人教版 (新课标)选修32 简谐运动的描述教案

课时11.2　简谐运动的描述

　　1.理解振幅、周期和频率的概念,知道全振动的含义。

2.了解初相位和相位差的概念,理解相位的物理意义。

3.了解简谐运动位移方程中各量的物理意义,能依据振动方程描绘振动图象。

4.理解简谐运动图象的物理意义,会根据振动图象判断振幅、周期和频率等。

重点难点:对简谐运动的振幅、周期、频率、全振动等概念的理解,相位的物理意义。

教学建议:本节课以弹簧振子为例,在观察其振动过程中位移变化的周期性、振动快慢的特点时,引入描绘简谐运动的物理量(振幅、周期和频率),再通过单摆实验引出相位的概念,最后对比前一节得出的图象和数学表达式,进一步体会这些物理量的含义。本节要特别注意相位的概念。

导入新课:你有喜欢的歌手吗?我们常常在听歌时会评价,歌手韩红的音域宽广,音色嘹亮圆润;歌手王心凌的声音甜美;歌手李宇春的音色沙哑,独具个性……但同样的歌曲由大多数普通人唱出来,却常常显得干巴且单调,为什么呢?这些是由音色决定的,而音色又与频率等有关。

1.描述简谐运动的物理量

(1)振幅

振幅是振动物体离开平衡位置的①最大距离。振幅的②两倍表示的是振动的物体运动范围的大小。

(2)全振动

振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程称为一次③全振动,这一过程是一个完整的振动过程,振动质点在这一振动过程中通过的路程等于④4倍的振幅。

(3)周期和频率

做简谐运动的物体,完成⑤一次全振动的时间,叫作振动的周期;单位时间内完成⑥全振动的次数叫作振动的频率。在国际单位制中,周期的单位是⑦秒,频率的单位是⑧赫兹。用T表示周期,用f表示频率,则周期和频率的关系是⑨f=。

(4)相位

在物理学中,我们用不同的⑩相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

2.简谐运动的表达式

(1)根据数学知识,xOy坐标系中正弦函数图象的表达式为y=Asin(ωx+φ)。

(2)简谐运动中的位移(x)与时间(t)关系的表达式为x=Asin(ωt +φ),其中A代表简谐运动的振幅,ω叫作简谐运动的“圆频率”,ωt+φ代表相位。 

1.弹簧振子的运动范围与振幅是什么关系?

解答:弹簧振子的运动范围是振幅的两倍。

2.周期与频率是简谐运动特有的概念吗?

解答:不是。描述任何周期性过程,都可以用这两个概念。

3.如果两个振动存在相位差,它们振动步调是否相同?

解答:不同。

主题1:振幅

问题:(1)同一面鼓,用较大的力敲鼓面和用较小的力敲鼓面,鼓面的振动有什么不同?听上去感觉有什么不同?

(2)根据(1)中问题思考振幅的物理意义是什么?

解答:(1)用较大的力敲,鼓面的振动幅度较大,听上去声音大;反之,用较小的力敲,鼓面的振动幅度较小,听上去声音小。

(2)振幅是描述振动强弱的物理量,振幅的大小对应着物体振动的强弱。

知识链接:简谐运动的振幅是物体离开平衡位置的最大距离,是标量,表示振动的强弱和能量,它不同于简谐运动的位移。

　　主题2:全振动、周期和频率

问题:(1)观察课本“弹簧振子的简谐运动”示意图,振子从P0开始向左运动,怎样才算完成了一次全振动?列出振子依次通过图中所标的点。

(2)阅读课本,思考并回答下列问题:周期和频率与计时起点(或位移起点)有关吗?频率越大,物体振动越快还是越慢?振子在一个周期内通过的路程和位移分别是多少?

(3)完成课本“做一做”,猜想弹簧振子的振动周期可能由哪些因素决定?假如我们能看清楚振子的整个运动过程,那么从什么位置开始计时才能更准确地测量振动的周期?为什么?

