高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质同步练习题

1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)

课时目标　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(x)＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sin x，y＝cos x的周期性及奇偶性．

1．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________．

2．正弦函数、余弦函数的周期性

由sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝________知y＝sin x与y＝cos x都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．

3．正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是______，定义域关于________对称．

(2)由sin(－x)＝________知正弦函数y＝sin x是R上的______函数，它的图象关于______对称．

(3)由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cos x是R上的______函数，它的图象关于______对称．

一、选择题

1．函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为(　　)

A.        B．π        C．2π        D．4π

2．函数f(x)＝sin(ωx＋)的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于(　　)

A．5        B．10        C．15        D．20

3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

4．下列函数中，不是周期函数的是(　　)

A．y＝|cos x|        B．y＝cos|x|

C．y＝|sin x|        D．y＝sin|x|

5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)

A．－        B.        C．－        D.

6．函数y＝cos(sin x)的最小正周期是(　　)

A.        B．π        C．2π        D．4π

二、填空题

7．函数f(x)＝sin(2πx＋)的最小正周期是________．

8．函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝______.

9．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是______________．

10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：

①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；

②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在φ，使f(x)是奇函数；

④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．

其中的假命题的序号是________．

三、解答题

11．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝coscos(π＋x)；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝.

12．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．

能力提升

13．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．

14．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．

1．求函数的最小正周期的常用方法：

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.

(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|.

(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.

2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．

1．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)

答案

知识梳理

1．(1)非零常数T　每一个值　f(x＋T)＝f(x)　(2)最小正周期

2．sin x　cos x　周期　2kπ (k∈Z且k≠0)　2π

3．(1)R　原点　(2)－sin x　奇　原点　(3)cos x　偶　y轴

作业设计

1．D　2.B

3．B　[∵sin＝－sin＝－cos 2x，

∴f(x)＝－cos 2x.

又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，

∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]

4．D　[画出y＝sin|x|的图象，易知．]

5．D　[f＝f＝－f＝－sin＝sin ＝.]

6．B　[cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)．

∴T＝π.]

7．1

8．±3

解析　＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.

9．f(x)＝sin|x|

解析　当x<0时，－x>0，

f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，

∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x.

∴f(x)＝sin|x|，x∈R.

10．①④

解析　易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos x是偶函数，①④都不成立．

11．解　(1)x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x.

∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－f(x)．

∴y＝f(x)是奇函数．

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，

∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.

∴f(x)＝＋定义域为R.

∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，

∴y＝f(x)是偶函数．

(3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，

∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.

∴定义域关于原点对称．

又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，

∴该函数是奇函数．

12．解　x∈[π，3π]时，3π－x∈[0，]，

∵x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，

∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.

又∵f(x)是以π为周期的偶函数，

∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈[π，3π]．

13.π

解析　要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，

则y在[0,1]上至少含49 个周期，

即，解得ω≥π.

14．解　∵sin x＋≥sin x＋1≥0，

若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，

∴对x∈R都有sin x＋>0.

∵f(－x)＝ln(－sin x＋)

＝ln(－sin x)

＝ln(＋sin x)－1

＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．