2020届甘肃省武威第一中学高三上学期12月月考数学(文)试题(解析版)
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一、单选题
1.设集合,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合,,
,所以.
故选C.
2.已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:∴,∴z=,故选C.
【考点】复数运算
3.设,则是的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】试题分析:,,故是的充分不必要条件.
【考点】对数不等式;指数不等式;充要条件.
4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4
节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为( )
A.升 B.升 C.升 D.1升
【答案】A
【解析】试题分析:依题意,解得,故.
【考点】等差数列的基本概念.
5.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【详解】
解:由三视图的侧视图和俯视图可知:三棱锥的一个侧面垂直于底面,
三棱锥的高是:,
它的体积:,
故选A.
6.已知α∈,cos α=,则tan等于( )
A.7 B. C.- D.-7
【答案】B
【解析】先根据同角三角函数关系求tan α,再根据两角差正切公式求结果.
【详解】
由已知得tan α=,则tan.
选B
【点睛】
本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式,考查基本求解能力.
7.已知P,Q是以坐标原点O为圆心的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且点P的纵坐标为,点Q的横坐标为,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据单位圆上点的坐标与三角函数关系,可得,由同角三角函数关系式可得;由题意可得,由同角三角函数关系可得,而,根据余弦的和角公式即可求解。
【详解】
由题意可得,
∴
再根据,可得,
,
故选D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式的应用,三角函数的定义,余弦和角公式的用法,属于基础题。
8.圆关于直线对称,则ab取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和半径,由已知圆关于直线对称,得到圆心在直线上,故把圆心坐标代入已知直线方程得到与的关系式,由表示出,设,将表示出的代入中,得到关于的二次函数关系式,由二次函数求最大值的方法即可求出的最大值,即为的最大值,即可写出的取值范围.
【详解】
解:把圆的方程化为标准方程得:,
圆心坐标为,半径,
根据题意可知:圆心在已知直线上,
把圆心坐标代入直线方程得:,即,
则设,
当时,有最大值,最大值为,即的最大值为,
则的取值范围是.
故选:.
【点睛】
本题以直线与圆为载体,考查对称性,考查了直线与圆相交的性质,以及二次函数的性质.根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键,属于中档题.
9.已知数列满足…(),则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得……,两式相除得 ,选A.
10.若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( )
A.-3 B.1 C. D.3
【答案】B
【解析】如图,
,
由于不等式组,表示的平面区域为,且其面积等于,
再注意到直线与直线互相垂直,所以是直角三角形,
易知,,;从而=,
化简得:,解得,或,检验知当时,已知不等式组不能表示一个三角形区域,故舍去,所以;故选B.
【考点】线性规划与三角形的面积.
11.已知定义域为的偶函数,其导函数为,对任意正实数满足,若,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:因为定义域为的偶函数,所以,对任意正实数满足,所以,因为,所以,所以函数在上单调递增,所以在上单调递减,由不等式,所以或,解得或,故选C.
【考点】函数的奇偶性与单调性的应用;利用导数研究函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性与函数的单调性的应用,本题的解答中根据函数的奇偶性和利用导数判定函数的单调性,得出函数在上单调递增,所以在上单调递减,列出不等式组是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力,属于中档试题.
12.已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】由,则=可化简为,构造函数,,令,即在单调递增,设,因为,,所以,且,故在上单调递减, 上单调递增,所以,又,,即k的最小值为4,故选B.
点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量x 的范围,分离参数和变量,转化为新函数g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知在上单调递减, 上单调递增,所以,且,,通过对最小值化简得出的范围,进而得出k的范围.
二、填空题
13.已知向量,若,则代数式________.
【答案】3
【解析】利用向量共线定理可得,解得.再利用弦化切可得代数式即可.
【详解】
解:,,
,
解得.
代数式.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了向量共线定理和三角函数的基本关系式,属于基础题.
14.已知函数,则满足的a的取值范围是________(用区间的形式表示).
【答案】
【解析】分别讨论:当时与当时两种情况,再结合对数函数与指数函数的性质求出的范围即可.
【详解】
解:当时,则有,解得:;
当时,则有,解得:,
所以的取值范围是:.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查分段函数,以及考查利用对数函数与指数函数的单调性、特殊点解决不等式问题,考查形式计算能力.
15.已知为球的半径,垂直于的平面截球面得到圆(为截面与的交点).若圆的面积为,,则球的表面积为___________.
【答案】
【解析】试题分析:由已知可得圆的半径为,取圆上一点,则,在中,球半径,所以所求球的表面积为.
【考点】球的表面积.
【思路点睛】本题主要考查球的表面积,属基础题.本题关键在于获得球体的半径,由截面圆的面积可得截面圆的半径为,结合垂直于截面圆,可得在垂线上,取圆上任一点,则为直角三角形,故球体半径,由球体表面积公式可得.
