2020-2021学年2.4 平面向量的数量积课后练习题

能 力 提 升

一、选择题

1．(2013内蒙古包头一中)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)

A.   B.

C.   D．4

[答案]　C

[解析]　易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝，

∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13，

∴|a＋3b|＝.

2．(2011～2012·广东佛山高三质检)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a、b的夹角为(　　)

A.   B. 

C.   D.

[答案]　B

[解析]　由于2a＋b＝(4,2)，

则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，

则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.

设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝.

又θ∈[0，π]，所以θ＝.

3．(2011～2012·重庆南开中学)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝(　　)

A.   B．1 

C.   D.

[答案]　B

[解析]　|a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×＝1.

4．(2012·全国高考重庆卷)设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)

A.   B. 

C．2   D．10

[答案]　B

[解析]　由a⊥c，得2x－4＝0　则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，

|a＋b|＝＝

[考点定位]　本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模长公式，解决问题的关键在于根据a⊥c，b∥c，得到x，y的值，只要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件，就不会出错，注意数字的运算。

5．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于(　　)

A.   B.

C.   D．(1,0)

[答案]　B

[解析]　方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则

将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，

∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝⇒y＝.

方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B.

6．(2011～2012·河北省正定中学模拟)已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为(　　)

A.－θ   B．θ－

C.＋θ   D．θ

[答案]　A

[解析]　

解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上

(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，

∴a与b的夹角为－θ.

解法二：cos〈a，b〉＝＝

＝－sinθ＝cos，

∵θ∈，∴－θ∈，

又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝－θ.

二、填空题

7．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是________．

[答案]　

[解析]　∵a与b的夹角为钝角，设为θ，则cosθ<0且cosθ≠－1，

∴解得m<－.

8．(2013·新课标理)已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.

[答案]　2

[解析]　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，

∴a·b＝，|b|2＝1，

∵b·c＝ta·b＋(1－t)b＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.

9．(2011～2012·金华十校)△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．

[答案]　3

[解析]　∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，

∴x≤1，∴－x≥－1，

∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，

∴y≥2.

∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.

三、解答题

10．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b和c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．

[解析]　(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.

∵a⊥c，∴3×4＋4y－0＝0.∴y＝－3.

∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．

(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，

n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，

设m，n的夹角为θ，则cosθ＝

＝＝＝－.

∵θ∈[0，π]，

∴θ＝，即m，n的夹角为.

11．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．

(1)试计算a·b及|a＋b|的值；

(2)求向量a与b夹角的余弦值．

[解析]　(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，

b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，

∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，

|a＋b|＝＝＝.

(2)由a·b＝|a||b|cosθ，

∴cosθ＝＝＝.

12．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．

[解析]　假设m、n的夹角能为60°，

则cos60°＝，

∴m·n＝|m||n|.①

又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，

∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.

∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②

|m||n|＝·＝k2＋1.③

由①②③，得2k＝(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0.

∵该方程无整数解．

∴m、n的夹角不能为60°.