人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试综合训练题

这是一份人教版新课标A必修1第三章 函数的应用综合与测试综合训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(一)　
集合与函数的概念
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)　　 　　　　　　 　　　　　
1．设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于(　　)
A．{1,4}　　 B．{1,5}　　
C．{2,5}　　 D．{2,4}
【解析】　由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．
【答案】　D
2．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】　①1∈{0,1,2}，正确；
②空集是任何集合的子集，正确；
③因为{1}⊆{0,1,2}，故不正确；
④根据集合的无序性可知正确．故选A.
【答案】　A
3．下列各图形中，是函数的图象的是(　　)

【解析】　函数y＝f(x)的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，故A，B，C均不正确，故选D.
【答案】　D
4．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则如图1阴影部分表示的集合为(　　) 【导学号：97030070】

图1
A．{x|x≥1} B．{x|x≥2}
C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x＜2}
【解析】　易得A＝[1，＋∞)，B＝[2，＋∞)，则题图中阴影部分表示的集合是∁AB＝[1,2)．故选D.
【答案】　D
5．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于(　　)
A．2 B．11
C．5 D．－1
【解析】　由2x＋1＝1得x＝0，故f(1)＝f(2×0＋1)＝3×0＋2＝2，故选A.
【答案】　A
6．下列四个函数：①y＝x＋1；②y＝x－1；③y＝x2－1；
④y＝，其中定义域与值域相同的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．②③ D．②③④
【解析】　①y＝x＋1，定义域R，值域R；②y＝x－1，定义域R，值域R；③y＝x2－1，定义域R，值域[－1，＋∞)；④y＝，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)．∴①②④定义域与值域相同，故选B.
【答案】　B
7．若函数f(x)＝则f(－3)的值为(　　)
A．5 B．－1
C．－7 D．2
【解析】　依题意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)
＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故选D.
【答案】　D
8．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)　　　 B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【解析】　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
【答案】　C
9．定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝3，则奇函数f(x)的值域是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3,3]
C．[－3,3] D．{－3,0,3}
【解析】　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－f(x)＝3，
∴f(x)＝－3，
∴f(x)＝∴奇函数f(x)的值域是{－3,0,3}．
【答案】　D
10．已知f(x)＝x5－ax3＋bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)的值为(　　)
A．－13　　　 B．13　　　
C．－19　　　 D．19
【解析】　∵g(x)＝x5－ax3＋bx是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．
∵f(－5)＝17＝g(－5)＋2，∴g(5)＝－15，∴f(5)＝g(5)＋2＝－15＋2＝－13.
【答案】　A
11．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　∵集合M中的元素－1不能映射到N中为－2，
∴即
∴a，b为方程x2－4x＋2＝0的两根，
∴a＋b＝4.
【答案】　D
12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)
B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3)
D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
【解析】　任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
又f(x)是偶函数，故f(x)在(－∞，0]上单调递增．
且满足n∈N*时，f(－2)＝f(2)，3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大，∴f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
【解析】　由A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4,9,16}．
【答案】　{4,9,16}
14．若函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，则f(x)的增区间是________. 【导学号：97030072】
【解析】　∵函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，∴a－1＝0，∴f(x)＝－x2＋3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线．故f(x)的增区间为(－∞，0]．
【答案】　(－∞，0]
15．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
【解析】　∵f(1)＝2×1＝2，
若a>0，则f(a)＝2a，
由2a＋2＝0，得a＝－1舍去，
若a≤0，则f(a)＝a＋1，
由a＋1＋2＝0得a＝－3，符合题意．
∴a＝－3.
【答案】　－3
16．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②函数f(x)＝是单函数；
③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【解析】　①函数f(x)＝x2(x∈R)不是单函数，例如f(1)＝f(－1)，显然不会有1和－1相等，故为假命题；
②函数f(x)＝是单函数，因为若＝，可推出x1x2－x2＝x1x2－x1，即x1＝x2，故为真命题；
③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)为真，
可用反证法证明：假设f(x1)＝f(x2)，则按定义应有x1＝x2，与已知中的x1≠x2矛盾；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，故为真．
【答案】　②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求∁U(A∩B)；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
【解】　(1)由集合B中的不等式2x－4≥x－2，解得x≥2，∴B＝{x|x≥2}，又A＝{x|－1≤x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，又全集U＝R，∴∁U(A∩B)＝{x|x＜2或x≥3}．
(2)由集合C中的不等式2x＋a＞0，解得x＞－，
∴C＝.
∵B∪C＝C，∴B⊆C，∴－＜2，解得a＞－4.
18．(本小题满分12分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)；
(3)写出(∁UA)∪(∁UB)的所有子集．
【解】　(1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5,2}．
(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得∁UA＝{－5}，∁UB＝，
所以(∁UA)∪(∁UB)＝.
(3)(∁UA)∪(∁UB)的所有子集即为集合的所有子集：∅，，{－5}，.
19．(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，解析式为f(x)＝. 【导学号：02962010】
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
【解】　(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝.
又∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝，∴f(x)＝.
又∵奇函数在0点有意义，∴f(0)＝0，
∴函数的解析式为f(x)＝
(2)证明：设∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，
∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
20．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？
【解】　由于月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而利润f(x)＝
R(x)＝
当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
所以f(x)＝60 000－100×400＜25 000.
所以当x＝300时，有最大值25 000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．
21．(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x－1.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值与最小值．
【解】　(1)由题意可设f(x)＝ax＋b，(a＜0)，由于f(f(x))＝4x－1，则a2x＋ab＋b＝4x－1，
故解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，
故函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝，则函数y＝f(x)＋x2－x在上为减函数，在上为增函数．
又由f＝－，f(－1)＝5，f(2)＝－1，
则函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
【解】　(1)∵函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0.
(2)由(1)可得f(x)＝，下面证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明：设x2＞x1＞1，
则有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
再根据x2＞x1＞1，可得1＋x＞0,1＋x＞0，x1－x2＜0,1－x1x2＜0，
∴＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
(3)由不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，
再根据函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且x＞1，
求得1＜x＜，故不等式的解集为(1，)．