2020届湖北省荆门市高三元月调考数学（文）试题

荆门市2020年高三年级元月调考试卷

数学（文科）

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。

1．已知集合，，则

A．   B．    C.    D．

2．设是虚数单位，则等于

A．               B．          C．               D．

3．下列各式中错误的是

A．   B．    C．   D．

4．设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为

A．  B．    C．    D．

5．已知函数（，，）

的部分图象如图所示，则

A．        B．       C．      D．

6．已知则

A．       B．       C．       D．

7．设是等差数列的前n项和,若,则

A．    B．       C．     D．

8．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为

，设点，

则的取值范围是

A．  B．

C．   D．

9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型

的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期

间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，

甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：

甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，

则中奖的同学是

A．甲               B．乙           C．丙            D．丁

10．函数的大致图象为

11．已知二面角为点P、Q分别在、内且P到的距离为,Q到的距离为, 则PQ两点之间的距离为

A.             B．            C．              D．

12．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则

A．            B．           C．             D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为  ▲  .

14．已知向量满足且，则的夹角为  ▲  .

15．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为  ▲  .

16．已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，,,则三棱锥体积的最大值为  ▲  .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知在等比数列中，，且，，成等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，

平面平面，，，

．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面

所成的角的正弦值．

19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组制作了频率分布直方图，

（Ⅰ）用该样本估计总体：

（1）估计该市居民月均用水量的平均数；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？

（Ⅱ）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？

20.（本小题满分12分）已知椭圆E：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

21.（本小题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）记两个极值点为，且，求证：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为:（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:．

（Ⅰ）求直线与曲线公共点的极坐标；

（Ⅱ）设过点的直线交曲线于，两点，求的值．

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设不等式的解集是，，．

（Ⅰ）试比较与的大小；

（Ⅱ）设表示数集中的最大数．，求的最小值．

荆门市2020年高三年级元月调考试卷

数学（文科）参考答案与评分标准

一、选择题：每小题5分，共60分.

1－5 DBDBC  6-10 CACAC  11-12 AD

二、填空题：每小题5分，共20分.

13.43       14.       15.      16. 

三、解答题：

17.解：（1）设等比数列的公比为，

∵，，成等差数列，∴，………3分

∴．  …………………………………………………6分

（2）∵，  ……………………………8分

∴

………………………10分

． ………………………12分

18.解：（Ⅰ）证明：在中，,

所以,所以．      ……………………………2分

因为平面平面,平面平面,,

所以平面．         ……………………………………………4分

又因为平面，所以． ………………………………6分

（Ⅱ）解：因为平面，平面，所以．

又,平面平面,  

所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．

………………………………8分

因为,所以平面．

所以是直线与平面所成的角．……10分

因为在中，，

所以在中，． ……12分

19．解：（Ⅰ）（1）月均用水量

  ……………………………3分

（2）由直方图易知：

故月均用水量a的标准定为2.7吨.               ………………………………6分

（Ⅱ）由直方图可知：月均用水量在的人数为：，

月均用水量在的人数为：  ……8分

     从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：

共15种，其中月均用水量都

在的情况有：共6种，    ………………………10分

故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率:     ………………………12分

20. 解：（Ⅰ）由题意知，，      …………………………………………2分

解得       则椭圆的方程是：     ………………4分

（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，

   ……………………………………………………5分

②设由

设则     ………………………………………7分

…………………9分

原点O到AB的距离

………………………………………………………………………………11分

故

综上：的面积为定值.………………………………………………………12分

21.解：（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；

解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，

令,  ……………………………………………………1分

故在处的切线方程为：………………3分

代入点有：

由图象可得：   ……………………………………………5分

解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交       点．  ………………………………………………………………………………1分

，故时，时，

…………………3分

又

由图象可得：………………………………………………5分

解法3：  …………………………………………………………1分

①

最多只有一个实根，不合题意；  …………………………2分

②

故

故   …………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

…………………7分

又    ……………9分

……11分

故     ……………12分

22.（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为， …………2分

联立方程，解得或，        …………………4分

所以，直线与曲线公共点的极坐标为，．…………………5分

（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），

代入，整理得． ……………………………7分

设对应的参数分别为则 ………………………………10分

另解：设为的一条切线，由切割线定理：

23.由得，解得，∴．…………………2分

（1）由，，得，，

∴，故．…………………………5分

（2）由，得，，， ……7分

∴，故． ………………………9分

当且仅当………………………10分