解答:(1)振子从P0出发后依次通过O、M'、O、P0、M、P0的过程,就是一次全振动。

(2)周期和频率与计时起点(或位移起点)无关;频率越大,周期越小,表示物体振动得越快。振子在一个周期内通过的路程是4倍的振幅,而在一个周期内的位移是零。

(3)影响弹簧振子周期的因素可能有振子的质量、弹簧的劲度系数等;从振子经过平衡位置时开始计时能更准确地测量振动周期,因为振子经过平衡位置时速度最大,这样计时的误差最小。

知识链接:完成一次全振动,振动物体的位移和速度都回到原值(包括大小和方向),振动物体的路程是振幅的4倍。

　　主题3:简谐运动的表达式

问题:阅读课本有关“简谐运动的表达式”的内容,讨论下列问题。

(1)一个物体运动时其相位变化多少就意味着完成了一次全振动?

(2)若采用国际单位,简谐运动中的位移(x)与时间(t)关系的表达式x=Asin(ωt+φ)中ωt+φ的单位是什么?

(3)甲和乙两个简谐运动的频率相同,相位差为,这意味着什么?

解答:(1)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。

(2)ωt+φ的单位是弧度。

(3)甲和乙两个简谐运动的相位差为,意味着乙(甲)总是比甲(乙)滞后个周期或次全振动。

知识链接:频率相同的两个简谐运动,相位差为0称为“同相”,振动步调相同;相位差为π称为“反相”,振动步调相反。

1.(考查对全振动的理解)如图所示,弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动,则(　　)。

A.从B→O→C为一次全振动

B.从O→B→O→C为一次全振动

C.从C→O→B→O→C为一次全振动

D.从D→C→O→B→O为一次全振动

【解析】选项A对应过程的路程为2倍的振幅,选项B对应过程的路程为3倍的振幅,选项C对应过程的路程为4倍的振幅,选项D对应过程的路程大于3倍的振幅,又小于4倍的振幅,因此选项A、B、D均错误,选项C正确。

【答案】C

【点评】要理解全振动的概念,只有振动物体的位移与速度第一次同时恢复到原值,才是完成一次全振动。

2.(考查简谐运动的振幅和周期)周期为T=2 s的简谐运动,在半分钟内通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)。

A.15次,2 cm　　　　　　　B.30次,1 cm

C.15次,1 cm D.60次,2 cm

【解析】振子完成一次全振动经过轨迹上每个位置两次(除最大位移处外),而每次全振动振子通过的路程为4个振幅。

【答案】B

【点评】一个周期经过平衡位置两次,路程是振幅的4倍。

3.图示为质点的振动图象,下列判断中正确的是(　　)。

A.质点振动周期是8 s

B.振幅是4 cm

C.4 s末质点的速度为负,加速度为零

D.10 s末质点的加速度为正,速度为零

【解析】由振动图象可得,质点的振动周期为8 s,A对;振幅为2 cm,B错;4 s末质点经平衡位置向负方向运动,速度为负向最大,加速度为零,C对;10 s末质点在正的最大位移处,加速度为负值,速度为零,D错。

【答案】AC

【点评】由振动图象可以直接读出周期与振幅,可以判断各个时刻的速度方向与加速度方向。

4.(考查简谐运动的表达式)两个简谐运动分别为x1=4asin(4πbt+π)和x2=2asin(4πbt+π),求它们的振幅之比、各自的频率,以及它们的相位差。

【解析】根据x=Asin(ωt+φ)得:A1=4a,A2=2a,故振幅之比==2

由ω=4πb及ω=2πf得:二者的频率都为f=2b

它们的相位差:(4πbt+π)-(4πbt+π)=π,两物体的振动情况始终反相。

【答案】2∶1　2b　2b　π

【点评】要能根据简谐运动的表达式得出振幅、频率、相位。

拓展一:简谐运动的表达式

1.某做简谐运动的物体,其位移与时间的变化关系式为x=10sin 5πt cm,则:

(1)物体的振幅为多少?

(2)物体振动的频率为多少?

(3)在时间t=0.1 s时,物体的位移是多少?

