2020届江苏省高三上学期八校联考数学（文）试题（word版）

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江苏省2019—2020学年高三上学期八校联考数学文试卷2019．10一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1}，B＝{1，5}，则AB＝       ．答案：{1，5}2．i是虚数单位，复数＝       ．答案：3．如图伪代码的输出结果为       ． 答案：114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n的值为       ．   答案：10005．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为       ．答案：6．已知是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且，则x的值为       ．答案：﹣27．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是       ．答案：8．已知函数，满足，则       ．答案：79．已知实数a，b满足，则a＋b最大值为       ．答案：10．已知[0，]，且，则       ．答案：11．直角△ABC中，点D为斜边BC中点，AB＝，AC＝6，，则＝       ．    答案：1412．已知奇函数满足，若当x(﹣1，1)时，且(0＜a＜1)，则实数       ．答案：13．已知a≠0，函数，(e为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是       ．答案：e14．若关于的方程有且仅有3个不同实数解，则实数的取值范围是       ．答案：或二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知集合A＝，B＝．（1）求集合A；    （2）若p：A，q：B，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 解：（1）集合即为函数定义域，即需----2分，即即---5分，得 -------7分（2）由，------9分则----10分因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集------11分即需得-------13分所以实数m的取值范围是------14分16．（本小题满分14分）    如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD，E为PA的中点．（1）证明：DE∥平面PBC；（2）证明：DE⊥平面PAB．证明：（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，------2分 ，且EF＝DC＝．故四边形CDEF为平行四边形，-----4分可得ED∥CF------5分又ED平面PBC，CF平面PBC，-------6分故DE∥平面PBC--------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD----11分ED平面PAD，故ED⊥AB．-------12分又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；---------13分PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB----------14分17．（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量＝(，)，＝(，)，且∥，b＝，求a的值．解（1）由·＝，得abcosC＝． ………2分又因为cosC＝，所以ab＝＝． ………4分                   又C为△ABC的内角，所以sinC＝． 所以△ABC的面积S＝absinC＝3． ………6分                    （2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB．    ………………8分因为cosB≠0，所以tanB＝． 因为B为三角形的内角，，------9分  所以B＝．    ………………10分 所以----12分由正弦定理，------14分18．（本小题满分16分）    已知梯形ABCD顶点B，C在以AD为直径的圆上，AD＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB，BC，CD组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧，和弦BC这三部分组成，在弧，上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1                              图2【解】设，  -------1分（1），------2分， ----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值，   此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分   -----11分  令，即，因，所以，-------12分当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数R，函数．（1）当a＝1时，判断在(0，)上单调性，并加以证明；（2）当a≥0时，研究的奇偶性，并说明理由；（3）当a≠0时，若存在区间[m，n](m＜n)使得在[m，n]上的值域为[，]，求实数a的取值范围．解(1)时，且所以在上递减。---3分法二：，，所以在上递减。（2）时满足，为偶函数。----4分   时定义域，且，为奇函数。-----6分时，定义域为因，定义域不关于原点对称----7分，因此既不是奇函数也不是偶函数。-----8分（3）①当时，在和上递减则两式相减得再代入得（*）此方程有解，如因此满足题意。----------11分②当时，在递增，有题意在上的值域为知即是方程的两根即方程有两不等实根，令即有两不等正根。--------13分即需------15分综上-----------------16分20．（本小题满分16分）设函数(x＞0，a，bR)．（1）当b＝0时，在[1，)上是单调递增函数，求a的取值范围； （2）当a﹣b＝1时，讨论函数的单调区间；（3）对于任意给定的正实数a，证明：存在实数，使得．解：(1) 当时，；因在上是单调递增函数，则，即对恒成立，则．        ………1分而当，，故．故的取值范围为．   ………3分(2) 当时，，．①当时，令，得，令，得，则 的单调递增区间为，递减区间为； ……5分②当时，. 令得，，或，令得， ，则 的单调递增区间为，，递减区间为；    ……7分③当时，，当且仅当取“=”.   则的单调递增区间为，无减区间.        ……8分④当时，.令得，，或，令得， ，则 的单调递增区间为，，递减区间为； ……9分当时，，令得，，令得， ，综上所述，当时，单调递增区间为，递减区间为；当时，单调递增区间为，，递减区间为；  当时，单调递增区间为，无减区间；当时，单调递增区间为，，递减区间为； 当时，单调递增区间为，递减区间为，…10分(3)先证. 设,,则，，，则在单调递增；，，则在单调递减；则，故.     ………12分取法1：取=，其中为方程的较大根.因=，则，因=，则，故所以对于任意给定的正实数，存在实数，使得 ．          ………16分 取法2：取=，则，则.对于任意给定的正实数，所以存在实数，使得 ．          ………16分附加题