2020届河北省高三上学期11月百千联考数学（文）试题（解析版）

2020届河北省高三上学期11月百千联考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解绝对值不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.

【详解】

因为，所以.

故选：C

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查一元二次不等式、绝对值不等式，考查运算求解能力.

2．已知，若与互为共轭复数，则（    ）

A．3 B． C． D．10

【答案】B

【解析】根据共轭复数的概念求得，由此求得.

【详解】

根据共轭复数的概念可知，所以.

故选：B

【点睛】

本题考查复数模的运算，考查共轭复数的概念，考查运算求解能力.

3．已知l为直线，为平面，则的充要条件是（    ）

A．1与没有交点 B．存在直线，使得

C． D．在平面内存在无数条直线与直线1平行

【答案】A

【解析】结合线面平行的定义，以及线面平行的判定定理，选出正确选项.

【详解】

由直线平行平面的定义以及线面平行的判定定理可知，选项A是的充要条件.

故选：A

【点睛】

本题考查点、线、面的位置关系以及充分必要条件，属于基础题.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得，进而求得表达式的值.

【详解】

，所以，.

因为，所以.

故选：D

【点睛】

本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力.

5．若x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．-5 B．-3 C．1 D．2

【答案】C

【解析】画出可行域，向下平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.

【详解】

画出可行域，由图可知，直线过点时，z取得最大值.

故选：C

【点睛】

本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.

6．已知的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】利用正弦定理、三角形内角和定理化简，求得，用余弦定理求得.

【详解】

由，得，，所以.根据余弦定理得，所以.

故选：D

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查运算求解能力.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据函数的奇偶性和在时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项.

【详解】

因为是偶函数，所以排除A，C，当时，恒成立，所以排除D.

故选:B.

【点睛】

本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力.

8．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则的图象的一条对称轴可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先利用坐标变换求得的解析式，根据根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此得出正确选项.

【详解】

函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象.由，得.令.

故选：C

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换和三角函数性质，考查运算求解能力.

9．某校高三年级共有1200名学生，所有同学的体重（单位：kg）在[50，75]范围内，在一次全校体质健康检查中，下图是学生体重的频率分布直方图.已知图中从左到右的前3个小组的高度之比为1：2：3，那么体重在[55，60）的学生人数为（    ）

A．200 B．300 C．350 D．400

【答案】B

【解析】先根据频率分布直方图求得后两组的频率和，由此求得前三组的频率和，利用题目所给高度比，求得的频率.

【详解】

因为后面两组的频率为，则前3个小组的频率为0.75，图中从左到右的前3个小组的高度之比为，所以体重在的频率为，人数为.

故选：B

【点睛】

本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由三视图画出原图，根据几何体的结构，计算出几何体的表面积.

【详解】

该几何体的直观图如图所示.易知，所以，所以该几何体的表面积.

故选：A

【点睛】

本题考查三视图以及几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.

11．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：平方公里）是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式列方程，化简后求得丙地的轨迹方程，由此根据三角形的面积公式，求得三角形信号覆盖面积的最大值.

【详解】

由题意不妨设甲、乙两地坐标为，丙地坐标为，则，整理得，半径，所以最大面积为.

故选：B

【点睛】

本题考查数学文化与圆的运用，考查化归与转化的数学思想.

12．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】画出的图像，利用将表示成的关系式，将化为只含的表达式，利用换元法，结合导数，求得的最大值.

【详解】

作出的图象如图所示.

因为，所以，即.由图可知，则，令.则.易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的综合应用，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.

二、填空题

13．已知平面向量，若，则实数_____________.

【答案】3

【解析】先求得，然后根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.

【详解】

由已知得，又，所以，解得

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向量坐标运算和平面向量共线的知识，考查运算求解能力.

14．本届世界军运会在中国武汉举行，这次军运会增进了各国人民的友谊，传递了热爱和平的信息.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名运动员五次射箭比赛的成绩（满分：10环），则甲的平均成绩比乙的平均成绩多____________环，甲的成绩的众数与乙的成绩的众数之和为__________.

【答案】1    17   

【解析】利用平均数的计算公式，分别计算出甲、乙的平均数，再计算出他们的差.分别求得甲和乙的众数，然后相加.

【详解】

甲的平均成绩为，乙的平均成绩为， .又甲的成绩的众数为9，乙的成绩的众数为8，它们之和为17.

故答案为：（1）；（2）

【点睛】

本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.

15．已知函数是定义域为R的奇函数，且为偶函数，，则____________.

【答案】-8

【解析】利用函数为偶函数为奇函数，判断出是周期为的周期函数，由此求得的值.

【详解】

由函数为偶函数，可得，所以.又为奇函数，，得，从而，故该函数是周期为12的周期函数.又函数为奇函数，则.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，考查运算求解能力.

16．已知抛物线，焦点为，定点.若点M，N是抛物线C上的两相异动点，M，N不关于y轴对称，且满足,则直线MN恒过的定点的坐标为_________.

【答案】

【解析】利用抛物线的焦点坐标，求得抛物线方程，设出两点的坐标，根据列方程，化简求得.写出直线的方程，进而判断直线过定点

【详解】

抛物线C的标准方程为，焦点为，所以，所以.设，则，整理得，由于不关于轴对称，所以恒有，直线MN的方程为，即，即即所以过定点.

故答案为：

【点睛】

本题考查抛物线的知识，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力.

三、解答题

17．已知数列是各项都为正数的等比数列，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程求得，进而求得数列的通项公式.

