2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接利用交集的运算即可得到结果.

【详解】

．

故选：A.

【点睛】

本题主要考查交集的定义及运算，属于基础题．

2．复平面内表示复数的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z的坐标得答案．

【详解】

因为，

所以复数所对应的复平面内的点为，位于第三象限．

故选：C.

【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．

3．设向量满足，，则（    ）

A．1 B． C． D．7

【答案】B

【解析】由，然后用数量积的定义，将的模长和代入即可求解.

【详解】

因为，所以．

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.

4．设有不同的直线a，b和不同的平面，，给出下列四个命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，则．

其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可．

【详解】

对于①，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面，故①错误；

对于②，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故②错误；

对于③，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故③正确；

对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；

故选：B．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

5．甲、乙2名党员干部各自等可能地从A，B，C，D，4个贫困村中选择1个驻村扶贫，则他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】列举出符合题意的所有情况，找出满足选择不同的贫困村驻村扶贫的种数，利用古典概型的概率公式计算即可..

【详解】

甲乙2名党员干部各自等可能地从A，B，C，D，4个贫困村中选择1个驻村扶贫，可能的结果共有如下16种：，，，，，，，，，，，，，，，，其中他们选择相同的贫困村驻村扶贫的结果共有如下4种：，，，，故他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为．

故选：A.

【点睛】

本题主要考查古典概型，考查了列举法求基本事件的方法，属于基础题.

6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（    ）

A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大 D．海南人年龄最小

【答案】D

【解析】通过分析，排除即可．

【详解】

由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人；

由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人；

故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄；

所以ABC错，D对．

故选：D．

【点睛】

本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．

7．已知，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】利用二倍角公式化简，再利用两角差的正切公式，将弦化切，代入计算即可求出值．

【详解】

．

故选：A.

【点睛】

此题考查了运用二倍角的正余弦公式化简求值，考查了同角三角函数间的基本关系的应用，属于基础题．

8．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】本题首先可根据得出，然后即可判断出函数是奇函数并排除B项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。

【详解】

因为，，

所以函数是奇函数，排除B，

因为函数的解析式为，

所以，

,

在递增

又，

所以在恒成立

所以在递增，又

所以在恒成立

所以在为增函数，排除A、C，

综上所述，故选D。

【点睛】

本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题。

9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是C上一点，满足，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】通过|F1F2|＝|PF2|及椭圆的定义建立a与c的关系，求出椭圆的离心率e．

【详解】

因为在中，，，所以，，椭圆C的离心率为．

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆的离心率的求法，考查了椭圆定义的应用，属于基础题．

10．函数的定义域为R，若与都是偶函数，则（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．

【答案】C

【解析】首先由偶函数及图象平移的性质求得f（x）的周期，然后利用所求结论直接判断即可．

【详解】

f（x+1）与f（x﹣1）都是偶函数，根据函数图象的平移可知，f（x）的图象关于x＝1，x＝﹣1对称，

可得f（x）＝f（2﹣x）＝f（﹣4+x），即有f（x+4）＝f（x），

∴函数的周期T＝4，

∴f（﹣x+3）＝f（﹣x﹣1）＝f（x+3），则f（x+3）为偶函数，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的应用与周期性的证明，准确把握定义是解题的关键，属于中档题．

11．如图来自某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有1个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，小球相交部分(图中阴影部分)记为Ⅰ，大球内、小球外的部分(图中黑色部分)记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点取Ⅰ，Ⅱ的概率分别记为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．

【详解】

设小球的半径为r，则大球的半径为，体积为，

4个小球的体积之和为，小球相交部分的体积，

大球内、小球外的部分的体积，

所以，从而，，

，

所以选项A、B、D错误，选项C正确．

故选：C.

【点睛】

本题主要考查几何概型，考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．

12．已知函数，下列结论中错误的是（    ）

A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称

C．的最大值为 D．是周期函数

【答案】C

【解析】根据对称性，周期性最值的概念结合三角函数的运算，逐项判断即可．

【详解】

对于A，因为f（π﹣x）+f（x）＝sin（π﹣x）sin（2π﹣2x）+sinxsin2x＝0，所以A正确；

对于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）＝sinxsin2x＝f（x），所以的图像关于直线对称，所以B正确；

对于C，f（x）＝sinx•sin2x＝2sin2xcosx＝2（1﹣cos2x）cosx＝2cosx﹣2cos3x，令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t﹣2t3，令g′（t）＝2﹣6t2＝0，得，t，

，，，，所以的最大值是，从而的最大值是，故C错误；

对于D，因为，即f（2π+x）＝f（x），故2π为函数f（x）的一个周期，故D正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法函数的单调性以及函数的对称性，考查命题的真假的判断与应用，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．

二、填空题

13．曲线在处的切线方程为______．

【答案】

【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．

【详解】

解：的导数为，

可得曲线在处的切线斜率为，切点为，

即有切线方程为．

故答案为．

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．

14．若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．

【答案】

【解析】棱长为的正方体的八个顶点在同一个球面上，

则球的直径等于正方体的对角线长，即，

则该球的体积

15．已知的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，则__________．

【答案】5

【解析】利用正弦定理及同角基本关系直接得解.

