2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（文）试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】化简集合,根据补集的运算,可得答案.【详解】因为,，∴．故选:B．【点睛】本题考查了补集的运算,考查了解一元二次不等式,属于基础题.2．下列结论中错误的是（    ）A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B．“”是“”的充分条件C．命题“若，则方程有实根”的逆命题是真命题D．命题“若，则且”的否命题是“若，则或”【答案】C【解析】选项A：根据逆否命题的定义可以直接判断本命题的正确性；选项B：根据充分条件的定义可以直接判断本命题的正确性；选项C：写了命题的逆命题,再根据一元二次方程的判别式可以判断出本命题的正确性；选项D：根据否命题的定义可以直接判断出本命题的正确性.【详解】选项A：根据逆否命题的定义可以直接判断本命题是正确的；选项B：由可以推出,因此“”是“”的充分条件,故本命题是正确的；选项C：“若，则方程有实根”的逆命题是若方程有实根,则.因为方程有实根,则,所以推不出,故本命题是错误的；选项D：根据否命题的定义可以直接判断出本命题是正确的.故选：C【点睛】本题考查了逆命题、否命题、逆否命题的定义以及真假判断,考查了充分条件的定义以及判断.3．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为(  )A． B． C． D．【答案】C【解析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后,区间长度变为，由可得结果.【详解】开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过此操作后,区间长度变为，用二分法求函数在区间上近似解,要求精确度为 ,，解得，故选C.【点睛】本题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.4．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则（    ）A．或 B．C． D．4【答案】A【解析】根据余弦定理列方程可解得.【详解】由余弦定理得,即,所以,解得或.故选:A【点睛】本题考查了利用余弦定理解三角形,属于基础题.5．已知表示的平面区域为，若，为真命题，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】本题可先通过线性规划得出平面区域，在解出的取值范围，最后得出的取值范围。【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，令，结合目标函数的几何意义可得在点处取得最大值，联立直线方程可得，解得，即，则.结合恒成立的条件可知，即实数的取值范围是，本题选择A选项。【点睛】求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.解本题时，由线性规划知识确定的最值，然后结合恒成立的条件确定实数的取值范围即可。6．已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是 (   )A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线l的倾斜角为θ∈[0,π).点A(1,−2),B(,0).直线l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点P(0,−1).∵点(1,−2)和(,0)在直线l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧，∴kPA<a<kPB,∴−1<tanθ<，tanθ≠0.解得.本题选择D选项.7．已知数列的前n项积为，那么当时，等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据数列的前n项积的定义,由可得答案.【详解】设数列的前n项积为，则，当时，=,所以.故选:D．【点睛】本题考查了由数列的递推关系求通项,属于基础题.8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（   ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】由已知，可知该几何体为直四棱柱，上、下两个面是边长为的正方形；前后两个面是长为，宽为的平行四边形；左右两个面是长为，宽为的长方形，故其表面积为，故选D.9．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，，，可以变形为，可以构造函数，可知函数是增函数，故，常变量分离，，设，求导，最后求出的最小值，最后求出实数的取值范围.【详解】∵且，∴当时，，即函数在上是一个增函数.设，则有，即，设，则有，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，在处取得最小值，，∴.【点睛】本题考查了利用导数，根据函数的单调性求参数问题,通过已知的不等式形式，构造函数，利用新函数单调性，求出最值，是解题的关键.10．如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为（    ）A．5 B． C． D．【答案】B【解析】根据向量的线性运算得到后,利用三点共线的结论列式可得,再根据基本不等式可得最小值.【详解】依题意得，∴，∴．∵C，P，B三点共线，∴，即，又∵m，n均是正实数，∴,当且仅当，即时，等号成立．故选:B．【点睛】本题考查了向量的线性运算,考查了三点共线的结论,考查了基本不等式求和的最小值,属于中档题.11．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】分析：由求出函数的周期，由周期性和条件可得在上的单调性，进而由函数的奇偶性和周期性得到函数在上的单调性，根据锐角三角形的条件和诱导公式、以及正弦函数的单调性判断出和的大小，根据的单调性，即可得到结论.详解：由得，函数为周期为，因为函数在为单调递减函数，所以函数在为减函数，又由函数为偶函数，所以函数在为单调递增函数，因为锐角三角形，所以，且都为锐角，所以且都为锐角，由在上为单调递增函数，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了正弦函数的单调性及锐角三角形的性质、函数的基本性质的综合应用，其中解答中正确应用函数的基本性质，合理作出运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用.12．定义：对于函数，．若存在常数c，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为c．若，，则函数在上的“均值”为（    ）A． B． C． D．10【答案】C【解析】假设存在常数c，对于任意，存在唯一，使得,即,由,得,再根据列式可解得答案.【详解】假设存在常数c，对于任意，存在唯一，使得，即，则．故当时，，依题意可得,∴，从而，即，∴．故选:C．【点睛】本题考查了对新定义的理解能力,考查了根据子集关系求参数,考查了对数的运算性质,属于中档题.  二、填空题13．观察下列式子：根据以上式子可以猜想：__________．【答案】【解析】确定的不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求解．【详解】由已知中的不等式可知不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2018项为所以．【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．14．等差数列，的前项和分别为，，且，则______．【答案】【解析】根据等差数列的性质可得，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，由等差数列的性质，可得，又，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质与前项和公式，即可得出结果.15．如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：①∥平面；②∥平面；③平面；④平面平面．其中正确的命题的序号是______．【答案】①④【解析】根据线面平行的判定与线面,面面垂直的判定方法逐个证明即可.