2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

这是一份2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（文）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】化简集合，由交集定义即可求解.
【详解】
或，
.
故选:D
【点睛】
本题考查交集运算，属于基础题.
2．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部．
详解：由有，则z 的虚部为，故选B.
点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题．若复数，则复数的虚部为．
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ，， 人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.
【考点】分层抽样.
4．过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，代入，即可求解.
【详解】
设所求的直线方程为，
代入方程解得，
所求的直线方程为.
故选:B
【点睛】
本题考查两直线垂直时方程间的关系，属于基础题.
5．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡只，兔只，则输出的分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由开始验证，直到满足，退出循环体，输出.
【详解】
,；,；；
,.退出循环，输出.
故选:B
【点睛】
本题考查循环结构运行结果，属于基础题.
6．已知，在区间任取一个实数，则使得的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由几何概型概率求法，转化为在解的区间长度除以区间长度.
【详解】
，，解得，
的概率为.
故选:C
【点睛】
本题考查几何概型概率的求法，属于基础题.
7．如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是
A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长
C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元
D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
【答案】D
【解析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息。
【详解】
对于A，从折线统计图可得，2018年第一季度GDP增速由高到低排位依次为江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故浙江省排在第五，
对于B，从折线统计图可得，与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长率都为正值，所以与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长，
对于C，根据统计图可计算2017年同期河南省的GDP总量为，所以2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，
对于D, 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个，江苏、河南，
综述只有D选项不正确，
故答案选D
【点睛】
本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题
8．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】得出函数的周期为4，以及是定义在上的奇函数，将自变量-2019可转化为，即可求解.
【详解】
，
周期为4，且在上的奇函数，
.
故选:C
【点睛】
本题考查函数的性质在函数求值中的应用，属于基础题.
9．已知命题，使；命题，都有.给出下列结论：
①命题“”是真命题 ②命题“”是假命题
③命题“”是真命题 ④命题“”是假命题
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【解析】先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【详解】
解：∵|sinx|≤1，∴：∃x∈R，使sinx错误，即命题p是假命题，
∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，
则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，
②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，
③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，
④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p，q的真假是解决本题的关键．
10．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线(该直线不过原点)，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据三点共线的充要条件得出，运用等差数列的前项和公式，以及等差数列序号和相等性质，即可求解.
【详解】
，且三点共线(该直线不过原点)，
，.
故选:A
【点睛】
本题以三点共线为背景，考查数列的前项和以及等差数列的性质，属于基础题.
11．若向量，，函数，则的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据向量数列积公式，求出，运用三角恒等变换公式，化简，结合正弦函数的对称轴即特征可求解.
【详解】
，
一条对称轴为.
故选:B
【点睛】
本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于基础题.
12．对于函数，定义:设是的导数， 是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心.设函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据拐点的定义，求出对称中心，然后运用倒序相加法求值.
【详解】
，，令，
得，且，关于点对称，
，
故选:C
【点睛】
本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题.
二、填空题
13．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．
【答案】
【解析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值.
【详解】
作出可行域，如下图所示：
当目标函数过时，
取最大值为8.
故答案为:
【点睛】
本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.
14．函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为____________________.
【答案】8.
【解析】根据对数函数的性质先求出的坐标，代入直线方程可得的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．
【详解】
解：时，，
∴函数的图象恒过定点，
∵点在直线上，
，即，
，
，
当且仅当时取等号．
故答案为：8
【点睛】
本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．
15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒中，平面，且，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】利用四个面都是直角三角形，平面，且，将三棱锥补成以为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为1的正方体的外接球，即可求解.
【详解】
根据题意，将鳖儒补成以为棱的正方体，
边长为1的正方体的外接球半径为，其表面积为.
故答案为:
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于基础题.
