2020届江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测（期末）数学（文）试题（word版）

2019-2020学年度高三年级第一次质量检测

数学文科Ⅰ卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合，，则_____.

答案： 

2.已知复数满足，且的虚部小于0，则_____.

答案：

3.若一组数据的平均数为7，则该组数据的方差是_____.

答案：

4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____.

答案：20

5.函数的定义域为_____.

答案：

6.某学校高三年级有两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.

答案：

7.若关于的不等式的解集是，则实数的值为______.

答案：4

8.在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为______.

9.已知等差数列的前项和为，，，则的值为_____.

答案：135

10.已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是，则的面积为_____.

答案：

11.在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆外切与点，且过点，则圆的标准方程为______.

答案：

12.已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数），若，则实数的值为_____.

答案：3

13.如图，在中，是上的两个三等分点，，则的最小值为____.

答案：

14.设函数，，其中.若恒成立，则当取得最小值时，的值为______.

答案：

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. （本小题满分14分）

如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

解：（1）在中，因为M，N分别为棱PB，PC的中点，

    所以MN// BC． ………………………………3分

    又MN平面AMN，BC平面AMN，

    所以BC//平面AMN．…………………………6分

（2）在中，因为，M为棱PB的中点，

所以．………………………………8分

    又因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB平面PBC，平面PAB，

    所以平面PBC．…………………………………………………………12分

    又平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC． …………………………14分

16. （本小题满分14分）

在中，角的对边分别为，且.

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值.

解：（1）在中，由余弦定理得，

，即，  …………………………4分

解得或（舍），所以． ………………………………………6分

（2）由及得，，…8分

所以，

又因为，所以，

从而，………………………………………………12分

所以．………………………………………14分

17. （本小题满分14分）

如图，在圆锥中，底面半径为3，母线长为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥的体积为.

（1）将表示成的函数；

（2）求得最大值.

解：（1）在中，， …………………………2分

由∽可知，，所以，……………………4分

所以，所以．…7分

（2）由（1）得，

所以，令，得，………………………9分

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减．

所以当时，取得最大值．

答：小圆锥的体积的最大值为．………………………………………14分

18. （本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为,过点作直线与圆相切，与椭圆交于另一点，与右准线交于点.设直线的斜率为.

（1）用表示椭圆的离心率；

（2）若,求椭圆的离心率.

（1）直线l的方程为，即，

因为直线l与圆相切，所以，故．

所以椭圆的离心率．………………………………4分

（2）设椭圆的焦距为，则右准线方程为，

由得，所以，…6分

由得，

解得，则，

所以，……………………………………………10分

因为，所以，

即，………………………………………………12分

由（1）知，，所以，

所以，即，所以，故椭圆的离心率为．……16分

19. （本小题满分16分）

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；

（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，

求出的最大值；若不存在，说明理由.

解：（1），

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，得．……………………………………………2分

（2）因为存在两个不相等的零点．

     所以存在两个不相等的零点，则．

     ①当时，，所以单调递增，至多有一个零点．……4分

 ②当时，因为当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以时，． …………………………6分

 因为存在两个零点，所以，解得．………7分

因为，所以．

因为，所以在上存在一个零点． …………8分

因为，所以．

因为，设，则，

因为，所以单调递减，

所以，所以，

所以在上存在一个零点．

综上可知，实数的取值范围为．…………………………………10分

（3）当时，，，

设，则．所以单调递增，

且，，所以存在使得，……12分

因为当时，，即，所以单调递减；

当时，，即，所以单调递增，

所以时，取得极小值，也是最小值，

此时，……………14分

因为，所以，

因为，且为整数，所以，即的最大值为．………16分

20. （本小题满分16分）

已知数列的首项，对任意的,都有，数列是公比不为1的等比数列.

（1）求实数的值；

（2）设，数列的前项和为，求所有正整数的值，使得恰好为数列中的项.

解：（1）由，可知，，，

因为为等比数列，所以，

即，即，解得或，…2分

当时，，所以，则，

所以数列的公比为1，不符合题意；

当时，，所以数列的公比，

所以实数的值为． …………………………………………………………4分

（2）由（1）知，所以

则

，……………………………………………………6分

则，

因为，又，

且，，所以，则，

设，…………………………………………………………8分

则或为偶数，因为不可能，所以或为偶数，

①当时，，化简得，

即，所以可取值为1，2，3，

验证得，当时，成立．…………………12分

②当为偶数时，，

设，则，

由①知，当时，；

当时，，所以，所以的最小值为，

所以，令，则，

即，无整数解．

综上，正整数m的值．………………………………………………………16分