2020届辽宁省实验中学东戴河分校高三12月月考数学（文）试题

2020届辽宁省实验中学东戴河分校高三12月月考

数学试卷(文科)

说明：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。答题卡不要折叠

2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合则                 (    )

A． B． C．        D．

2． “”是“方程表示双曲线”的                 (    )

A．充分不必要条件    B．充要条件            C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3．正项等差数列中的，是函数的极值点，则=(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知，，，则，，的大小关系为        （    ）

A． B． C．            D．

5．函数的大致图象为                           （    ）

A． B．

C． D．

6．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是                                                   （    ）

A．厨余垃圾投放正确的概率为

B．居民生活垃圾投放错误的概率为

C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000

7．直线恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为                                                    （    ）

A． B．4 C． D．

8．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为的弧田，按照上述方法计算出其面积是                        (    )

A． B． C．          D．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的值是                   （    ）

A．3             B．5             C．7           D．9

10．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为                  （    ）

A．     B．    C．       D．

11．已知直线与抛物线交于、两点，若四边形为矩形，记直线的斜率为，则的最小值为                          （    ）．

A．4                 B．              C．2                  D．

多选题

12．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．

B． 在区间上是增函数

C．若方程恰有3个实根，则

D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知其中为虚数单位，则________.

14．某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是_            ____．

15．在四面体中，，，，则该四面体外接球的体积为_____           ．

16．已知抛物线E∶y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为                  .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.

18．（本小题满分12分）

如图所示，在等腰梯形中， ， ， ，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上．

（1）求证：平面平面；

（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．

（1）求图中实数的值；

（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级

期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．

（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；

②求四边形 的面积 的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数,.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）令两个零点，证明：.

必修四（二选一）

22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．

23．（本小题满分10分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

（数学文）

1-5  BDCBA    6-10  DDADB    11.B    12  BCD

13.5    14.      15.       16. y2＝4x

17．（12分）已知函数

(1)求函数的单调递增区间；

(2)内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）将解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到的递增区间；

（2）由（1）确定的解析式，及求出的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再由b与c的值，利用正弦定理求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由a大于b得到A大于B，检验后即可得到满足题意的B和C的度数.

【详解】

（1），

令，解得

故函数的递增区间为.

（2），

，

由正弦定理得：，

，，或.

当时，：当时，（不合题意，舍）

所以.

【点睛】

本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

18．如图所示，在等腰梯形中， ， ， ，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上．

（1）求证：平面平面；

（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证平面平面，只需证平面，分析条件易得和；

（2）由，只需求即可.

试题解析：

（1）证明：在等腰梯形中，可设，可求出， ，

在中， ，∴，

∵点在平面上的投影落在上，

∴平面，平面平面，∴，

又， ，∴平面，

而平面∴平面平面.

（2）解：因为，所以，

又，所以，

因为，所以，解得，

因为为中点，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

所以,

因为，所以.

19．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．

（1）求图中实数的值；

（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级

期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

试题分析：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以． ……2分

解得． ……3分

（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率

为． ……5分

由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，

可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人． ……6分

（3）成绩在分数段内的人数为人，分别记为，． ……7分

成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，． ……8分

若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，

则所有的基本事件有：，，，，，，

，，，，，，，，

共15种． ……10分

如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：

，，，，，，共7种． ……11分

所以所求概率为． ……12分

20．（12分）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．

（1）求椭圆G 的标准方程；

（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；

②求四边形 的面积 的最大值．

【答案】（1） （2）①见解析②

【解析】

试题分析：

(1)由题意结合椭圆的性质可求得，则，椭圆方程为;

(2)设出点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

①联立直线方程与椭圆的方程，结合弦长公式求得弦长，结合|AB|=|CD|得到关于实数m的等式，整理所得的等式可得m1+m2=0；

②由题意求得面积函数，结合均值不等式的结论可知当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为.

试题解析：

（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）

∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，

b2=a2﹣c2=1

椭圆G 的标准方程为：．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0

，

x1+x2=，x1x2=；

|AB|==2；

同理|CD|=2，

由|AB|=|CD|得2=2，

∵m1≠m2，∴m1+m2=0

②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=

∵m1+m2=0，∴

∴s=|AB|×d=2×

=.

所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2

点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

21．已知函数,.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）令两个零点，证明：.

【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）见证明

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求得函数的导数，且，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；

（Ⅱ）由有两个零点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．

【详解】

（Ⅰ）由题意，函数，则，且，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）由有两个零点可知

由且可知，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调增；

即的最小值为，

因此当时，，

可知在上存在一个零点；

当时，，

可知在上也存在一个零点，

因此，即.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答.

【详解】

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线C的普通方程为.

因为，

所以.

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，

代入椭圆的方程得，

所以，

所以.

【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用零点分段法去绝对值，将不等式转化为不等式组来求解得不等式的解集.

（2）化简不等式为，由此得到或，结合恒成立知识的运用，求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，，

故等价于或或，解得或.

故不等式的解集为.

（2）当时，由得，

即，即或对任意的恒成立.

又，，故的取值范围为.

又，所以，

综上，的取值范围为.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.