【详解】

由正弦定理得．

又，所以，从而，．

故答案为：5

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．

16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P是以为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为__________．

【答案】y＝±2x

【解析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的性质可得PF1⊥PF2，由三角形的中位线定理可得PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，运用点到直线的距离公式可得F1（﹣c，0）到OQ的距离，结合双曲线的定义可得b＝2a，进而双曲线的渐近线方程．

【详解】

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

点P是以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点，可得PF1⊥PF2，

线段PF1的中点Q在C的渐近线，可得OQ∥PF2，

且PF1⊥OQ，OQ的方程设为bx+ay＝0，

可得F1（﹣c，0）到OQ的距离为b，

即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，

即b＝2a，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．

故答案为：y＝±2x．

【点睛】

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，三角形的中位线定理和化简整理能力，属于中档题．

三、解答题

17．2019年中秋节期间，某超市为了解月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该超市销售范围内消费者人均在中秋节期间的月饼购买量(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点的值作代表)．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由频率分布直方图列出方程能求出a．

（2）由频率分布直方图求出人均月饼购买量，由此得到结果．

【详解】

(1)依题意，有，

解得．

(2)该超市销售范围内消费者人均在中秋节期间的月饼购买量的估计值为

．

【点睛】

本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．

18．设等比数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）直接利用等比数列的基本量建立的方程组，进而求出数列的通项公式．

（2）利用乘公比错位相减法求数列和即可．

【详解】

(1)设数列的公比为q．

依题意，有

解得

所以数列的通项公式为．

(2)由(1)知，．

设数列的前n项和为．

则，

．

两式相减得，

所以．

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．

19．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．

(1)求证：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；

(2)若，求点A到平面的距离．

【答案】（1）四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，（2）

【解析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明，根据“鳖臑”定义进行判断即可；

（2）利用等体积转化方法求解．

【详解】

(1)因为，，由余弦定理得．

从而，故．

由平面，可得．

因为，所以平面．

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，．

(2)因为为平行四边形，，，，

所以，，，．

所以的面积为．

在中，，，，所以．

在中，，，，

所以的面积为．

设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积为．

因为平面，所以三棱锥的体积为．

所以，，

即点A到平面的距离为．

【点睛】

本题考查新概念、线面垂直的证明，考查了空间位置关系以及体积转化的应用，属于中档题目．

20．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1．

(1)求曲线C的方程；

(2)直线与C交于A，B两点，若的中点为，求直线的方程．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意知，由此能求出曲线C的方程．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出l的一般式方程．

【详解】

本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系．

(1)设点是曲线C上任意一点，

那么点满足．

化简得曲线C的方程为．

(2)显然直线的斜率存在．

设直线的方程为，

设，，

依题意，有

所以，

因为，所以．

因此直线的方程为．

【点睛】

本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．

21．已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

（Ⅱ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.

【答案】（Ⅰ）在，单调递增，证明见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ）先求得函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间，结合零点存在性定理证得有且仅有两个零点.

（Ⅱ）令，得.利用求得曲线在处的切线，求得与此切线的斜率相等的曲线的切线方程，利用判断出这两条切线方程相同，由此证得结论成立.

【详解】

（Ⅰ）的定义域为，

因为，所以在，单调递增.

因为，，所以在有唯一零点，

因为，由，得；

因为，所以在有唯一零点.

综上，有且仅有两个零点.

（Ⅱ）由题设知，即，

由，得，曲线在处的切线为：

，即.

由，得，则曲线的斜率为的切线的切点横坐标满足，解得，代入，得，

故曲线的斜率为的切线方程为，即，

由，得，从而与为同一条直线.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，考查利用导数研究函数的切线，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；

(2)求C上的点到距离的最大值．

【答案】（1）C的普通方程为．的直角坐标方程为（2）3

【解析】（1）把曲线C的参数方程平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρcosθρsinθ+4＝0，可得直线l的直角坐标方程；

（2）设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．

【详解】

（1）由（t为参数），因为，且，

所以C的普通方程为．

由ρcosθρsinθ+4＝0，得xy+4＝0．

即直线l的直角坐标方程为得xy+4＝0；

（2）由(1)可设C的参数方程为(为参数，)．

则P到直线得xy+4＝0的距离为：

C上的点到的距离为．

当时，取得最大值6，故C上的点到距离的最大值为3．

【点睛】

本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．

23．已知a，b为正数，且满足．

(1)求证：；

(2)求证：．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）把a+b＝1代入，用柯西不等式证明；（2）根据基本不等式求出ab的范围，再化简所求结论，根据对勾函数的最值，求出即可．

【详解】

已知a，b为正数，且满足a+b＝1，

（1）（1）（1）＝11，

（）（a+b）≥（）2＝8，

故；

（2）∵a+b＝1，a＞0，b＞0，

∴根据基本不等式1＝a+b≥2∴0＜ab，

（a）（b）ab，

令t＝ab∈（0，]，y＝t递减，

所以，

故（a）（b）≥2．

【点睛】

考查基本不等式、柯西不等式的应用，构造函数法证明不等式，属于中档题．