(4)画出该物体简谐运动的图象。

【分析】简谐运动位移与时间的变化关系式就是简谐运动的表达式,将它与教材上的简谐运动表达式进行对比即可得出相应的物理量。

【解析】简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ),比较题中所给表达式x=10sin 5πt cm可知:

(1)振幅A=10 cm。

(2)物体振动的频率f== Hz=2.5 Hz。

　　(3)t=0.1 s时位移x=10sin(5π×0.1) cm=10 cm。

(4)该物体简谐运动的周期T==0.4 s,简谐运动图象如图所示。

【答案】(1)10 cm　(2)2.5 Hz　(3)10 cm　(4)如图所示

【点拨】在解答简谐运动表达式的题目时要注意和标准表达式进行比较,知道A、ω、φ各物理量所代表的意义,还要能和振动图象结合起来。

拓展二:简谐振动的周期性和对称性

甲

2.如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动,从O点开始计时,振子第一次到达M点用了0.3 s的时间,又经过0.2 s第二次通过M点,则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)。

A. s　 　　B. s　　 　C.1.4 s　　　　D.1.6 s

【分析】题目中只说从O点开始计时,并没说明从O点向哪个方向运动,它可能直接向M点运动,也可能向远离M点的方向运动,所以本题可能的选项有两个。

乙

【解析】如图乙所示,根据题意可知振子的运动有两种可能性,设t1=0.3 s,t2=0.2 s

第一种可能性:=t1+=(0.3+) s=0.4 s,即T=1.6 s

所以振子第三次通过M点还要经过的时间t3=+2t1=(0.8+2×0.3) s=1.4 s

第二种可能性:t1-+=,即T= s

所以振子第三次通过M点还要经过的时间t3=t1+(t1-)=(2×0.3-) s= s。

【答案】AC

【点拨】解答这类题目的关键是理解简谐运动的对称性和周期性。明确振子往复通过同一点时,速度大小相等、方向相反;通过关于平衡位置对称的两点时,速度大小相等、方向相同或相反;往复通过同一段距离或通过关于平衡位置对称的两段距离时所用时间相等。另外要注意,因为振子振动的周期性和对称性会造成问题的多解,所以求解时别漏掉了其他可能出现的情况。

一、物理百科

电子琴的发音原理

电子琴既可以演奏不同的曲调,又可以发出强弱不同的声音,还可以模仿二胡、笛子、钢琴、黑管以及锣鼓等不同乐器的声音。那么,电子琴的发音原理是怎样的?

大家知道,当物体振动时,能够发出声音。振动的频率不同,声音的音调就不同。在电子琴里,虽然没有振动的弦、簧、管等物体,却有许多特殊的电装置,当电装置工作时,就会使喇叭发出一定频率的声音。当按动某个琴键时,就会使与它对应的电装置工作,从而使喇叭发出某种音调的声音。

电子琴的音量控制器,实质上是一个可调电阻器。当转动音量控制器旋钮时,可调电阻器的电阻就随着变化。电阻大小的变化,又会引起喇叭声音强弱的变化。所以转动音量控制旋钮时,电子琴发声的响度就随之变化。

当乐器发声时,除了发出某一频率的声音——基音以外,还会发出响度较小、频率加倍的辅助音——谐音。我们听到的乐器的声音是它发出的基音和谐音混合而成的。不同的乐器发出同一基音时,不仅谐音的数目不同,而且各谐音的响度也不同。因而使不同的乐器具有不同的音品。在电子琴里,除了有与基音对应的电装置外,还有与许多谐音对应的电装置,适当地选择不同的谐音电装置,就可以模仿出不同乐器的声音来。

