2020届陕西省商洛市考试高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省商洛市考试高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先化简集合A，再求得解.

【详解】

因为，所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．若，则下列复数的虚部为-2的是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，验证选项中复数的虚部得答案．

【详解】

∵，∴，满足题意，

故选：B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（    ）

A．甲景区月客流量的中位数为12950人

B．乙景区月客流量的中位数为12450人

C．甲景区月客流量的极差为3200人

D．乙景区月客流量的极差为3100人

【答案】D

【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.

【详解】

根据茎叶图的数据：

甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.

甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.

故选：

【点睛】

本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.

4．若，满足约束条件且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】C

【解析】作出约束条件对应的可行域，然后利用平移直线法求解出对应的最值，注意根据截距判断最值是否存在.

【详解】

作出约束条件表示的可行域如下图，

因为，所以，所以，

由图可知，当直线经过点时，

此时直线的截距最小，取得最小值，无最大值.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据约束条件求解目标函数的最值，难度较易.采用平移直线法求解线性目标函数的最值，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起.

5．已知两个单位向量、的夹角为，向量，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用向量数量积的运算律计算出的值，即可计算出的值.

【详解】

，因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查平面向量模的计算，同时也考查了向量数量积的运算律，在计算平面向量模时，一般将模平方，利用平面向量数量积的运算律来计算，考查计算能力，属于基础题.

6．已知，是两个不同的平面，，，是两条不同的直线，且，，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.

故选：

【点睛】

本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.

7．某单位高峰期过后，员工可以从周二到周日任意选两天休息，则员工甲选的两天不相邻的概率为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】用列举法将所有情况列出，从中找出符合条件的种数，利用古典概型概率公式求解即可.

【详解】

员工甲从周二到周日任意选两天休息的所有情况有：（周二，周三）简记为（二，三），（后面也都这样表示）（二，四），（二，五），（二，六），（二，日），（三，四），（三，五），（三，六），（三，日），（四，五），（四，六），（四，日），（五，六），（五，日），（六，日），

共15种，其中两天不相邻共10种，

则员工甲选的两天不相邻的概率为，

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型概率公式的应用，比较基础．

8．在等比数列中，，则的前项和为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列的前项和.

【详解】

设等比数列的公比为，则，解得，

因此，数列的前项和为.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列求和，解题的关键就是求出等比数列的首项和公比，一般利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.

9．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用对数函数的单调性比较与的大小关系，再利用指数函数的单调性得出，即可得出、、三个数的大小关系.

【详解】

指数函数为增函数，则，

对数函数是上的增函数，则，因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.

10．已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（      ）

A．8 B．11 C．13 D．16

【答案】C

【解析】设点A、B的坐标，利用线段AB中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得的值，即可得结果；

【详解】

抛物线中p＝3，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，

又线段AB中点M的横坐标为5，

∴＝10，

∴|AF|+|BF|＝13；

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．

11．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用辅助角公式将函数的解析式化简为，根据题意得出，可得出关于的表达式，即可求出正数的最小值.

【详解】

，

由于该函数的图象关于直线对称，则，

得，

，当时，取得最小值.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.

12．已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】计算出球的半径为，可得出，设正四棱柱的底面边长为，高为，可得出，然后利用基本不等式可得出该四棱柱侧面积的最大值.

【详解】

设球的半径为，则，得.

设正四棱柱的底面边长为，高为，则正四棱柱的体对角线即为球的直径，

则有，即，由基本不等式可得，

，当且仅当时，等号成立，

因此，该四棱柱的侧面积为.

故选：A.

【点睛】

本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算，涉及了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要根据题意得出定值条件，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线的斜率为__________．

【答案】9

【解析】求曲线在点处的切线的斜率，就是求曲线在该点处的导数值．

【详解】

∵的导数为：，

将x＝1代入，即可得斜率为：k＝9．

故答案为：9．

【点睛】

本题考查导数的几何意义及基本运算，属于基础题．

14．已知双曲线的离心率为,则双曲线的实轴长为__________．

【答案】2

【解析】根据离心率公式得到答案.

