⇒a·(b－c)＝0⇒a⊥(b－c)．(2)a⊥(b－c)⇒a·(b－c)＝0⇒a·b－a·c＝0⇒a·b＝a·c.∴a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．2．解：如图所示，(第2题图)  ∠AOB可看作向量与的夹角，常采用向量的数量积来求．由·＝||||cos ∠AOB，||＝||＝1，∴cos ∠AOB＝＝cos αcos β＋sin αsin β，即cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β.3．证法一：利用作差法．由(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2abcd－b2d2＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．证法二：利用向量法证明，分别把(a，b)与(c，d)看作两向量的坐标．设＝(a，b)，＝(c，d)，与的夹角为θ，则·＝ac＋bd.又由数量积的定义·＝||||cos θ，即ac＋bd＝cos θ，两边平方，得(ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ.∵|cos2θ|≤1，∴(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ≤(a2＋b2)(c2＋d2)．∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．4．解：·的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关．证明：如图，取AB的中点D，连接CD，(第4题图)  则CD⊥AB，＝.又因为·＝||||cos θ，而cos ∠BAC＝，所以·＝||||＝||2.5．解：利用平面向量的数量积证明菱形的对角线互相垂直．证明：如图，菱形ABCD中，AB＝AD.(第5题图)  由于＝＋，＝－，可得·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0.所以⊥，即菱形的两条对角线互相垂直．其余略．