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    2020届甘肃省武威第一中学高三上学期12月月考数学(文)试题(解析版)

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    这是一份2020届甘肃省武威第一中学高三上学期12月月考数学(文)试题(解析版),共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020届甘肃省武威第一中学高三上学期12月月考数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.设集合,,则下列结论正确的是( 

    A B C D

    【答案】C

    【解析】集合,,

    ,所以.

    故选C.

    2.已知复数满足,则( )

    A B C D

    【答案】C

    【解析】试题分析:∴z=,故选C.

    【考点】复数运算

     

    3.设,则( )

    A.充要条件 B.充分不必要条件

    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】B

    【解析】试题分析:,故的充分不必要条件.

    【考点】对数不等式;指数不等式;充要条件.

    4.《九章算术》竹九节问题:现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4

    节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为( 

    A B C D1

    【答案】A

    【解析】试题分析:依题意,解得,故.

    【考点】等差数列的基本概念.

    5.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】【详解】

    解:由三视图的侧视图和俯视图可知:三棱锥的一个侧面垂直于底面,

    三棱锥的高是:,

    它的体积:,

    故选A

    6.已知α,cos α=,tan等于(  )

    A7 B C- D-7

    【答案】B

    【解析】先根据同角三角函数关系求tan α,再根据两角差正切公式求结果.

    【详解】

    由已知得tan α=,tan.

    B

    【点睛】

    本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式,考查基本求解能力.

    7.已知PQ是以坐标原点O为圆心的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且点P的纵坐标为,点Q的横坐标为,则   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据单位圆上点的坐标与三角函数关系,可得,由同角三角函数关系式可得;由题意可得,由同角三角函数关系可得,而,根据余弦的和角公式即可求解。

    【详解】

    由题意可得,

    再根据,可得

    故选D.

    【点睛】

    本题考查了同角三角函数关系式的应用,三角函数的定义,余弦和角公式的用法,属于基础题。

    8.圆关于直线对称,则ab取值范围是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和半径,由已知圆关于直线对称,得到圆心在直线上,故把圆心坐标代入已知直线方程得到的关系式,由表示出,设,将表示出的代入中,得到关于的二次函数关系式,由二次函数求最大值的方法即可求出的最大值,即为的最大值,即可写出的取值范围.

    【详解】

    解:把圆的方程化为标准方程得:

    圆心坐标为,半径

    根据题意可知:圆心在已知直线上,

    把圆心坐标代入直线方程得:,即

    则设

    时,有最大值,最大值为,即的最大值为

    的取值范围是

    故选:

    【点睛】

    本题以直线与圆为载体,考查对称性,考查了直线与圆相交的性质,以及二次函数的性质.根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键,属于中档题.

    9已知数列满足),则  

    A    B    C    D

    【答案】A

    【解析】由题意得,两式相除得 ,选A.

    10.若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为( )

    A-3    B1    C    D3

    【答案】B

    【解析】如图,

    由于不等式组,表示的平面区域为,且其面积等于

    再注意到直线与直线互相垂直,所以是直角三角形,

    易知,,;从而=

    化简得:,解得,,检验知当时,已知不等式组不能表示一个三角形区域,故舍去,所以;故选B.

    【考点】线性规划与三角形的面积.

     

    11.已知定义域为的偶函数,其导函数为,对任意正实数满足,若,则不等式的解集是(  

    A    B    C    D

    【答案】C

    【解析】试题分析:因为定义域为的偶函数,所以,对任意正实数满足,所以,因为,所以,所以函数上单调递增,所以上单调递减,由不等式,所以,解得,故选C.

    【考点】函数的奇偶性与单调性的应用;利用导数研究函数的性质.

    【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性与函数的单调性的应用,本题的解答中根据函数的奇偶性和利用导数判定函数的单调性,得出函数上单调递增,所以上单调递减,列出不等式组是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力,属于中档试题.

    12.已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为

    A3 B4 C5 D6

    【答案】B

    【解析】,=可化简为,构造函数,,,单调递增,,因为,,所以,,上单调递减, 上单调递增,所以,,,k的最小值为4,故选B.

    点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量x 的范围,分离参数和变量,转化为新函数g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知上单调递减, 上单调递增,所以,,,通过对最小值化简得出的范围,进而得出k的范围.

     

     

    二、填空题

    13.已知向量,若,则代数式________.

    【答案】3

    【解析】利用向量共线定理可得,解得.再利用弦化切可得代数式即可.

    【详解】

    解:

    解得

    代数式

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查了向量共线定理和三角函数的基本关系式,属于基础题.

    14.已知函数,则满足a的取值范围是________(用区间的形式表示).

    【答案】

    【解析】分别讨论:当时与当时两种情况,再结合对数函数与指数函数的性质求出的范围即可.

    【详解】

    解:当时,则有,解得:

    时,则有,解得:

    所以的取值范围是:

    故答案为:

    【点睛】

    本题主要考查分段函数,以及考查利用对数函数与指数函数的单调性、特殊点解决不等式问题,考查形式计算能力.

    15.已知为球的半径,垂直于的平面截球面得到圆为截面与的交点).若圆的面积为,则球的表面积为___________.

    【答案】

    【解析】试题分析:由已知可得圆的半径为,取圆上一点,则,在中,球半径,所以所求球的表面积为.

    【考点】球的表面积.

