人教版新课标A必修41.4 三角函数的图象与性质习题

能 力 提 升

一、选择题

1．y＝2sinx2的值域是(　　)

A．[－2,2]   B．[0,2]

C．[－2,0]   D．R

[答案]　A

[解析]　∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，

∴y＝2sinx2∈[－2,2]．

2．函数y＝是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

[答案]　A

[解析]　定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数．

3．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．－1　　　D．±1

[答案]　A

[解析]　解法一：易知y＝sinx在R上为奇函数，

∴f(0)＝0，∴a＝0.

解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即sin(－x)－|a|＝－sinx＋|a|，－sinx－|a|＝－sinx＋|a|.

∴|a|＝0，即a＝0.

4．(重庆高考)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是(　　)

A．y＝sin(2x＋)   B．y＝cos(2x＋)

C．y＝sin(x＋)   D．y＝cos(x＋)

[答案]　A

[解析]　C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A.

5．(陕西高考)对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是(　　)

A．f(x)在(，)上是递增的

B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2π

D．f(x)的最大值为2

[答案]　B

[解析]　由于函数y＝sinx在(，π)上是递减的，所以f(x)＝sin2x在(，)上是递减的，故A选项错误．

因为f(－x)＝sin2(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B选项正确．

6．函数y(x)＝－cos xln x2的部分图象大致是图中的(　　)

[答案]　A

[解析]　函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，

f(－x)＝－cos(－x)ln(－x)2＝－cos xln x2＝f(x)，

则函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项C和D；当x∈(0,1)时，cosx>0,0<x2<1，则ln x2<0，此时f(x)>0，此时函数f(x)的图象位于x轴的上方，排除选项B.

二、填空题

7．(西南大学附中2012－2013期中)函数f(x)＝2cosωx(ω>0)在x∈[－，]上的最大、最小值之和为0，则ω的最小值为________．

[答案]　3

8．(2012·长沙调研)已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是____________．

[答案]　[－，3]

[解析]　∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，

∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，

∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，

∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，

∴－≤sin(2x－)≤1，

∴－≤3sin(2x－)≤3，

即f(x)的取值范围是[－，3]．

9．(2011～2012·无锡高一检测)函数y＝sin(x－)，x∈[0，π]的值域为________．

[答案]　[－，1]

三、解答题

10．求函数y＝cos＋1的最大值，及此时自变量x的取值集合．

[解析]　∵x∈R，∴－1≤cos≤1.

∴≤cos＋1≤.

∴函数y＝cos＋1的最大值是.

此时2x－＝2kπ(k∈Z)，∴x＝kπ＋.

即此时自变量x的取值集合是

.

11．已知函数f(x)＝log|sinx|.

(1)求其定义域和值域；

(2)判断其奇偶性；

(3)求其周期；

(4)写出单调区间．

[解析]　(1)由|sinx|>0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．

即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

又0<|sinx|≤1，∴log|sinx|≥0.

∴函数的值域为[0，＋∞)．

(2)∵f(x)的定义域关于原点对称，

且f(－x)＝log|sin(－x)|＝log|－sinx|

＝log|sinx|＝f(x)．

∴f(x)为偶函数．

(3)函数f(x)是周期函数，

∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|＝log|－sinx|

＝log|sinx|＝f(x)，

∴f(x)的周期T＝π.

(4)∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，

u＝|sinx|在(k∈Z)上是增函数，

在(k∈Z)上是减函数．

∴f(x)在(k∈Z)上是增函数，

在(k∈Z)上是减函数．

即f(x)的单调增区间是(k∈Z)，

单调减区间是(k∈Z)．

12．设函数f(x)＝sin2x＋acosx＋a－，x∈[0，]的最大值是1，试确定a的值．

[解析]　f(x)＝sin2x＋acosx＋a－＝1－cos2x＋acosx＋a－＝－(cosx－)2＋(2a2＋5a－4)．(1)若0≤≤1，即0≤a≤2，当cosx＝时，

f(x)最大，此时(2a2＋5a－4)＝1，解得a＝；

(2)若>1，即a>2，当x＝0时，即cosx＝1时，

f(x)最大，此时－(1－)2＋(2a2＋5a－4)＝1，

解得a＝(不符合条件，舍去)；

(3)若<0，即a<0，当x＝时，即cosx＝0时，

f(x)最大，此时－(0－)2＋(2a2＋5a－4)＝1，

解得a＝(不符合条件，舍去)．综上可得a＝.