2019届江苏省南师附中高三5月模拟考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2019届江苏省南师附中高三5月模拟考试数学（文）试题（解析版），共11页。试卷主要包含了已知复数z＝，其中i是虚数单位，函数的定义域为 等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京师范大学附属中学2019届高三5月模拟
数学文试题
2019．5

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝ ．
答案：{0，1}
考点：集合的运算
解析：∵A＝
∴A＝{﹣1，0，1}
∵B＝
∴AB＝{0，1}
2．已知复数z＝(1＋2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部与虛部相等，则实数a的值为 ．
答案：﹣3
考点：复数的运算
解析：z＝(1＋2i)(a＋i)＝a﹣2＋(2a＋1)i
由z的实部与虛部相等得：a﹣2＝2a＋1，解得a的值为﹣3．
3．某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是 ．
答案：18
考点：系统抽样方法
解析：根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18．
4．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 ．
答案：
考点：古典概型
解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的情况，其中两人都未抽得特等奖有2种情况，所以P＝＝．
5．函数的定义域为 ．
答案：[0，1)
考点：函数的定义域
解析：由题意得：，解得0≤x＜1，所以函数的定义域为[0，1)．
6．下图是一个算法流程图，则输出的k的值为 ．

答案：3
考点：算法初步
解析：n取值由13→6→3→1，与之对应的k为0→1→2→3，所以当n取1时，k是3．
7．若正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥P—BCC1B1的体积为 ．

答案：
考点：棱锥的体积
解析：由于AA1∥平面BCC1B1，所以点P到平面BCC1B1的距离就是点A1到平面BCC1B1的距离为，所以VP—BCC1B1＝＝．
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：上，且在第四象限内．已知曲线C在点P处的切线为，则实数b的值为 ．
答案：﹣13
考点：函数的切线
解析：∵
∴
∵曲线C在点P处的切线为
∴
∵P在第四象限
∴x＝2，求得y＝﹣9
∴b＝﹣9﹣2×2＝﹣13
9．已知函数(0＜＜)是定义在R上的奇函数，则的值为 ．
答案：
考点：三角函数的图像与性质
解析：
∵是定义在R上的奇函数
∴，Z，由0＜＜求得
∴，则
10．如果函数(m，nR且m≥2，n≥0)在区间[，2]上单调递减，那么mn的最大值为 ．
答案：18
考点：二次函数的性质
解析：当m＝2时，，要使在区间[，2]上单调递减，则n＜8，此时mn＝2n无最大值，不符题意，舍去
当m＞2时，是开口向上的抛物线，对称轴为x＝，要使在区间[，2]上单调递减，则2≤，即0≤n≤12﹣2m，所以mn≤m(12﹣2m)＝2m(6﹣m)≤＝18，当且仅当m＝3取“＝”，所以mn的最大值为18．
11．已知椭圆与双曲线(a＞0，b＞0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P＝F1F2，则双曲线的离心率为 ．
答案：
考点：圆锥曲线的定义、性质
解析：由题意得：F1P＝F1F2＝2，则PF2＝，所以2a＝2﹣()＝4﹣，则a＝2﹣，所以e＝＝．
12．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：上位于第一象限内的一点，已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为，则点B的坐标为 ．
答案：(6，3)
考点：直线与圆
解析：设点B(，)，则AB，求得点A到直线l的距离为，又因为弦长为，所以AB＝，由＝求得 ，因为点B位于第一象限，所以＝6（负值已舍去），故点B的坐标为(6，3)．
13．已知数列的前n项和为，，，，则满足2019≤≤3000的正整数m的所有取值为 ．
答案：20，21
考点：等差数列、等比数列前n项和
解析：当m为奇数时，，显然是单调递增的，又，，，所以m取21符合题意；当m为偶数时，，又，，，所以m取20符合题意．综上所述，正整数m的所有取值为20，21．
14．已知等边三角形ABC的边长为2，，点N、T分别为线段BC、CA上的动点，则取值的集合为 ．
答案：{﹣6}
考点：平面向量的坐标运算
解析：建立如图所示的平面直角坐标系

则A(0，)，B(﹣1，0)，C(1，0)
由得M(，)，设N(n，0)，直线AC为：，设T(t，)
所以，
，

则．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是．
（1）求cos(﹣)的值；
（2）若以x轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为，求＋的值．

解析：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是，
所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝.
从而cos α＝＝.(3分)
(1) cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＋×＝－.(6分)
(2) 因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－，
所以cos β＝－，从而sin β＝＝.(8分)
于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋×＝.(10分)
因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，(12分)
从而α＋β＝.(14分)
16．（本小题满分14分）
如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝l，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF．

解析：证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE，
∵ 四边形ACEF是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC.
∵ O是正方形ABCD对角线的交点，[来源:学。科。网]
∴ O是AC的中点．
又点M是EF的中点，∴ EM∥AO，EM＝AO.
∴ 四边形AOEM是平行四边形，
∴ AM∥OE.(4分)
∵ OE平面BDE，AM平面BDE，
∴ AM∥平面BDE.(7分)
(2) ∵ 正方形ABCD，∴ BD⊥AC.
∵ 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD平面ABCD，
∴ BD⊥平面ACEF.(9分)
∵ AM平面ACEF，∴ BD⊥AM.(10分)
∵ 正方形ABCD，AD＝，∴ OA＝1.
由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形．
∵ AF＝1，∴ 四边形AOMF是正方形，(11分)
∴ AM⊥OF.(12分)
又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF平面BDF，BD平面BDF，
∴ AM⊥平面BDF.(14分)
17．（本小题满分14分）
某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P、Q分別在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．己知AB长为40米，设∠BOP为2．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形COPQ的周长为，求的表达式；
（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin的值．