    【思路点睛】本题主要考查球的表面积,属基础题.本题关键在于获得球体的半径,由截面圆的面积可得截面圆的半径为,结合垂直于截面圆,可得在垂线上,取圆上任一点,则为直角三角形,故球体半径,由球体表面积公式可得.

    16.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若,则AB1C1B所成的角的大小为___________.

    【答案】900

    【解析】不妨设BB1=1,则AB=

    直线AB1C1B所成角为90°

    故答案为:900.

    点睛:这个题目考查的是立体中异面直线的夹角的求法,常用方法是建系法,直接找两个直线的方向向量,求方向向量的夹角即可;或者将异面直线平移到同一个平面中,转化为平面直线的夹角问题。

     

    三、解答题

    17.在ABC中,内角ABC的对边分别为abc,且(2bc)cos Aacos C

    (1)求角A的大小;

    (2)a3b2c,求ABC的面积.

    【答案】12

    【解析】试题分析:1)根据已知,利用正弦定理,求出,求出角A的大小;(2)由余弦定理的推论,求出边长c,由b=2c 求出边长b,由三角形面积公式求出面积。

    试题解析: (1)根据正弦定理,由(2bc)cos Aacos C

    2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A

    2sin Bcos Asin(AC)

    所以2sin Bcos Asin B

    因为0<B,所以sin B≠0

    所以cos A,因为0<A,所以A.

    (2)因为a3b2c,由(1)A

    所以cos A

    解得c,所以b2.

    所以SABCbcsin A×2××.

    18.已知数列的前n项和为,,,数列满足.

    (1)的通项公式;  

    (2)求数列{}的前n项和 .

    【答案】1;(2

    【解析】试题分析:1)求数列的通项公式主要利用求解,分情况求解后要验证是否满足的通项公式,将求得的代入整理即可得到的通项公式;(2)整理数列的通项公式得,依据特点采用错位相减法求和

    试题解析:(1时,.

    时,.

    时,满足上式,.

    ,解得:.

    .

    2

    ①-②得:

    .

    【考点】1.数列通项公式求解;2.错位相减法求和

    【方法点睛】求数列的通项公式主要利用分情况求解后,验证的值是否满足关系式,解决非等差等比数列求和问题,主要有两种思路:其一,转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完成,其二,不能转化为等差等比数列的,往往通过裂项相消法,倒序相加法来求和,本题中,根据特点采用错位相减法求和

    19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面分别为的中点,点在线段.

    1)求证:平面

    2)当时,求四棱锥的体积.

    【答案】(1)证明见解析 (2)24

    【解析】1)证明.得到.证明底面,可得.然后证明平面

    2)证明底面,然后求解四棱锥的体积.

    【详解】

    1)证明:在平行四边形中,因为

    所以

    分别为的中点,得

    所以

    因为侧面底面,且

    所以底面

    又因为底面

    所以

    又因为平面平面

    所以平面

    2)解:在中,过于点

    ,得

    又因为

    所以

    因为底面

    所以底面

    所以四棱锥的体积

    【点睛】

    本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.

    20.已知函数,且.

    1)求的解析式;

    2)若对于任意,都有,求m的最小值;

    【答案】(1) (2) -1.

    【解析】1)求出函数的导数,根据,求出的值,从而求出函数的解析式即可;

    2)问题转化为对于任意,都有.设,根据函数的单调性求出的最大值,从而求出的最小值即可.

    【详解】

    解:(1)解:对求导,得

    所以,解得

    所以.

    2)解:由,得

    所以对于任意,都有.

    ,则.

    ,解得.

    变化时,的变化情况如下表:

    x

    1

    +

    0

     

    极大值

     

     

    所以当时,.

    因为对于任意,都有成立,

    所以.所以的最小值为-1.

    【点睛】

    本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,属于中档题.

    21.已知函数

    1)求当处的切线的斜率最小时,的解析式;

    2)在(1)的条件下,是否总存在实数m,使得对任意的,总存在,使得成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.

    【答案】(1) (2)存在,.

    【解析】1)先求函数的导数,在处的导数就是切线斜率,再求其取值范围;

    直接求当处的切线的斜率最小时,求的解析式;

    2)在(1)的条件下,先求函数的导数,再确定单调性,是否总存在实数

    使得对任意的,总存在,使得成立,

    就是的值域包含,求出的最大值和最小值,再求实数的取值范围;

    【详解】

    1

    所以处的切线斜率的取值范围为

    ,则

    2,则有

    -1

    2

     

    0

    0

     

    4

     

     

    所以当时,

    假设对任意的都存在

    使得成立,

    的最大值为,最小值为,则

    ,所以当时,

    所以.

    【点睛】

    本题考查直线的斜率,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.

    22.在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为

    1)求曲线的直角坐标方程;

    2)曲线的方程为t为参数),若曲线与曲线交于AB两点,且,求直线AB的斜率.

    【答案】(1) . (2) 斜率为.

    【解析】1)利用二倍角公式将式子化简,再根据换元即可;

    2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程中,利用直线的参数方程的几何意义,表示出的长度,求出倾斜角的值,即可求出直线的斜率.

    【详解】

    1)由

    于是.

    曲线的直角坐标方程为.

    2)曲线是直线.且过点,倾斜角是

    将其参数方程代入曲线的方程得:

    于是

    解得,即

    于是的斜率为.

    【点睛】

    本题考查的知识要点:极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.

     

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