2020届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2020届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学（文）试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学（文）试题


一、单选题
1．已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】用列举法依次表示出集合，再求出交集，再判断元素个数．
【详解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，有3个元素，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题．
2．已知复数z满足z（1+i）＝1+3i，其中i是虚数单位，设是z的共轭复数，则的虚部是（ ）
A．i B．1 C．﹣i D．﹣1
【答案】D
【解析】先根据复数代数形式的除法运算求出，再根据共轭复数的定义写出，从而得出的虚部．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，则的虚部为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于易错题．
3．等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若a2，a4是关于x的一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个根，则S5＝（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】B
【解析】由韦达定理得，再利用等差数列的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵是关于的一元二次方程的两个根，
∴由韦达定理得，
由等差数列的性质得，
，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与前项和的计算，属于基础题．
4．若f（x）＝ex+ae﹣x是定义在R上的奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝2x
【答案】D
【解析】由函数是定义在上的奇函数得，求出函数的解析式，再求出，从而可求出切线方程．
【详解】
解：∵函数是定义在上的奇函数，
∴，得，
∴，
∴，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题．
5．已知⊙O的半径为1，A，B为圆上两点，且劣弧AB的长为1，则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为（ ）
A．sin1 B．cos1 C．sin D．cos
【答案】A
【解析】由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和△的面积，从而得出结论．
【详解】
解：设的半径为，劣弧所对的圆心角为，弧长为，

由弧长公式得，
∴弦与劣弧所围成图形的面积，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题．
6．某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）

成绩/分
班内排名
甲
95
9
乙
94
11
丙
93
14


A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【解析】由题意可得出成绩为95分的有2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数，从而求出答案．
【详解】
解：由表格可知，该班成绩为95分的有2人，94分的有3人，
∴从这5名同学中随机抽取2名同学，
基本事件总数为，
这两位同学成绩相同包含的基本事件数是，
∴这两位同学成绩相同的概率，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题．
7．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先设，由题意知△是直角三角形，利用且恰好为正三角形，求出、，根据双曲线的定义求得，之间的关系，则双曲线的离心率可得．
【详解】
解：连接， 设，

则由题意可得是直角三角形，
由恰好为正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题．
8．某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同．已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ）
A．2班 B．3班 C．4班 D．5班
【答案】B
【解析】本题的关键是找出1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，再根据逆否命题的真假性，可得1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果．
【详解】
解：由题意，1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，
根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘，
只剩下“野炊”和“饲养”，
因3班既不选“野炊”，
故选择“饲养”的班级是3班．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题．
9．下列关于函数的说法，正确的是（ ）
A．是函数f（x）的一个极值点
B．f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）在区间（0，π）上有且只有一个零点
D．函数f（x）的图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到
【答案】D
【解析】先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可．
【详解】
解：函数，
当时，，所以不是函数的一个极值点，所以A不正确；
当时，函数取得最大值，所以函数在区间上不是增函数，所以B不正确；
由得，则，所以在区间上有两个零点，，所以C不正确；
由函数的图象向左平移个单位长度得到，所以正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题．
10．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V﹣E+F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的．20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ）

A．180 B．120 C．60 D．30
【答案】C
【解析】设巴克球顶点数、棱数及面数，计算出面数和棱数即可求出顶点数．
【详解】
解：依题意，设巴克球顶点数、棱数及面数，
则，
每条棱被两个面公用，故棱数，
所以由得：，解得．
故选：C．
【点睛】
本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AE＝EF＝FC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造平面，平面，设正方体边长为1，根据等体积法计算到平面的距离，从而可得出，分别为与平面和平面的交点，计算中间几何体的体积得出答案．
【详解】
解：

构造平面，平面，则平面，平面，
设正方体边长为1，则，，，
，
设到平面的距离为，则，解得，
平面，同理可得平面，
正方体夹在平面与之间的部分体积为，
∴体积之比是，
故选：C．
【点睛】
本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点．点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足，，则|MN|的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】A
【解析】设，的中点分别为，，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，的最大，可得的最大值为即可．
【详解】
解：设，的中点分别为，，

，，则，在分别以，为圆心的圆上，
∴直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，最大，
∴的最大值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．


二、填空题
13．已知非零向量满足，，则与的夹角为__________．
【答案】
【解析】由题意，，得，所以，
所以夹角是。
14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．

【答案】4．
【解析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥，其中，底面，是正方形，边长为3，，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长．
【详解】
解：由题意几何体的直观图如图，

