人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算同步测试题

第20课时　向量的数乘运算及其几何意义

1.理解向量数乘的定义及规定，掌握向量数乘的几何意义．

2．掌握向量数乘的运算法则，会应用法则进行有关计算．

1．向量数乘的运算律

(1)λ(μ)a＝μ(λa)；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.

一、选择题

1．已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　)

A．|λa|＝λ|a|　　　B．|λa|＝|λ|a

C．|λa|＝|λ||a|     D．|λa|>0

答案：C

解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.

2．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　)

A．A，B，D三点共线

B．A，B，C三点共线

C．B，C，D三点共线

D．A，C，D三点共线

答案：A

解析：＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴A，B，D三点共线．

3．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝(　　)

A．－＋

B．－－

C.－

D.＋

答案：A

解析：＝＋＝－＋.

4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　)

A.      B．－

C．－  D.

答案：C

解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.

5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b    B.a＋b

C．a＋b  D．a＋b

答案：A

解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.

6．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：C

解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，∴x＝，y＝.

二、填空题

7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.

答案：　

解析：由已知得，解得x＝y＝.

8．下面三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．

正确命题的序号为：________.

答案：③

解析：①a与b所在直线有可能在一条直线上；②若b＝0，λb＝0，∴λ可取任意实数；③正确．

9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.

答案：

解析：由条件＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝.

三、解答题

10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．

(1)求证：A、B、D三点共线；

(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．

解：(1)证明：＝＋＝5e1＋5e2＝5，

∴∥，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．

(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

∴，∴k2＝1，∴k＝±1.

11.

如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．

解：＝＋＝＋＝m＋，

∴＝m－.

又＝＋＝＋(－)＝－，

设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.

12．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)

A．△ABC的内部

B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上

D．BC边所在直线上

答案：B

解析：由＝λ＋，得－＝λ，∴＝，则与为共线向量又有一个公共点P，

∴C、P、A三点共线即P点在直线AC上．

13．如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

(1)设＝λ，将用λ，，表示；

(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．

解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.

(2)由(1)及＝x，＝y，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy.①

∵G是△OAB的重心，

∴＝＝×(＋)＝＋.②

由①②得＝，

而，不共线，

∴，解得，

∴＋＝3，即＋是定值．