数学人教版新课标A1.3 三角函数的诱导公式课时练习

这是一份数学人教版新课标A1.3 三角函数的诱导公式课时练习，共5页。试卷主要包含了3　三角函数的诱导公式，eq \f等内容，欢迎下载使用。

课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝________；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝________；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝________.
2．诱导公式五～六的记忆
eq \f(π,2)－α，eq \f(π,2)＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、选择题
1．已知f(sin x)＝cs 3x，则f(cs 10°)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
2．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)π－α))等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值等于( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(－2\r(2),3) D.eq \f(2\r(2),3)
4．若sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－m，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－eq \f(2m,3) B.eq \f(2m,3) C．－eq \f(3m,2) D.eq \f(3m,2)
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|＜eq \f(π,2)，则tan φ等于( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
6．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2,3)
二、填空题
7．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.
8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),－sin－α＋csπ＋α)＝________.
三、解答题
11．求证：eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tan α.
12．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)<α能力提升
13．化简：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－1,4)π－α))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k＋1,4)π－α)) (k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin3π－α＝\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β)),\r(3)cs－α＝－\r(2)csπ＋β))同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)cs α sin α (2)cs α －sin α
2．异名 符号
作业设计
1．A [f(cs 10°)＝f(sin 80°)＝cs 240°＝cs(180°＋60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).]
2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,2)，∴sin α＝eq \f(1,2).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).]
3．A [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).]
4．C [∵sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝eq \f(m,2).cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)m.]
5．C [由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝－sin φ＝eq \f(\r(3),2)，得sin φ＝－eq \f(\r(3),2)，
又∵|φ|6．D [sin(α－15°)＋cs(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cs[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cs(75°＋α)
＝－cs(75°＋α)－cs(75°＋α)
＝－2cs(75°＋α)＝－eq \f(2,3).]
7．－eq \f(1,3)
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(1,3).
8．1
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cs2(A＋45°)＝1.
9.eq \f(89,2)
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq \f(1,2)
＝eq \f(89,2).
10．2
解析 原式＝eq \f(sin α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α,tan α－1)＝eq \f(2,2－1)＝2.
11．证明 左边＝eq \f(tan－α·sin－α·cs－α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))·cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(－tan α·－sin α·cs α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(sin2α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))
＝eq \f(sin2α,－cs α·sin α)＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))＝－cs α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝－sin α.
∴sin α·cs α＝eq \f(60,169)，即2sin α·cs α＝eq \f(120,169).①
又∵sin2α＋cs2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cs α)2＝eq \f(289,169)，
②－①得(sin α－cs α)2＝eq \f(49,169)，
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α>cs α>0，
即sin α＋cs α>0，sin α－cs α>0，
∴sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，③
sin α－cs α＝eq \f(7,13)，④
③＋④得sin α＝eq \f(12,13)，③－④得cs α＝eq \f(5,13).
13．解 原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))).
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋1π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋1π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2nπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝0.
综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β， ①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β. ②))
①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2，③
又因为sin2α＋sin2α＝1，④
由③④得sin2α＝eq \f(1,2)，即sin α＝±eq \f(\r(2),2)，
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝eq \f(π,4)或α＝－eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，代入②得cs β＝eq \f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知符合．
当α＝－eq \f(π,4)时，代入②得cs β＝eq \f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．