其中，底面，是正方形，
边长为3，，，
所以，，
所以最长的棱长为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基础题．
15．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，且，则b+c的取值范围为_____．
【答案】
【解析】根据已知等式和余弦定理，可推出，即，，又知，所以；因为三角形是锐角三角形，所以角为锐角，；由，设，用表示出，并求出的取值范围，进而得的取值范围．
【详解】
解：，且，
，即，
又由余弦定理可得，
可得，即，
，，又为锐角，，
，，
设，由余弦定理知，
，
，，，
故，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题．
16．已知曲线y＝|lnx|与直线y＝m有两个不同的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1＜x2），设直线l1，l2分别是曲线y＝|lnx|在点P1，P2处的切线，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B．△P2AB为等边三角形，则实数m的值为_____．
【答案】
【解析】由对数的运算性质可得，，分别求得和的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及，的坐标，可得等边三角形的边长，可得，进而得到的值．
【详解】
解：由曲线与直线有两个不同的交点，可得，即有，，
由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，
令得，即，
由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，
令得，即，则，
由△为等边三角形，可得，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题．

三、解答题
17．端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示．
表一：
价格/（元/千克）
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
种类数
4
12
16
6
2

在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二．
表二：

喜欢传统馅料粽
喜欢特色馅料粽
总计
40岁以下
30
15
45
40岁及以上
50
5
55
总计
80
20
100

（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？
参考公式和数据：（其中为样本容量）
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828


【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克（2）有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关
【解析】（1）根据表一的数据计算平均数即可；
（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论．
【详解】
解：（1）根据表一的数据，
，
估计该商场粽子的平均销售价为21.25；
（2）根据表二信息，
，
所以有的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关．
【点睛】
本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题．
18．已知{an}是等比数列，，且成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）an＝（）n（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得，再由数列的裂项相消求和．
【详解】
解：（1）设是公比为的等比数列，，且成等差数列，
可得，，即，
解得，
则；
（2），
∴．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．

（1）求证：PB∥平面AEF；
（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；
（2）求出，，由，求出，三棱锥的体积，由此能求出结果．
【详解】
（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，与交于点，平面，
为的中点连接交于，点在侧棱上，且，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，平面，
平面；
（2）解：，，
，，
由，解得，，
三棱锥的体积：
．
【点睛】
本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
20．已知函数（为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)问：是否存在实数,使得有两个相异零点？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ①当时，函数无极值.②当时,函数有极小值为,无极大值；(2)存在,
【解析】(1)对函数求导,根据的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数的极值；
(2)根据的不同取值范围,进行分类讨论,结合、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出的取值范围.
【详解】
解：(1)因为,所以.
①当时，，
所以时,,所以函数在上单调递减.
此时，函数无极值.
②当时,令，得,
当时,,所以函数在上单调递减；
当时,,所以函数在上单调递增.
此时,函数有极小值为,无极大值.
(2)存在实数,使得有两个相异零点.
由(1)知：①当时,函数在上单调递减；
又,所以此时函数仅有一个零点；
②当时，.
因为,则由（1）知；
取,令,
易得,所以在单调递减,
所以,所以.
此时,函数在上也有一个零点.
所以,当时,函数有两个相异零点.
③当时,,，
此时函数仅有一个零点.
④当时,,因为,则由(1)知；
令函数,易得,
所以,所以,即.
又,所以函数在上也有一个零点,
所以,当时,函数有两个相异零点.
综上所述,当时,函数有两个相异零点.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.
21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．
（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；
（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．
【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析
【解析】（1）设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，设，，，，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程；
（2）求得的导数，可得抛物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程．
【详解】
解：（1）设直线的方程为，代入抛物线，
可得，
设，，则，
点为线段的中点，可得，即，
则抛物线的方程为；
（2）证明：设，，点为线段的中点，
可得，，
由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，
由，可得，①
同理可得，②
①②可得，
即为，即．
可得交点在一条定直线上．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin2θ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求m的值．
【答案】（1）直线l的普通方程为x+2y﹣4﹣2m＝0；曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣1＝0（2）m或
【解析】（1）由消参法可得直线的普通方程；由，，，代入化简可得曲线的直角坐标方程；
（2）求得曲线表示的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．
【详解】
解：（1）直线的参数方程为，为参数），
可得，
即直线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
即为，
由，，，
可得；
（2）由（1）可得曲线表示以为圆心，为半径的圆，
由直线与曲线相切，可得圆心到直线的距离为半径，
即为，解得或．
【点睛】
本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
23．已知函数f（x）＝|x+4m|+|x+2m+1﹣3|．
（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；
（2）试证明f（x）≥2．
【答案】（1）{x|x≥1或x≤﹣6}（2）证明见解析
【解析】（1）将代入中，然后将写为分段函数的形式，再根据分别解不等式可得解集；
（2）由绝对值三角不等式可得，从而证明结论．
【详解】
解：（1）当时，．
因为，所以或，
所以或，
所以不等式的解集为或；
（2）证明：
，
当且仅当，即时取等号，
所以．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．