2020届湖北省宜昌市第二中学高三上学期期中考试数学（文）试卷

2020届湖北省宜昌市第二中学高三上学期期中考试

数学（文）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1.已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁RB）=（　　）

A．（2，6） B．（2，7） C．（﹣3，2] D．（﹣3，2）

2．如果复数（b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（    ）

A．            B．              C．﹣                   D．2

3．已知α满足cos2α=，则cos（+α）cos（﹣α）=（　　）

A．         B．          C．﹣           D．﹣

4．已知命题p：“a＞b”是“”的充要条件；q：∃x∈R，ex＜lnx，则（　　）

A．￢p∨q为真命题 B．p∧￢q为假命题 C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题

5．向量=（2，﹣1），=（﹣1，2），则（2+）•=（　　）

A．1     B．﹣1       C．﹣6                 D．6

6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（　　）

A．﹣15        B．﹣9           C．1              D．9

7．已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=﹣lnx的两个零点，若a∈（x1，1），b∈（1，x2），则（　　）

A．f（a）＜0，f（b）＜0              B．f（a）＜0，f（b）＞0

C．f（a）＞0，f（b）＞0              D．f（a）＞0，f（b）＜0

8．执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x的值的和为（　　）

A．243     B．363     C．729        D．1092

9．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（　　）

A．72 B．144 C．60 D．98

10．在数列{an}中，a2=8，a5=2，且2an+1﹣an+2=an（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（　　）

A．210    B．10             C．50             D．90

11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（　　）

A．           B．1           C．2           D．4

12．已知函数f（x）=，且有f（x）≤a﹣2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．[0，2e2]     B．[0，2e3]           C．（0，2e2]        D．（0，2e3]

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是__________________.

14. 已知，则的值为             .

15.若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　   　．

16．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　   　．

三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知函数f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|

（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；

（2）若a≥，x∈R，判断f（x）与1的大小关系并证明．

18.（12分）在各项均不相等的等差数列{an}中，已知a4=5，且，，成等比数列

（1）求an；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

19．（12分）已知函数，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的取值范围；

（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），c=2b=4，点D是边BC的中点，求的值．

20.(12分)已知点M（x，y）与定点F2（1，0）的距离和它到直线x=4的距离的比是常数.

（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）若点F1的坐标为（﹣1，0），过F2的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB面积的最大值．

21.（12分） 已知某工厂每天的固定成本是万元，每生产一件产品成本增加元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入为（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）. 销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售，，其中为最高限价（），为该产品畅销系数.据市场调查，由当是的比例中项时来确定.

（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求出的最大值；

（2）求畅销系数的值；

（3）若，当厂家平均利润最大时，求与的值.

22．（12分）已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的单调区间和极值点；

（2）当x≥1时，f（x）≤a（1﹣）恒成立，求实数a的取值范围．

文科数学试卷答案

一、选择题：（每题5分）

1-6 CCADDA     7-12  BDACDB

二、填空题：（每题5分） 

13.      14.          15.4    16. （，）

15.解：由题  O1（0，0）与O2：（﹣m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，

可得＜|m|＜．

再根据题意可得O1A⊥AO2，

∴m2=5+20=25，

∴m=±5，

∴利用，

解得：AB=4．

故答案为：4．

16.解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为

函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，

作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，

由题意，C（0，﹣），B（1，0）；

故kBC =，

当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；

设切点A的坐标为（x1，lnx1），

则=；

解得，x1=；

故kAC =；

结合图象可得，

实数m的取值范围是（，）．

故答案为：（，）．

三、解答题

17.（10分）解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3，

①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得：a＞﹣，所以﹣＜a≤0；

②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；

③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得：a＜，

所以≤a＜；

综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．…（5分）

（2）f（x）≥1，因为a≥，

所以f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|≥|（1﹣x﹣a）﹣（2a﹣x）|=|1﹣3a|=3a﹣1≥1…（10分）

18.（12分）　解：（1）∵{an}为等差数列，设公差为d，

由题意得

解得d=1或d=0（舍），a1=2，

∴an=2+（n﹣1）×1=n+1．（5分）

（2）由（1）知Sn=，

∴bn==﹣，（8分）

∴=

故Tn=．（12分）

19.（12分）解：（1）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，

sin（2x﹣）∈[﹣，1]，

所以函数的取值范围是[0，3]；   （5分）                                

（2）由对任意的x∈R，都有f（x）≤f（A），得

2A﹣=2kπ+，k∈Z，解得A=kπ+，k∈Z，

又∵A∈（0，π）∴，（8分）

∵

=（c2+b2+2bccosA）=（c2+b2+bc）=×（16+4+8）=7，

所以．（12分）

20.（12分）解：（1）由题意可有=，

化简可得点M的轨迹方程为+=1． （4分）

其轨迹是焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．（5分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴△F1AB面积S=|F1F2|•|y1﹣y2|，（6分）

由题意知，直线l的方程为x=my+1，

由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

则y1+y2=，y1y2=，（8分）

又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，

即（6m）2+36（3m2+4）＞0，

则S=|y1﹣y2|==

令，（10分）

令，

上是单调递增函数，

即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，

因此有，

，（12分）

故当t=1，即m=0，三角形的面积最大，最大值为3．

21. （12分）

解：（1）由题意得，总利润为.

于是（2分）

当且仅当即时等号成立．

故每天生产量为件时平均利润最大，最大值为元．（4分）

（2）由可得，

由是的比例中项可知，

即

化简得，解得．（8分）

（3）厂家平均利润最大，生产量为件．

．

（或者）

代入可得．

于是，．（12分）

22.（12分）解：（1）因为f（x）=，求导得f′（x）=，

令f'（x）=0，解得x=e，…（2分）

又函数的定义域为（0，+∞），当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，

所以函数f（x）在（0，e）单调递增；在（e，+∞）单调递减，

有极大值点x=e；无极小值点．  …（4分）

（2）由f（x）≤a（1﹣）恒成立，得≤a（1﹣），（x≥1）恒成立，

即xlnx≤a（x2﹣1）（x≥1）恒成立．令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1）

g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=lnx+1﹣2ax，则F′（x）=，…（5分）

①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，

故有g（x）≥g（1）=0不符合题意．…（7分）

②若，∴，

从而在上，g′（x）＞g′（1）=1﹣2a＞0，同（1），不合题意…（9分）

③若a≥，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，

∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，

从而g（x）在[1，+∞）递减，故g（x）≤g（1）=0                 …（11分）

综上所述，a的取值范围是[，+∞）．…（12分）