2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题

这是一份2020届北京市石景山区高三上学期期末考试数学试题，共11页。
石景山区2020届高三第一学期期末数 学本试卷共5页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡． 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是 A. B. C. D. 4.已知向量，，若，则实数 A. B. C. D. 5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为 A. 石B. 石C. 石D. 石6.已知，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D.      7.艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时， 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数C. 方差 D. 极差8.一个正方体被一个平面截去一部分后，   剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为 A.  B.   C.   D.  9.在等差数列中，设，则是的 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充要必要条件D. 既不充分也不必要条件10.关于曲线．给出下列三个结论： ① 曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线上任意一点到原点的距离都不大于；③ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于．其中，正确结论的个数是 A.B. C. D.  第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.在的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）12.已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为        ．13.已知数列为等比数列，，，则________.14.已知平面．给出下列三个论断：①；②；③∥．以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____．15.在中，角所对的边分别是．已知， ，则的值为_______．16.已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意 一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，对于下列命题：① 线段的中点的广义坐标为；② 向量平行于向量的充要条件是；③ 向量垂直于向量的充要条件是.其中，真命题是        .（请写出所有真命题的序号）     
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. （本小题13分）已知函数.（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间. 18.（本小题13分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 19.（本小题14分）已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面，分别是 的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段 的长度；若不存在，说明理由．    20.（本小题14分）已知函数.（）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，的图象与轴交于点，求在点处的切线方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：当时，恒成立． 21. （本小题13分）已知椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），直线关于的对称直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 22.（本小题13分）已知由个正整数构成的集合，记，对于任意不大于的正整数，均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）若，求的最小值，并指出取最小值时的最大值.  
石景山区2020届第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分． 题号12345678910答案BACBBDACDC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．；      12．；         13． ；     14．①③② 或②③①；      15. ；      16.  ①② ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为 ，且，所以 .                            ……………2分所以 .                ……………5分（Ⅱ）                     ……………8分所以函数的最小正周期.                  ……………9分由，       解得.                         ……………11分所以函数的单调递减区间.    ……………13分（本小题13分）解：（Ⅰ）可能的取值为，，， .                        ……………1分每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.，     ，，，                                                                    ……………5分        所以X的分布列为：P  ……………6分（Ⅱ）设“第i盘游戏获得15分”为事件Ai(i＝1，2)，则.         ……………8分所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.   ……………10分（Ⅲ）设每盘游戏得分为.由（Ⅰ）知，的分布列为：P的数学期望为.    ……12分这表明，获得分数的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．          ……………13分
19.（本小题14分）（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，是的中点，所以 .         又因为平面，平面，所以.         ，平面，         所以面.                                   ……………4分（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，设平面的法向量为令，则 ，       ……………6分又平面的法向量，……………7分设平面与平面所成锐二面角为，所以.所以平面与平面所成锐二面角为.              ……………9分（Ⅲ）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，设，，所以.                            ……………11分所以，              …………13分整理得，无解，所以，不存在这样的点.                                   ………14分 20.（本小题14分）解：（Ⅰ），                                         ……………1分当时，恒成立，所以在上单调递增，    ……………3分当时，令，解得.当变化时，的变化情况如下表：–0+减极小值增 所以时，在上单调递减，在上单调递增.  …5分（Ⅱ）令，得，则，                            …………6分因为，所以，                  …………7分所以在点处的切线方程为，即.        ………9分（Ⅲ）证明：令，则.  令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增；                   …………11分所以，即恒成立.  所以在上单调递增，所以，………13分所以，即当时，恒成立．  …………14分21.（本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，可得，解得．                             …………2分所以，                              …………3分所以椭圆的方程为，离心率．     …………5分 （Ⅱ）直线与直线平行．                                …………6分证明如下：由题意，设直线，，设点，，由得，               …………8分所以，所以，同理，所以，                                  …………10分由，，有，因为在第四象限，所以，且不在直线上，所以，又，故，所以直线与直线平行．     …………13分            （本题13分）解:（Ⅰ）由条件知，必有，又均为整数，.  ……2分，由的定义及均为整数，必有，.……………4分（Ⅱ）必要性：由“成等差数列”及,得此时满足题目要求从而.                     ……………6分充分性：由条件知且均为正整数，可得故，当且仅当时，上式等号成立.于是当时，，从而成等差数列.所以“成等差数列”的充要条件是“”.       ……8分（Ⅲ）由于含有个元素的非空子集个数有，故当时，，此时的非空子集的元素之和最多表示个不同的整数，不符合要求.而用个元素的集合的非空子集的元素之和可以表示共个正整数.因此当时，的最小值为11.                     ……………10分当时，的最小值为11.记则并且.事实上若，，则，，所以时无法用集合的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是，得，，所以.当时满足题意所以当时，的最小值为11，此时的最大值.    ……13分【若有不同解法，请酌情给分】