高中数学人教版新课标A必修42.3 平面向量的基本定理及坐标表示巩固练习

能 力 提 升

一、选择题

1．(2011～2012·北京西城高三第一学期期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为(　　)

A．5   B．6 

C．7   D．8

[答案]　C

[解析]　＝(3，y－1)，又∥a，

所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7.

2．(2013·陕西文)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)

A．－   B.

C．－或   D．0

[答案]　C

[解析]　本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－.

3．若点M(3，－2)，点N(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为(　　)

A．(－8,1)   B.

C.   D．(8，－1)

[答案]　B

[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，

＝(－8,1)，

∵＝，∴

解得x＝－1，y＝－.

4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(　　)

A．－6   B．6 

C．2   D．－2

[答案]　B

[解析]　a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，

由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，

∴λ＝6.

5．(2013·济南模拟)若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝(　　)

A．－   B. 

C．2   D．－2

[答案]　A

[解析]　2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)

a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)

∵(2a＋b)∥(a－mb)

∴－1＝(1＋3m)×2

∴6m＝－3，解得m＝－

6．(2011～2012·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．外心   B．垂心 

C．内心   D．重心

[答案]　D

[解析]　设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．

又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．

二、填空题

7．(2011·北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.

[答案]　1

[解析]　a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，

所以＝，解得k＝1.

8．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于________．

[答案]　tanα＝

[解析]　∵a∥b，∴3cosα－4sinα＝0.

∴4sinα＝3cosα.∴tanα＝.

9．若三点P(1,1)、A(2，－4)、B(x，－9)共线，则x等于________．

[答案]　3

[解析]　＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，因为与共线，所以1×(－10)－(－5)(x－1)＝0，解得x＝3.

三、解答题

10．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；

(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

[解析]　(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

∴解得

∴m＝，n＝.

(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．

又∵(a＋kc)∥(2b－a)，

∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.

∴k＝－.

11．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||.求点P的坐标．

[解析]　设点P的坐标为(x，y)，

由于点P在线段P1P2上，则有＝，

又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，

由题意得解得

∴点P的坐标为.

12．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝.

(1)求E，F的坐标；

(2)判断与是否共线．

[解析]　(1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，

依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．

由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，

即，解得，∴E(－，)．

由＝可知

(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．

∴，解得

∴F(，0)，

即E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0)．

(2)由(1)可知＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，(O为坐标原点)，

又＝(4，－1)，

∴＝(4，－1)＝，

即与共线．