【详解】对①,因为为的中点,故为三角形的中位线,故∥平面.故①正确.对②,因为平面,故②错误.对③,因为,故不会垂直于,故不垂直于平面.故③错误对④, 因为,面,故.又.故平面,又平面,故平面平面.故④正确.故答案为①④【点睛】本题主要考查了线面平行与线面垂直等判定,属于中等题型.16．已知关于x的方程在上有两个不等的实数根，则a的取值范围是________．【答案】【解析】将问题转化为函数与在上有两个交点,再根据两个函数的图象分析可得答案.【详解】因为方程在上有两个实数根等价于在上有两个实数根, 等价于函数与在上有两个交点，显然为一个交点，结合与的图象，图象如下:当经过点时，．当与相切时，设切点为,由,根据导数的几何意义得,又 所以,令,所以,所以在上递减,在上递增,所以时取得最小值1,所以，所以当时, 函数与在上只有一个交点.所以当时, 函数与在上有两个交点,所以当时，关于x的方程在上有两个实数根.【点睛】本题考查了由方程的实根个数求参数的取值范围,考查了等价转化思想,考查了数形结合思想,考查了导数的几何意义,属于中档题. 三、解答题17．为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜好体育运动不喜好体育运动男生 5女生10  已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；（3）在上述喜好体育运动的6人中随机抽取两人，求恰好抽到一男一女的概率．参考公式：．独立性检验临界值表：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635  【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）.【解析】(1)利用求得喜好体育运动的人数后,根据表格中数据可得表格中其它数据;(2)求出观测值后,利用临界值表可得结论;(3)用列举法得到基本事件的总数以及所求事件包含的结果数,然后用古典概型概率公式计算可得.【详解】（1）喜好体育运动的人数为：，列联表补充如下： 喜好体育运动不喜好体育运动男生205女生1015  （2）∵．∴能在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关．（3）6人中有男生4人，设为，，，，女生2人，设为，，随机抽取两人所有的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种．其中一男一女包含8种情况，故概率为．【点睛】本题考查了分层抽样,考查了独立性检验,考查了古典概型的概率公式,属于基础题.18．已知数列是公比为3的等比数列，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据，，成等差数列,可得,再利用等比数列的通项公式计算出,然后写出通项公式即可;(2)分组后根据等差数列与等比数列的前项和公式计算,即可得到答案.【详解】（1）由题意可得，即，解得：．∴数列的通项公式为．（2）．．【点睛】本题考查了等差中项,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列和等比数列的前项和公式,属于基础题.19．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面．（1）证明：；（2）若，，，求到平面ABC的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】(1)先根据,可证明平面ABO,再根据直线与平面垂直的性质可证;(2)先作出点到平面的距离: 作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，则就是点到平面的距离,然后根据已知条件计算出,再根据为的中点可得到平面ABC的距离.【详解】（1）证明：连接，则O为与的交点，∵侧面为菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面ABO，∵平面ABO，∴．（2）作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，∵，，，∴平面AOD，∴，∵，，∴平面ABC．∵，∴为等边三角形，∵，∴，∵，∴，∴，由，∴，∵O为的中点，∴到平面ABC的距离为．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理与性质定理,考查了求点到平面的距离,作出点到平面的距离是解题关键,属于中档题.20．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，焦距为，点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上位于直线两侧的动点．当点运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可得， 所以 ，则椭圆的方程为（2）将代入椭圆方程可得，解得 ，则 ，由题可知直线与直线的斜率互为相反数，写出直线的方程与椭圆方程联立整理可得。【详解】（1）因为椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，所以设椭圆方程为 因为焦距为，所以 ，焦点坐标 ，又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得所以 ，即解得 所以 则椭圆的方程为.（2）将代入椭圆方程可得，解得 则 当点运动时，满足，则直线与直线的斜率互为相反数，不妨设，则， 所以直线的方程为，联立 ，解得 因为是该方程的两根，所以，即，同理直线的方程为且所以所以 ，即直线的斜率为定值。【点睛】直线与椭圆的位置关系是近几年的高考重要考点，求椭圆的标准方程时要注意焦点的位置，本题解题的关键是先求出椭圆的标准方程，且由可知直线与直线的斜率互为相反数，属于偏难题目。21．已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在上有零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数进行求导，由得切线的斜率，再由，利用点斜式得到切线方程.（2）利用导数对m分类讨论说明的单调性及极值，结合零点存在定理分别列出不等式，可求解m的范围.【详解】（1）时，，，∴.故所求切线方程为，即.（2）依题意①当时，，在上单调递减，依题意，，解得故此时.②当时，，在上单调递增，依题意，，即此不等式无解.（注：亦可由得出，此时函数无零点）③当时，若，，单调递增，，，单调递减，由时，.故只需，即，又，故此时综上，所求的范围为.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的零点、单调性、极值与最值问题，涉及零点存在定理的应用，属于中档题．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线交于两点，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2） 已知点的极坐标为，求的值【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，整理得到，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C的极坐标方程；(2)将直线的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.详解：（1）的普通方程为，整理得，所以曲线的极坐标方程为.（2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，，将直线的参数方程代入曲线的普通方程中得，整理得.所以，且易知，，由参数的几何意义可知，，，所以 .点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.23．已知函数.（1）若的最小值为3，求实数的值；（2）若时，不等式的解集为，当时，求证：.【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】（1）利用绝对值不等式得到，计算得到答案.（2）去绝对值符号，解不等式得到集合，利用平方作减法判断大小得证.【详解】（1）因为（当且仅当时取“=”）.所以，解得或.（2）当时，.当时，由，得，解得，又，所以不等式无实数解；当时，恒成立，所以；当时，由，得，解得，又，所以；所以的解集为. .因为，所以，所以，即，所以.【点睛】本题考查了绝对值不等式，绝对值不等式的证明，讨论范围去绝对值符号是解题的关键.