解析：解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，)．
在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得
PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分)
因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，
所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝20cos θ.(4分)
所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋20cos θ，
即f(θ)＝40＋20cos θ，θ∈(0，)．(7分)
(没写定义域，扣2分)
(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则
S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，)．(10分)
所以S′(θ)＝100(－sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－sin θ＋2)，θ∈(0，)．(12分)
令S′(t)＝0，得sin θ＝.
列表：

sin θ
(0，)

(，1)
S′(θ)
＋
0
－
S(θ)
增
最大值
减
答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为.(14分)
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x＝﹣4和直线x＝﹣1相交于点M、N．试判断是否为定值，并说明理由．

解析：解：(1) 依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
(2) ① 因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交，
所以直线l一定存在斜率．(6分)
② 设直线l：y＝kx＋m，
由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.
由Δ＝(8km)2－4×(4k2＋3)×4(m2－3)＝0，
得4k2＋3－m2＝0　①.(8分)
把x＝－4代入y＝kx＋m，得M(－4，－4k＋m)，
把x＝－1代入y＝kx＋m，得N(－1，－k＋m)，(10分)
所以NF1＝|－k＋m|，
MF1＝＝　②，(12分)
由①式，得3＝m2－4k2　③，
把③式代入②式，得MF1＝＝2|－k＋m|，
∴ ＝＝，即为定值.(16分)
19．（本小题满分16分）
已知数列满足()，数列的前n项和()，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，记是数列的前n项和，求正整数m，使得对于任意的均有≥．
解析：解：(1) ① a1＝2＝2；(2分)
② 当n≥2时，an＝＝＝2n.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(4分)
(2) 由Sn＝，得2Sn＝n(b1＋bn)　①，
所以2Sn－1＝(n－1)(b1＋bn－1)(n≥2)　②.
由②－①，得2bn＝b1＋nbn－(n－1)bn－1，n≥2，
即b1＋(n－2)bn－(n－1)bn－1＝0(n≥2)　③，
所以b1＋(n－3)bn－(n－2)bn－1＝0(n≥3)　④.
由④－③，得(n－2)bn－2(n－2)bn－1＋(n－2)bn－2＝0，n≥3，(6分)
因为n≥3，所以n－2>0，上式同除以(n－2)，得
bn－2bn－1＋bn－2＝0，n≥3，
即bn＋1－bn＝bn－bn－1＝…＝b2－b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
故bn＝n，n∈N*.(8分)
(3) 因为cn＝－＝－＝[－1]，(10分)
所以c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，c5<0.
记f(n)＝，
当n≥5时，f(n＋1)－f(n)＝－＝－<0，
所以当n≥5时，数列{f(n)}为单调递减数列，当n≥5时，f(n) 从而，当n≥5时，cn＝[－1]<0.(14分)
因此T1T5>T6>…
所以对任意的n∈N*，T4≥Tn.
综上，m＝4.(16分)
(注：其他解法酌情给分)
20．（本小题满分16分）
设a为实数，已知函数，．
（1）当a＜0时，求函数的单调区间；
（2）设b为实数，若不等式对任意的a≥1及任意的x＞0恒成立，求b的取值范围；
（3）若函数(x＞0，R)有两个相异的零点，求a的取值范围．
解析：解：(1) 当a<0时，因为f′(x)＝a(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)>0；
当x>－1时，f′(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(－1，＋∞)．(2分)
(2) 由f(x)≥2x2＋bx，得axex≥2x2＋bx，由于x>0，
所以aex≥2x＋b对任意的a≥1及任意的x>0恒成立．
由于ex>0，所以aex≥ex，所以ex－2x≥b对任意的x>0恒成立．(4分)
设φ(x)＝ex－2x，x>0，则φ′(x)＝ex－2，
所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)min＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，
所以b≤2－2ln 2.(6分)
(3) 由h(x)＝axex＋x＋ln x，得h′(x)＝a(x＋1)ex＋1＋＝，其中x>0.
① 若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)
② 若a<0时，令h′(x)＝0，得xex＝－>0.
由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝ex－2x≥2－2ln 2>0，所以ex>2x，所以xex>2x2，所以当x>0时，函数xex的值域为(0，＋∞)．
所以存在x0>0，使得ax0ex0＋1＝0，即ax0ex0＝－1　①，
且当x0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．
因为函数有两个零点x1，x2，
所以h(x)max＝h(x0)＝ax0ex0＋x0＋ln x0＝－1＋x0＋ln x0>0　②.
设φ(x)＝－1＋x＋ln x，x>0，则φ′(x)＝1＋>0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x0>1.
又由①式，得x0ex0＝－.
由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以－>e，
即a∈(－，0)．(11分)
当a∈(－，0)时，
(i) 由于h()＝＋(－1)<0，所以h()·h(x0)<0.
因为<1 所以函数h(x)在(0，x0)上恰有一个零点；(13分)
(ii) 由于h(－)＝－e－－＋ln(－)，令t＝－>e，
设F(t)＝－et＋t＋ln t，t>e，
由于t>e时，ln t2t，所以设F(t)<0，即h(－)<0.
由①式，得当x0>1时，－＝x0ex0>x0，且h(－)·h(x0)<0，
同理可得函数h(x)在(x0，＋∞)上也恰有一个零点．
综上，a∈(－，0)．(16分)