（2）利用裂项求和法求得数列的前n项和.

【详解】

（1）设数列的公比为q，则，可变形为，

化简为

解得或（舍去）

因为，所以，解得

所以数列的通项公式为

（2）因为

所以

所以

【点睛】

本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查裂项相消求和法，属于基础题.

18．“互联网+”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi为了解免费WiFi在A市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）：

（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关；

（2）现从所抽取的45岁以上的市民中按是否经常使用WiFi进行分层抽样再抽取5人.

（i）分别求这5人中经常使用，偶尔或不用免费WFi的人数；

（ii）从这5人中，再随机选出2人各赠送1件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用免费WiFi的概率.

附：，其中.

【答案】(1) 没有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关(2) （i）经常使用3人，偶尔或不用免费2人 （ii）

【解析】（1）计算出的值，由此判断出没有的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关.

（2）（i）利用分层抽样知识计算出经常使用，偶尔或不用免费WFi的人数.

（ii）利用列举法以及古典概型概率公式计算出所求的概率.

【详解】

（1）由列联表可知

因为，所以没有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关

（2）（i）依题意可知，在所抽取的5名45岁以上的网友中，经常使用免费WiFi的有人，偶尔或不用免费WiFi的有人

（ii）设这5人中，经常使用免费Wifi的3人分别为A，B，C；偶尔或不用免费WiFi的2人分别为d，e

则从5人中选出2人的所有可能结果为

共10种

其中没有人经常使用免费WiFi的可能结果为，共种.

故选出的2人中至少有1人经常使用免费WiFi的概率

【点睛】

本小题主要考查列联表独立性检验，考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，属于中档题.

19．如图，在三棱锥P-ABC中，，平面平面ABC，点D在线段BC上，且，F是线段AB的中点，点E是PD上的动点.

（1）证明：.

（2）当EF//平面PAC时，求三棱锥C-DEF的体积.

【答案】(1)证明见解析 (2)

【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得.通过中位线和等腰三角形的性质，证得，由此证得平面，进而证得.

（2）利用面面平行的判定定理证得，由此求得点到平面的距离，进而利用，求得三棱锥的体积.

【详解】

（1）连接，因为，F为AB的中点，

所以.

又平面平面ABC，平面平面，

所以平面ABC，从而

设BC的中点H，连接,因为，DF是的中位线，

所以.

因为，是中点，，所以

所以平面PDF

因为平面PDF，所以

（2）设点E到平面ABC的距离为，由（1）知，则平面，而平面，，所以平面平面，

所以.

所以，

又，

所以

【点睛】

本小题主要考查线线垂直的证明，考查面面垂直的性质定理，考查面面平行的证明，考查等腰三角形的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20．已知椭圆，圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线与C只有一个公共点.

（1）求C的标准方程；

（2）设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F，直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中垂线交x轴于点P，求的值.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）利用单位圆的性质求得，利用直线和椭圆联立方程后关于的方程只有一个解，判别式为列方程，由此求得.进而求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，求得中点的坐标，利用中垂线的斜率列方程，求得点的横坐标，由此求得.利用弦长公式求得，进而求得的值.

【详解】

（1）依题意，得

将代入椭圆的方程，得

由，解得

所以椭圆的标准方程为

（2）由（1）可得左焦点

由题意设直线的方程为，

代入椭圆方程，得

设，则

所以,AB的中点为

设点，则，

解得

所以

又

所以

【点睛】

本小题主要考查圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查垂直平分线的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.

21．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，，，，可求得的单调性

（2）由（1）求得在，，，时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数的取值范围。

【详解】

解析：（1）

①，，，，单调递增；，，单调递减

②，或，当，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减

③，，在单调递减

④，或，当，，单调递减；

，，单调递增；

，，单调递减

（2）由（1）得当时，在定义域上只有一个零点

，由（1）可得，要使有两个零点，则

∴

下证有两个零点

取，，满足，故在有且只有一个零点

，满足，故在有且只有一个零点

当时，由（1）可得，，故在无零点，

又因为在单调递减，

∴在至多一个零点，不满足条件

当时，，故在上无零点，

又因为在单调递减，∴在至多一个零点，不满足条件

∴满足条件的取值范围

【点睛】

本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查学生的计算能力，属于难题。

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数），曲线的参数方程（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若射线分别交于A，B两点，求的最大值.

【答案】(1) , (2)

【解析】（1）将参数方程中参数消掉，求得其普通方程，再转化为极坐标方程.

（2）将代入的极坐标方程，由此求得的表达式，用三角恒等变换的知识化简，由三角函数的最值求法，求得的最大值.

【详解】

（1）曲线的参数方程为消去参数，得，

转化为极坐标方程为

曲线的参数方程为消去参数，得，

转化为极坐标方程为

（2）因为射线分别交于A，B两点，

所以

所以.

所以，当时，的最大值为

【点睛】

本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度比值的计算，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.

23．已知.

（1）若不等式的解集为，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若对任意恒成立，求m的取值范围.

【答案】(1) . (2)

【解析】（1）利用绝对值不等式的解法化简，根据不等式的解集，求得的值.

（2）先求得的最小值，由此解一元二次不等式求得的取值范围.

【详解】

（1）因为，所以

所以，即的解集为

又不等式的解集为，

所以解得.

（2）因为

易知的最小值是2.

因为对任意恒成立，

所以，即.

解得，即m的取值范围为

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.