高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数综合与测试习题

第一章章末检测

班级____　姓名____　考号____　分数____

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．下列命题中正确的是(　　)

A．终边相同的角一定相等 

B．锐角都是第一象限角

C．第一象限角都是锐角 

D．小于90°的角都是锐角

答案：B

2．已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于(　　)

A.      B．－

C．－7  D．7

答案：A

解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝，

∴sinα＝－.

∵α∈，∴cosα＝＝.

∴＝＝＝.

3．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：B

解析：∵sinα＝＝－，且α的终边在第四象限，∴α＝π.

4．若函数y＝2cosωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是(　　)

A．2  B.

C．3  D.

答案：B

解析：由y＝2cosωx在上是递减的，且有最小值为1，则有f＝1，即2×cos＝1，cos＝，检验各选项，得出B项符合．

5．sin(－1740°)的值是(　　)

A．－  B．－

C.       D.

答案：D

解析：sin(－1740°)＝sin60°＝.

6．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)

A.       B.

C.  D.

答案：B

解析：当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即此时函数f(x)的值域是.

7．下列函数中，在上是增函数的偶函数是(　　)

A．y＝|sinx|  B．y＝|sin2x|

C．y＝|cosx|  D．y＝tanx

答案：A

解析：作图比较可知．

8．要得到函数y＝cos(3x＋2)的图象，只要将函数y＝cos3x的图象(　　)

A．向左平移2个单位

B．向右平移2个单位

C．向左平移个单位

D．向右平移个单位

答案：C

解析：∵y＝cos(3x＋2)＝cos3，

∴只要将函数y＝cos3x的图象向左平移个单位即可．

9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为(　　)

A．－    B.

C．－  D.

答案：B

解析：f＝f＝sin＝.

10．若函数f(x)＝sin(a>0)的最小正周期为1，且g(x)＝，则g等于(　　)

A．－    B.

C．－  D.

答案：C

解析：由条件得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，

∴g＝g＝sin＝

sin＝－.

11．已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D．(0,2]

答案：A

解析：因为ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，所以＋≤ωx＋≤ωπ＋，所以解得≤ω≤，故选A.

12．下图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始旋转，15s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)

A．ω＝，A＝3  B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5  D．ω＝，A＝5

答案：A

解析：∵T＝15，故ω＝＝，显然ymax－ymin的值等于圆O的直径长，即ymax－ymin＝6，故A＝＝＝3.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知sin＝m，则cos＝________.

答案：m

解析：cos＝cos＝sin＝m.

14．已知f(x)的定义域为(0,1]，则f(sinx)的定义域是________．

答案：(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z

解析：由0<sinx≤1得2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)．

15．函数y＝＋的定义域为________．

答案：{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

解析：由题意知，

即，

如图，结合三角函数线知：

，

解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴函数的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

16．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)有下列命题，其中正确的是________．

①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；

②y＝f(x)的图象关于点对称；

③y＝f(x)的最小正周期为2π；

④y＝f(x)的图象的一条对称轴为x＝－.

答案：①②

解析：4sin＝4cos，故①②正确，③④错误．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)已知角α的终边经过点P.

(1)求sinα的值；

(2)求·的值．

解：(1)∵|OP|＝1，∴点P在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα＝－.

(2)原式＝·＝＝.

由余弦函数的定义得cosα＝，故所求式子的值为.

18．(12分)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－2 ax＋a＝0的两个根．

(1)求实数a的值；

(2)若θ∈，求sinθ－cosθ的值．

解：(1)∵(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，

又∵

∴a＝或a＝－，经检验Δ≥0都成立，

∴a＝或a＝－.

(2)∵θ∈，∴a<0，

∴a＝－且sinθ－cosθ<0，

∴sinθ－cosθ＝－.

19．(12分)若函数f(x)＝a－bcosx的最大值为，最小值为－，求函数g(x)＝－4asinbx的最值和最小正周期．

解：当b＞0时，⇒

g(x)＝－4sinx.

最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.

当b＜0时，⇒

g(x)＝－4sin(－x)＝4sinx.

最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.

b＝0时不符合题意．

综上所述，函数g(x)的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.

20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系是s＝Asin(ω t＋φ)，0<φ<，根据图象，求：

(1)函数解析式；

(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？

(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？

解：(1)由图象知，T＝－＝，所以T＝1.所以ω＝＝2π.

又因为当t＝时取得最大值，所以令2π·＋φ＝＋2kπ，

∵φ∈.  所以φ＝.又因为当t＝0时，s＝3，

所以3＝Asin，所以A＝6，所以函数解析式为s＝6sin.

(2)因为A＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.

(3)因为T＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.

21．(12分)设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．

(1)求f(0)；

(2)求f(x)的解析式；

(3)已知f＝，求sinα的值．

解：(1)f(0)＝3sin＝3sin＝.

(2)∵T＝＝，∴ω＝4，所以f(x)的解析式为：f(x)＝3sin(4x＋)．

(3)由f＝得3sin＝，即sin＝，∴cosα＝，

∴sinα＝±＝± ＝±.

22．(12分)已知函数f(x)＝cos，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)当x∈时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；

(3)将函数f(x)＝cos的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图象关于原点中心对称，求m的最小值．

解：(1)因为f(x)＝cos，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，

由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，故函数f(x)的递增区间为(k∈Z)；

(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数

又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos＝－1，

∴当k∈[0，)时方程f(x)＝k恰有两个不同实根．

(3)∵f(x)＝sin＝sin＝sin2

∴g(x)＝sin2＝

sin

由题意得－2m＝2kπ，∴m＝－kπ＋，k∈Z

当k＝0时，m＝，此时g(x)＝sin2x关于原点中心对称．