　　二、备用试题

1.弹簧振子的振幅增大为原来的2倍时,下列说法中正确的是(　　)。

A.周期增大为原来的2倍

B.周期减小为原来的

C.周期不变

D.以上说法都不正确

【解析】周期只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关,与其他量无关。

【答案】C

2.图示是一做简谐运动的物体的振动图象,下列说法正确的是(　　)。

A.振动周期是2×10-2s

B.前2×10-2s内物体的位移是-10 cm

C.物体的振动频率为25 Hz

D.物体的振幅是10 cm

【解析】由图象可知:A=10 cm,T=4×10-2 s,f==25 Hz,所以C、D对,A错;前2×10-2 s内的位移为0,B错。

【答案】CD

3.一个弹簧振子经a、b两点时速度相同,从a到b经历的最短时间为0.2 s,再从b到a的时间为0.3 s,则振子的周期为(　　)。

A.1 s B.0.8 s C.0.6 s D.1.2 s

【解析】振子经过a、b两点时速度相同,从a到b经历的最短时间为0.2 s,而由b到a的时间为0.3 s,由以上信息可知,a、b在平衡位置两侧关于平衡位置对称,如图所示,O为平衡位置,tab=0.2 s,tba'=0.3 s,则tbb'=(0.3-0.2) s=0.1 s。故周期T=(0.2+0.3+0.1) s=0.6 s。

【答案】C

1.关于做简谐运动物体的振幅、周期、频率的说法,正确的是(　　)。

A.振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处

B.周期和频率的乘积是一个常数

C.振幅越大,周期必然越大,而频率越小

D.做简谐运动的物体其频率是一定的,与振幅无关

【解析】该题考查了对描述简谐运动的基本物理量振幅、周期、频率的理解情况。振幅是标量,是描述振动强弱的物理量。而对于一个确定的简谐运动来说,其周期(或振幅)是不变的,而且周期和频率互为倒数,与物体振幅的大小无关。故选项B、D正确。

【答案】BD

2.一个做简谐运动的质点,它的振幅是4 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为(　　)。

A.4 cm　10 cm　　　　　B.4 cm　100 cm

C.0　24 cm D.0　100 cm

【解析】质点的振动周期T==0.4 s,故时间t=T=6T,所以2.5 s末质点在最大位移处,位移大小为4 cm,质点通过的路程为4×4×6 cm=100 cm,B正确。

【答案】B

3.在光滑水平面上有一个弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)。

A.1∶1　1∶1 B.1∶1　1∶2

C.1∶4　1∶4 D.1∶2　1∶2

【解析】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2;而对于同一振动系统,振动周期由振动系统的性质决定,与振幅无关,则周期之比为1∶1,B对。

【答案】B

4.有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的运动表达式是(　　)。

A.x=8×10-3sin(4πt+)m

 B.x=8×10-3sin(4πt-)m

C.x=8×10-1sin(πt+π)m

 D.x=8×10-1sin(t+)m

【解析】由题给条件可得:A=0.8 cm=8×10-3 m,ω==4π,φ=,所以振动表达式为A。

【答案】A

5.弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,BC相距20 cm,某时刻振子位于B点,经过0.5 s,振子首次到达C点,求:

(1)振子的振幅。

(2)振子的周期和频率。

(3)振子在5 s内通过的路程及5 s末的位移大小。

【解析】(1)振幅设为A,则有2A=BC=20 cm,所以A=10 cm。

(2)从B首次到C的时间为周期的一半,因此T=2t=1 s,再根据周期和频率的关系可得ƒ==1 Hz。

(3)振子一个周期内通过的路程为4A=40 cm,即一个周期运动的路程为40 cm,s=·4A=5×40 cm=200 cm。5 s的时间为5个周期,5 s末振子又回到原始点B,位移大小为10 cm。

【答案】(1)10 cm　(2)1 s　1 Hz　(3)200 cm　10 cm

6.一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1=5sin(8πt+)cm的规律振动。

(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。

(2)另一简谐运动的表达式为x2=5sin(5πt+π)cm,求它们的相位差。

【解析】(1)已知ω=8π,由ω=得T= s,f==4 Hz;A=5 cm,φ1=。

(2)由Δφ=φ2-φ1得Δφ=π-=π。

【答案】(1) s　4 Hz　5 cm　　(2)π

7.一个弹簧振子的振幅是A,周期为T,若在Δt的时间内物体运动的路程是s,则下列关系中一定正确的是(　　)。

A.Δt=2T,s=8A B.Δt=,s=2A

C.Δt=,s=A D.Δt=,s>A

【解析】因振子每经一个周期完成一次全振动,故所通过的路程一定为4A。若从振子经过平衡位置时开始计时,半个周期后一定回到平衡位置,路程为2A;若从振子经过其他位置时开始计时,半个周期后一定到达关于平衡位置对称的位置,且振动方向相反,路程为2A。只有从振子经过平衡位置或最大位移处开始计时,个周期后振子的路程才为A。综上所述,故A、B正确。

