数学必修13.2.2函数模型的应用实例课后测评

一、选择题

1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是                                               (　　)

解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．

答案：B

2．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)                         (　　)

A．10         B．11

C．12         D．13

解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则y＝a(1－)x(x∈N*)，

令y<a，即a(1－)x<a，

∴()x<，∴x>.

∵＝

＝≈10.4.

即x>10.4.

答案：B

3．令有一组实验数据如下表所示：

则能体现这些数据关系的函数模型是                                  (　　)

A．u＝log2t       B．u＝2t－2

C．u＝       D．u＝2t－2

解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．

由散点图可知，图像不是直线，排除选项D；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.

答案：C

4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么                         (　　)

A．人可在7秒内追上汽车

B．人可在10秒内追上汽车

C．人追不上汽车，其间距最少为5米

D．人追不上汽车，其间距最少为7米

解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，

当t＝6时，d取得最小值为7.

答案：D

二、填空题

5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销量情况，下列叙述：

①产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行生产；

②产品出现了供大于求的情况，价格将趋跌；

③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量．你认为较合理的叙述是________．

解析：由图可知，对相同的年份，年产量>销售量，即出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重，因而②③正确，这种情况下不宜再按原计划生产，故①不正确．

答案：②③

6.如图，开始时桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a·e－nt(n为常数，t为注水时间)，那么桶2中的水就是y2＝a－a·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分钟时，两桶中的水相等，那么经过________分钟桶1中的水只有.

解析：由于t＝5时两桶中的水相等，

所以a·e－n×5＝a－a·e－n×5，

所以(e－n)5＝，即e－n＝().

由条件可得a·e－nt＝，

即()＝()3，所以t＝15.

答案：15

7．某地2000年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2011年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)．

解析：设平均每年新增住房面积为x万平方米，则

≥7，解得x≥82.27≈82.

答案：82

8．2011年1月29日广州日报：香港出现了第2宗甲型H1N1死亡病例．为了预防甲型H1N1流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

解析：(1)由图可设y＝kt(0≤t≤0.1)，把点(0.1,1)分别代入y＝kt和y＝()t－a，得k＝10，a＝0.1.

∴y＝

(2)由()t－0.1<0.25＝()得t>0.6.

答案：(1)y＝

(2)0.6

三、解答题

9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．

(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲、y乙与购买台数x之间的函数关系式；

(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？

解：(1)y甲＝

y乙＝5 100x(x∈N)，

(2)当x≤10时，显然y甲＞y乙；

当x＞10时，令y甲＞y乙，即4 200x＋18 000>5 100x，

解得：x＜20.

故当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．

10．2012年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图像(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图像提供的信息解答下列问题：

(1)由已知图像上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；

(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？

解：(1)由二次函数图像可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．

由题意，得或

或

无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0；

∴所求函数关系式为S＝t2－2t；

(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，

解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，

∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元；

(3)把t＝7代入，得S＝×72－2×7

＝＝10.5(万元)，

把t＝8代入，

得S＝×82－2×8＝16(万元)．

则第八个月获得的利润为

16－10.5＝5.5(万元)，

∴第8个月公司所获利润为5.5万元．