2019届浙江省绿色联盟高三5月适应性考试数学试题（word版）

浙江省绿色联盟2019届高三5月适应性考试数学试题

一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分。

1.复数z1=2-i，z2=1+2i，i为虚数单位，则z1· =（   ）
 

A. 4-5i                                       B. 3i                                       C. 4-3i                                       D. -5i

【答案】 D  

2.已知x，y为实数，则“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的（   ）           

A. 充分不必要条件          B. 必要不充分条件          C. 充分且必要条件          D. 既不充分也不必要条件

【答案】 C  

3.已知a为第二象限角，且3sina+cosa=0，则sina=（   ）           

A.                              B.                              C. -                               D. - 

【答案】 A  

4.设U为全集，对于集合M，N，下列集合之间关系不正确的是（   ）           

A. M∩N MUN                                                  B. (CUM)U(CUN)=CU(M∩N)
C. (CUM) ∩(CUN)=CU(MUN)                                D. (CUM) ∩(CUN)=CU(M∩N)

【答案】 D  

5.已知函数f(x)图象如图所示，则该图象所对应的函数是（   ） 

A. f(x)=e-x                            B. f(x)=e-2                            C. f(x)=ex2                            D. f(x)=e-x2

【答案】 D  

6.已知实数x，y满足不等式组 ，则点（x，y）构成平面区域的面积是（   ）           

A. 3                                          B.                                           C. 2                                          D. 

【答案】 A  

7.在三棱锥P-ABC中，E为线段AB（不包括端点）上一点，则错误的是（   ）           

A. 一定存在唯一的平面a经过点E，使得平面a∥平面PAC
B. 一定存在唯一的平面a经过点E，使得平面a⊥平面PAC
C. 一定存在唯一的平面a经过点E，使得平面a⊥PA
D. 在平面ABC内，一定存在唯一的直线l经过点E，使得l∥平面PAC

【答案】 B  

8.安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（   ）           

A. 60                                       B. 150                                       C. 180                                       D. 240

【答案】 B  

9.已知a=  ，b=  ，c=  ，则（   ）           

A. a>b>c                               B. c>a>b                               C. a>c>b                               D. c>b>a

【答案】 D  

10.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若 ，设λ+2μ的最大值为M，最小值为N，则M-N的值为（   ） 

A.                                B.                                C.                                D. 

【答案】 C  

二、填空题(本大题共7小题，11-14每空3分，15-17每小题4分，共36分）

11.已知函数f(x）=aex+|x|+a-1为偶函数，则实数a=________：关于x的不等式|f(x)|≤0的解为 ________．   

【答案】 0；x=±1
 

12.已知点M为双曲线x2- =1左支上一动点，右焦点为F，点N（0，6），则该双曲线的离心率为：________ ；|MN|+|MF|的最小值为________．   

【答案】 3；2+3

13.已知随机变量ξ满足P(ξ=i）= （i=1，2，3），则E(ξ）=________；D(ξ）=________．   

【答案】；

14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2-b2+2bccosA-2c=0，c cosA=b(1-cosC)，且C= ，则c=________；△ABC的面积S=________．   

【答案】 1；

15.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．  

【答案】

16.如图，在宽8米的矩形教室MEFN正前方有一块长6米的黑板AB，学生座位区域CEFD距黑板最近1米，在教室左侧边CE上寻找黑板AB的最大视角点P（即使∠APB最大），则CP=________时，∠APB最大． 

【答案】-1  

三、解答题(本大题共5小题，共74分）

18.已知函数f(x)=sinxsin( -x)- cos2x． 

（Ⅰ）求f（ ）的值：

（Ⅱ)求f(x)的单调区间。

【答案】 解：（Ⅰ）f( ）=sin sin（ - ）- cos2

= =0

（Ⅱ)f(x)=sin xsin( -x)-  cos2x

= sin2x-  (1+cos2x)

=sin(2x- )-  

由2kx- ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈Z，

得f(x)单调递增区间为[kπ- ，kπ+ ]，k∈Z．

由2kx+ ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈Z，

得f(x）单调递减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．

【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性   

【解析】【分析】 （Ⅰ） 把代入解析式求出对应的数值即可。
（Ⅱ) 首先利用诱导公式以及正、余弦二倍角公式整理化简原式，再结合正弦函数的图像与性质即可得出函数f(x)的单调递减区间。

 

19.如图，圆的直径AC=2，B为圆周上不与点A，C重合的点，PA垂直于圆所在的平面，∠PCA=45°． 

（Ⅰ）求证：PB⊥BC；

（Ⅱ）若BC= ，求二面角B-PC-A的余弦值．

【答案】 解：（Ⅰ）如图，连结AB， 

因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．

又因为B在圆周上，所以AB⊥BC．

故BC⊥平面PAB

故BC⊥PB

（Ⅱ）解法一：过B作BD的垂线，垂足为D，

则BD⊥平面PAC．

再过D作PC的垂线，垂足为E，

则由PC⊥BD，PC⊥DE，

可知∠BED即为所求的角．

因为BC= ，

所以BD= ，CD= ．

又因为∠PCA=45°，

所以DE= ，BE= ．

所以cos∠BDE=  

（Ⅱ) 解法二：因为∠ABC=90°，所以可以以BC，BA为x，y轴建立如图直角坐标系

则B(0，0，0），A(0，1，0），C( ，0，0），P(0，1，2)

=( ，0，0)， =（0，1，2)