【详解】

∵离心率为，可得，可得m，

则实轴长为2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查双曲线的离心率公式的应用，属于基础题．

15．已知为偶函数，当时，，当时，，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】求出不等式在的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式在上的解集.

【详解】

当时，令，可得，解得，此时；

当时，令，解得，此时.

所以，不等式在的解为.

由于函数为偶函数，因此，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

16．在数列中，，且.

（1）的通项公式为__________；

（2）在、、、、这项中，被除余的项数为__________．

【答案】       

【解析】（1）根据题意得知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可求出；

（2）设，可得出，由为奇数，可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数，求出两种情况下值的个数，相加即可得出答案.

【详解】

（1）且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

，；

（2）被整除且余数为的整数可表示为，

令，可得，

，且，则为奇数，

则为的倍数，或者为的奇数倍且为偶数.

当为的倍数时，的取值有：、、、、，共个；

当为的奇数倍且为偶数时，的取值有：、、、、，共个.

综上所述，在、、、、这项中，被除余的项数为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

三、解答题

17．、、分别为内角、、的对边，已知.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出的值；

（2）利用余弦定理求出的值，并利用同角三角函数的平方关系求出的值，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积.

【详解】

（1）因为，所以，

又，所以，因为，所以；

（2）由余弦定理，得，则，

整理得，，解得.

因为，所以，

所以的面积.

【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.

18．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时）并根据统计数据分为六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求出图中的值，并估计这名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；

（2）为了分析出该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出20名居民进一步调查，试问在时间段内应抽出多少人？

【答案】（1），平均值为2.4，中位数2.4 （2）4人

【解析】（1）频率分布直方图中各组的频率之和为1，能求出．利用平均值及中位数计算公式即可得出平均值及中位数．

（2）先求得时间段的频率，由此能求出时间段内的人数．

【详解】

（1）由，

解得.

这100名居民运动时长的平均值为

，

由图可知中位数在内，因为，

解得.

（2）由题知，时间段的频率为，

则应抽出人.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查平均数中位数公式，是基础题．

19．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，，分别为棱，上一点，，且平面.

（1）证明：为的中点.

（2）若四棱锥的体积为，求正方体的表面积.

【答案】（1）见解析；（2）24

【解析】（1）取的中点，连接，可证，再由线面平行得到，又，所以四边形为平行四边形，即可得证.

（2）设棱长为，易知到平面的距离为，由求出的值，即可求出表面积.

【详解】

解：（1）证明：取的中点，连接

因为，所以为的中点，又为的中点，所以.

因为平面，平面，平面平面.

所以，即.

又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.

（2）设，则，，的面积分别为，，，

易知到平面的距离为，所以，

解得，故所求正方体的表面积为.

【点睛】

本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.

20．已知椭圆的焦距为，短轴长为.

（1）求的方程；

（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意求出和的值，即可求出椭圆的方程；

（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点和，即可得出所求圆的标准方程.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，则，，

所以，，，所以的方程为；

（2）设点、，联立，消去，得.

由韦达定理得，，

所以，线段的中点坐标为.

，

所以，所求圆的标准方程为.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.

21．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）用表示，中的最大值，已知，求函数的零点的个数.

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）零点个数为1

【解析】（1）求出定义域、导函数，对分类讨论，可得单调区间；

（2）由当时，，可知函数在上不存在零点，当，分别计算函数值，可知是的零点，由（1）知在上无零点.

【详解】

解：（1）函数的定义域为，且.

当时，对恒成立，所以在上单调递增.

当时，令，得，

当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，从而，所以在上无零点.

当时，，，所以是的零点.

当时，，所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.

由（1）知，在上单调递减，

所以，从而在上无零点

综上，的零点个数为1.

【点睛】

本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.

（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，则，即.

因为，，所以.

（2）将代入，得.

设，两点对应的参数分别为，，则，.

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.

（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到

，解不等式计算得到答案.

【详解】

（1）当时，，解得；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则.

综上所述：不等式的解集为.

（2）

，当时等号成立.

若对任意，不等式恒成立，即，

解得或.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.