高中数学3.2.2函数模型的应用实例课堂检测

学业分层测评(二十三)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题　　　 　　　　　　 　　　　　

1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)

A．200副   B．400副

C．600副   D．800副

【解析】　由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．

【答案】　D

2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)

A.   B.

C.   D.－1

【解析】　设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.

【答案】　D

3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：

根据表中数据，推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于(　　)

A．200   B．220 

C．240   D．260

【解析】　由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2，令n＝1 000，则2＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故应选A.

【答案】　A

4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝   B．y＝(0.957 6)100x

C．y＝x   D．y＝1－(0.042 4)

【解析】　设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－(0.957 6)，

∴y＝(1－t)x＝(0.957 6).

【答案】　A

5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)

A．75,25   B．75,16

C．60,25   D．60,16

【解析】　由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.

【答案】　D

二、填空题

6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

【解析】　设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝由y＝22.6，解得x＝9.

【答案】　9

7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．

【解析】　设至少要洗x次，则x≤，

所以x≥≈3.322，所以需4次．

【答案】　4

8．为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________元．

【解析】　依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为

f(x)＝

当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638(元)的商品，∴500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．

【答案】　546.6

三、解答题

9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．

(1)试求a的值；

(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

【解】　(1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.

(2)∵销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件售价x(元)满足

W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1 000x＋16 000＝－10(x－50)2＋9 000，

故当x＝50时，W取最大值9 000，

即每件售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元．

10．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.

(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；

(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

【解】　(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝，

而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．

(2)由题意可知0.1＋15ln ＝0.85，整理得＝e0.05，解得a＝·6＝20.50×6＝123，

又123∈(121,127]，故该学科是乙学科．

[能力提升]

1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图3­2­7所示，那么水瓶的形状是(　　)

图3­2­7

【解析】　题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．

【答案】　B

2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)     

A．15   B．40 

C．25   D．130

【解析】　若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25人．

【答案】　C

3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

注：地震强度是指地震时释放的能量．

地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图3­2­8)可知a的值等于________．(取lg 2＝0.3进行计算)

图3­2­8

【解析】　由记录的部分数据可知

x＝1.6×1019时，y＝5.0，

x＝3.2×1019时，y＝5.2.

所以5.0＝alg (1.6×1019)＋b，  ①

5．2＝alg (3.2×1019)＋b，  ②

②－①得0.2＝alg ，0.2＝alg 2.

所以a＝＝＝.

【答案】　

4．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图3­2­9所示．

图3­2­9

 (1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；

(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

【解】　(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，

得解得

所以y＝－x＋1 000(500≤x≤800)．

(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，

成本总价＝成本单价×销售量＝500y，

代入求毛利润的公式，得

S＝xy－500y

＝x(－x＋1 000)－500(－x＋1 000)

＝－x2＋1 500x－500 000

＝－(x－750)2＋62 500(500≤x≤800)．

所以当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62 500元，此时销售量为250件．