平面PAC的一个法向量 =（1，  ，0）．

设平面PBC的一个法向量 =（x，y，z)．

则 ⊥ ， ⊥ ，得 x=0，y+2z=0

取z=1，得 =（0，-2，1）．

故cos<， >=

=

【考点】两条直线垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法   

【解析】【分析】 （Ⅰ） 结合线面垂直的性质得出线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得出线线垂直即可。
（Ⅱ） 解法一：首先作出辅助线即面的垂线以及二面角棱的垂线，从而找到二面角的平面角，结合解三角形的知识代入数值求出其余弦值。
解法二：建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标以及向量的坐标，找到平面PAC的一个法向量 =（1， ，0） ，利用向量垂直的坐标表示再结合向量的数量积运算公式求出两个法向量的夹角的余弦值即可得出两个平面所成的角的余弦值。

20.已知数列{an}满足a1=3，n≥2时，an-2an-1=λ×3n ．  

（Ⅰ）当λ=0时，求数列{an}的前n项和Sn：

（Ⅱ）当λ=n时，求证：对任意n∈N*， 为定值。

【答案】 解：（Ⅰ）当λ=0时，an-2an-1=0． 

数列{an}是以a1=3，公比为2的等比数列

所以Sn= =3×2n-3

（Ⅱ）当λ=n时，n≥2时，an-2an-1=nx3n

令bn= ，∴bn-bn-1=

∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2）+…+(b2-b1)+b1①

= +（n-1） +…… +  

这是一个等差等比结构，利用错位相减法求和

由 bn= ②。

两式①②相减得

=

∴bn=2( ）n+1+61-( ）n）．

于是

∴an=n×3n+1+6(2n-3n)．

n≥2， =3为定值，n=1时，也满足，

因此，对任意n∈N+ ， 为定值3．

（Ⅱ）数学归纳法）令bn= ，

当n=1时，b1= =3．

假设n=k时命题成立，即bk= =3．

即ak=（k-2)×3k+1+3×2k+1

由题设ak+1=2ak+（k+1)×3k+1=2（k-2)×3k+1+3×2k+2+（k+1)×3k+1

=（3k-3）×3k+1+3×2k+2 ． …13分

所以bk+1= =3，即n=k+1时，命题也成立

根据数学归纳原理，所命题得证．

【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和   

【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意首先证明出该数列 {an} 为等比数列，并把数值代入到等比数列的前n项和公式计算出结果即可。
（Ⅱ） 由已知可证出数列的通项公式，进而分析可得出这是一个等差等比结构 ，利用错位相减法求和 可到 bn=2( ）n+1+61-( ）n） ，进而得到 {an}的通项公式，再对n分情况然后结合数学归纳法对上式进行推理证明即可。
 

21.已知圆A的半径为2，B为平面上一点，|AB|=a(a<2)，P是圆上动点，线段PB的垂直平分线l和直线PA相交于点Q． 

（Ⅰ）以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求Q点的轨迹方程；

（Ⅱ)设（Ⅰ）中Q点轨迹与直线 x-2y-1=0相交于M，N两点，求三角形OMN的面积的取值范围．

【答案】 解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图 

因为a<2，连QB，由已知，得|QB|=|QP|，所以

|QA|+|QB|=|AP|=2．

由椭圆定义可知，点2的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其

方程为x2+ =1．

（Ⅱ）由（Ⅰ)知，Q点轨迹是椭圆x2+ =1，

与 x-2y-1=0交于M(x1  ， y1），N(x2  ， y2），

由 消去y得（6-a2）x2-2 x+a2-3=0，

，

故S△OMN=

=  

令6-a2=1，t∈(2，6），

则S△OMN=

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的轨迹问题   

【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意建立直角坐标系，由线段垂直平分线的性质即可得出 |QB|=|QP| ，进而得到
|QA|+|QB|=|AP|=2． 由椭圆定义可知，点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求出方程即可。
（Ⅱ） 联立直线与椭圆的方程消去y可得出关于x的一元二次方程，结合韦达定理求出， 进而求出弦长公式的代数式，然后利用三角形面积公式得到关于三角形面积的关于a的代数式，利用整体思想再结合基本不等式求出最值即可。

22.已知函数f(x）= x3- x2- x1nx，设f(x）的导函数为g（x）．   

（1）求证：g(x)≥0； 

（Ⅱ）设g（x）的极大值点为高，求证：e-2<g（x0）<（其中e=271828…）

【答案】 （1）解：（Ⅰ）由已知f(x)的导函数为g(x）=x2-x-xlnx．  

要证g（x)≥0，只需要证明x-1-1nx≥0．

设（x）=x-1-lnx，则f(x)=  ．

故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

故h(x）=x-1-lnx≥h(1)=0．

（Ⅱ）因为g(x)=x2-x-xlnx，

所以g'(x)=2x-2-1nx．

令h(x)=2x-2-lnx，则h’(x)=2- =

可知，当x∈(0， )时，h（x)单调递减，当x∈( ，+∞)时，h(x)单调递增．

又h（e-2)>0，（ ）<0，h(1）=0，所以h（x）在（0， ）有唯一零点x0  ， 在（ ，+∞）有唯一零点1．

且当x∈(0，x0），h(x)>0，当x∈(x0  ， 1)，h(x)<0，所以x=x0是g(x)的唯一的极大值

点，故2x0-2-1nx0=0，x0∈（e-2  ，  ）

所以g（x)max=g(x0)=x02-x0-x0Inx0=-x02+x0<

因为e-1∈(0， ），显然g（x0）>g(e-1）=e-2

故e-2<g(x0)<

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值   

【解析】【分析】 （Ⅰ） 首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质得到原函数的单调性以及单调区间。
（Ⅱ） 利用导函数的性质研究原函数的单调性以及零点存在，再结合单调性求出极值进而得证结论。