16．如图，已知双曲线上有一点,它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足,设,且,则该双曲线离心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】试题分析：设是左焦点，由对称性得，设，，则，又，因为，，又，则．
又，，∴，，再由，得，即．
【考点】双曲线的定义，双曲线的性质．
【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，从已知与所求结论知要建立双曲线的离心率与的等量关系，由离心率的定义可退一步，建立与的关系，为此可把的面积用两种方法求出，从而建立得出等式，一方面，另一方面，其中，是双曲线上点到焦点的距离，可由双曲线的定义把它们与建立联系，从而得解．
三、解答题
17．已知等比数列是递减数列，.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）根据等比数列的性质，转化为解关于的方程组，再结合是递减数列，求出公比，即可求得结论；
（2）求出的通项，进而求出通项，用裂项相消法，即可求解.
【详解】
解：(1)设等比数列的公比为，则
解得或所以或，
即或，又为数列是递减数列，
所以，，
故数列的通项公式为.
(2) ，
可得
即有前项和
【点睛】
本题考查等比数列通项的基本量的计算，考查裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.
18．已知中，内角所对边分别为，若.
(1)求角的大小；
(2)若， 求的面积S.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角的三角函数值，进而求解；
（2）由余弦定理求出，即可求出面积.
【详解】
解:(1)由
可得:.
可得:
.可得
又由得又由得.
(2)由余弦定理及已知得
.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题.
19．如图四棱锥中，底面是正方形，平面，且为中点
(1)求证:平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】（1）连接交于，运用中位线定理，可证，即可证结论；
（2）利用平面，用等体积法即可求解.
【详解】
证明: (1)连接交于，底面为正方形，
是的中点，为中点，，
又面，面，面；
(2)平面，且，又为的中点，
到平面的距离为，在正方形中，
，
.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查用等体积法求三棱锥的体积，属于基础题.
20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的列联表如下:
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?
(2)为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券，用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率.
附:下面的临界值表仅供参考:
(参考公式: ，其中)
【答案】(1) 不能(2)
【解析】（1）根据列联表，以及公式，即可求解判断；
（2）列出张骑行券中随机选取张的所有情况，确定出满足条件包含的个数，按古典概型求概率的公式，即可求解.
【详解】
解(1).由列联表的数据，有
因此，在犯错误的概率不超过的前提下，
不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
(2)张一元券分别记为，其余张券分别记为.
则从张骑行券中随机选取张的所有情况为:
，，，
共种.记“选取的张券中至少有
张是一元券”为事件，则事件包含的基本事件个数为，
.
【点睛】
本题考查独立性检验，考查古典概型概率，属于基础题.
21．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2) 的周长为定值.
【解析】（1）根据已知条件结合，即可求出标准方程；
（2）直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得出关系，直线与椭圆联立，求出相交弦长，再用两点间距离公式，求出长，求出 的周长，即可判定结论.
【详解】
解: (1)由题可知，则①
直线的方程为即，所以②
联立①②，解得，又，
所以椭圆的标准方程式为.
(2)因为直线与圆相切，
所以，即
设，联立
得，
所以，
则由根与系数的关系可得
所以，
又所以，
因为
同理，所以
所以的周长为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查相交弦长以及焦点到椭圆上的点距离，考查计算能力，属于较难题.
22．设函数为常数) .
(1)当时，求曲线在处的切线方程:
(2)若函数在内存在唯一极值点，求实数的取值范围，并判断，是在内的极大值点还是极小值点.
【答案】(1) (2) ，为函数的极小值点
【解析】（1）求出，，即可求出切线方程；
（2）转化为在有唯一解，分离参数，构造新函数，再转为直线与构造函数的交点，通过求导研究所构造函数的性质，即可求解.
【详解】
解: (1)当时，，
所求切线的斜率，又.
所以曲线在处的切线方程为.
(2)
又，则要使得在内存在唯一极值点，
则在存在唯一零点，
即方程在内存在唯一解，，
，即与在范围内有唯一交点.
设函数，
则在单调递减，
又；当时，，
时与在范围内有唯一交点，设为
当时，，
则，在为减函数:
当时，，
则，在为增函数.
即为函数的极小值点.
综上所述:，且为函数的极小值点
【点睛】
本题考查导数的切线方程，考查利用导数研究函数的极值、零点、单调性以及图像变化趋势，属于难题.
对优惠活动好评
对优惠活动不满意
合计
对车辆状况好评
对车辆状况不满意
合计