16.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若,则AB1与C1B所成的角的大小为___________.
【答案】900
【解析】不妨设BB1=1,则AB=,
∴直线AB1与C1B所成角为90°
故答案为:900.
点睛:这个题目考查的是立体中异面直线的夹角的求法,常用方法是建系法,直接找两个直线的方向向量,求方向向量的夹角即可;或者将异面直线平移到同一个平面中,转化为平面直线的夹角问题。
三、解答题
17.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,b=2c,求△ABC的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)根据已知,利用正弦定理,求出,求出角A的大小;(2)由余弦定理的推论,求出边长c,由b=2c 求出边长b,由三角形面积公式求出面积。
试题解析: (1)根据正弦定理,由(2b-c)cos A=acos C,
得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A,
即2sin Bcos A=sin(A+C),
所以2sin Bcos A=sin B,
因为0<B<π,所以sin B≠0,
所以cos A=,因为0<A<π,所以A=.
(2)因为a=3,b=2c,由(1)得A=,
所以cos A===,
解得c=,所以b=2.
所以S△ABC=bcsin A=×2××=.
18.已知数列的前n项和为,且,,数列满足,.
(1)求和的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和 .
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)求数列的通项公式主要利用求解,分情况求解后要验证是否满足的通项公式,将求得的代入整理即可得到的通项公式;(2)整理数列的通项公式得,依据特点采用错位相减法求和
试题解析:(1)∵,∴当时,.
当时,.
∵时,满足上式,∴.
又∵,∴,解得:.
故,,.
(2)∵,,
∴①
②
由①-②得:
∴,.
【考点】1.数列通项公式求解;2.错位相减法求和
【方法点睛】求数列的通项公式主要利用,分情况求解后,验证的值是否满足关系式,解决非等差等比数列求和问题,主要有两种思路:其一,转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完成,其二,不能转化为等差等比数列的,往往通过裂项相消法,倒序相加法来求和,本题中,根据特点采用错位相减法求和
19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,,分别为的中点,点在线段上.
(1)求证:平面;
(2)当时,求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析 (2)24
【解析】(1)证明.得到.证明底面,可得.然后证明平面.
(2)证明底面,然后求解四棱锥的体积.
【详解】
(1)证明:在平行四边形中,因为,,
,
所以.
由,分别为,的中点,得,
所以.
因为侧面底面,且,
所以底面.
又因为底面,
所以.
又因为,平面,平面,
所以平面.
(2)解:在中,过作交于点,
由,得,
又因为,
所以,
因为底面,
所以底面,
所以四棱锥的体积.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.
20.已知函数,且.
(1)求的解析式;
(2)若对于任意,都有,求m的最小值;
【答案】(1) (2) -1.
【解析】(1)求出函数的导数,根据,求出的值,从而求出函数的解析式即可;
(2)问题转化为对于任意,都有.设,根据函数的单调性求出的最大值,从而求出的最小值即可.
【详解】
解:(1)解:对求导,得,
所以,解得,
所以.
(2)解:由,得,
所以对于任意,都有.
设,则.
令,解得.
当变化时,与的变化情况如下表:
x | 1 | ||
+ | 0 |
| |
极大值 |
所以当时,.
因为对于任意,都有成立,
所以.所以的最小值为-1.
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,属于中档题.
21.已知函数,
(1)求当在处的切线的斜率最小时,的解析式;
(2)在(1)的条件下,是否总存在实数m,使得对任意的,总存在,使得成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (2)存在,.
【解析】(1)先求函数的导数,在处的导数就是切线斜率,再求其取值范围;
直接求当在处的切线的斜率最小时,求的解析式;
(2)在(1)的条件下,先求函数的导数,再确定单调性,是否总存在实数,
使得对任意的,,总存在,,使得成立,
就是的值域包含,求出的最大值和最小值,再求实数的取值范围;
【详解】
(1)
所以在处的切线斜率的取值范围为
知,则
(2),则有
-1 | 2 | ||||||
| 0 | 0 |
| ||||
增 | 减 | 增 | 4 |
所以当时,,
假设对任意的都存在
使得成立,
设的最大值为,最小值为,则
又,所以当时,
且,
所以.
【点睛】
本题考查直线的斜率,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.
22.在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)曲线的方程为(t为参数),若曲线与曲线交于A、B两点,且,求直线AB的斜率.
【答案】(1) . (2) 斜率为.
【解析】(1)利用二倍角公式将式子化简,再根据,,换元即可;
(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程中,利用直线的参数方程的几何意义,表示出的长度,求出倾斜角的值,即可求出直线的斜率.
【详解】
(1)由得,
于是.
曲线的直角坐标方程为.
(2)曲线是直线.且过点,倾斜角是,
将其参数方程代入曲线的方程得:
,
,,
于是,
即,
解得,即
或
或
于是的斜率为.
【点睛】
本题考查的知识要点:极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
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