【答案】AB

8.一质点做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是(　　)。

A.质点振动频率是1 Hz

B.在6 s内质点经过的路程是12 cm

C.第4 s末质点的速度为零

D.在t=1 s和t=3 s两时刻,质点位移大小相等,方向相同

【解析】由振动图象可知,质点振动的周期是4 s,频率为0.25 Hz,故选项A错误。振幅为2 cm,每周期质点经过的路程为4A,6 s为1.5个周期,经过的路程为1.5×4A=6A=12 cm,选项B正确。4 s末质点在平衡位置,速度最大,故选项C错误。在t=1 s和t=3 s两时刻,质点分别在正向最大位移处和负向最大位移处,大小相等、方向相反,故选项D错误。

【答案】B

9.一个做简谐运动的质点离开平衡位置之后,过0.5 s第一次经过某点P,再过2.4 s第三次经过P点,质点从第二次经过P点到第三次经过P点所需时间可能是(　　)。

A.0.5 s　 　　B.2.2 s　 　　C.0.6 s　 　　D.2.4 s

【解析】第一次到第三次经过P点,可知周期T=2.4 s。如图所示,设质点离开平衡位置之后向右运动,分两种情况讨论,若P点在原点右侧,设通过OP需要时间x,通过PB需要时间y,则4x+4y=2.4 s,x=0.5 s,y=0.1 s。质点从第二次经过P点到第三次经过P点所需要的时间为4x+2y=2.2 s;若P点在原点左侧,4x+4y=2.4 s,3x+2y=0.5 s,无解。选项B正确。

【答案】B

10.图示是弹簧振子的振动图象,请回答下列问题。

(1)振子的振幅、周期、频率分别为多少?

(2)求振子在5 s内通过的路程。

(3)根据振动图象写出该简谐运动的表达式。

【解析】(1)由图象可知:

振幅:A=2 cm

周期:T=0.8 s

频率:f==1.25 Hz。

(2)在5 s内通过的路程:

s=×4A=×4×2 cm=50 cm。

(3)由图象可知:振子的初相为0,ω=2πf=2.5π rad/s

表达式为:x=2sin 2.5πt cm。

【答案】(1)2 cm　0.8 s　1.25 Hz　(2)50 cm　(3) x=2sin 2.5πt cm

11.质点沿x轴做简谐运动,振幅为A=5 cm。质点从a点(xa=-5 cm)运动到b点(xb=5 cm),所用时间为t=0.6 s,求该质点做简谐运动的频率的可能值。

【解析】质点从a点(xa=-5 cm)运动到b点(xb=5 cm),最短时间应为

由于简谐振动具有周期性,运动时间应为t=nT+,代入数值得T= s(n=0,1,2,…)

根据频率和周期的关系有:f== Hz(n=0,1,2,…)。

【答案】 Hz(n=0,1,2,…)

12.在心电图仪、地震仪的工作过程中,要进行振动记录,图甲是一个常用的记录方法。在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P,在下面放一条白纸带,当小球振动时,匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直),笔就在纸带上画出一条曲线,如图乙所示。若匀速拉动纸带的速度为1 m/s,则由图中数据算出振子的振动周期为多少?若拉动纸带做匀加速运动,且振子振动周期与原来相同,由图丙中的数据求纸带的加速度。

【解析】由图乙可知,纸带水平移动20 cm,小球完成一次全振动,故T== s=0.2 s

若拉动纸带做匀加速运动,由图丙可知,在相同时间0.1 s内,纸带水平移动的距离分别为10 cm、11 cm、12 cm、13 cm,根据Δx=aT2可得a== m/s2=1 m/s2。

【答案】0.2 s　1 m/s2