高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步练习题

第三章  三角恒等变换

§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3．1.1　两角差的余弦公式

课时目标　1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．

两角差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．

一、选择题

1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝(　　)

A．－        B.        C．0        D．1

2．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得(　　)

A．cos α              B．cos β

C．cos(2α＋β)         D．sin(2α＋β)

3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得(　　)

A.        B．－        C.        D．－

4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　)

A.        B.        C.        D.

5．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)

A．－        B.        C.        D.

6．若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　)

A.        B．－        C.        D．1

二、填空题

7．cos 15°的值是________．

8．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.

9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

10．已知α、β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________．

三、解答题

11．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．

12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．

能力提升

13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．

14．已知α、β、γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．

1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．

确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．

§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3．1.1　两角差的余弦公式

答案

知识梳理

cos αcos β＋sin αsin β

作业设计

1．C　2.B

3．A　[原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.]

4．C　[sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．sin 2α＝，

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝·＋·＝－，

∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]

5．B　[∵sin(π＋θ)＝－，

∴sin θ＝，θ是第二象限角，

∴cos θ＝－.

∵sin＝－，∴cos φ＝－，

φ是第三象限角，

∴sin φ＝－.

∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.]

6．B　[由题意知

①2＋②2⇒cos(α－β)＝－.]

7.

8.

解析　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝.

9．－

解析　由

①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－.

10．－

解析　∵α、β∈，

∴cos α＝，sin β＝，

∵sin α<sin β，∴α－β∈.

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝·＋·＝，

∴α－β＝－.

11．解　∵α∈，tan α＝4，

∴sin α＝，cos α＝.

∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，

∴sin(α＋β)＝.

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.

12．解　∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，

∴sin(α－β)＝.

∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，

∴cos(α＋β)＝.

∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.∵<α－β<π，π<α＋β<2π，∴<2β<，∴2β＝π，∴β＝.

13．解　∵<α<π，∴<<.

∵0<β<，∴－<－β<0，－<－<0.

∴<α－<π，－<－β<.

又cos(α－)＝－<0，

sin(－β)＝>0，

∴<α－<π，0<－β<.

∴sin(α－)＝＝.

cos(－β)＝＝.

∴cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)＝(－)×＋×＝.

14．解　由已知，得

sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.

平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.

∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，

∴β－α＝±.

∵sin γ＝sin β－sin α>0，

∴β>α，∴β－α＝.