物理选修3选修3-4第十一章 机械振动3 简谐运动的回复力和能量教案及反思

课时11.3　简谐运动的回复力和能量

　　1.理解回复力的概念,会根据回复力的特点判断物体是否做简谐运动。

2.会用动力学的方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。

3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。

重点难点:回复力的特点、简谐运动的动力学分析及能量分析。

教学建议:前两节研究的是做简谐运动的质点的运动特点,不涉及它所受的力以及能量转换的情况,是从运动学的角度研究的。而本节要讨论它所受的力和能量转换的情况,是从动力学和能量的角度研究的。教学中要讲清回复力是根据振动物体所受力的效果来命名的,振子的惯性使振子远离平衡位置时,回复力总是使振子回到平衡位置,正是这一对矛盾才使振子形成振动。从能量守恒的角度对简谐运动进行分析时,只限于对水平弹簧振子。

导入新课:很多同学都喜欢荡秋千,你思考过吗,为什么一次次荡起的秋千还会一次次回到最低点?又为什么荡秋千时能荡得很高?

1.简谐运动的动力学特征

(1)回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向①相反(填“相同”或“相反”),总是指向②平衡位置,它的作用是使振子能③回到平衡位置。

(2)水平放置的弹簧振子做简谐运动时,其回复力可表示为④F=-kx,式中k为比例系数,也是弹簧的劲度系数;负号表示⑤力F与位移x方向相反。

(3)如果质点受到的力与它偏离平衡位置的位移大小成⑥正比,并且总指向⑦平衡位置,该质点的运动就是简谐运动。

2.简谐运动的能量的特征

(1)弹簧振子的速度在不断变化,因而它的⑧动能在不断变化;弹簧的形变量在不断变化,因而它的⑨势能在不断变化。

(2)理论证明:若忽略能量损耗,在弹簧振子运动的任意位置,系统的⑩动能与势能之和都是一定的,与机械能守恒定律相一致。

(3)实际运动都有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种理想化模型。

1.回复力是按性质命名的力还是按效果命名的力?

解答:回复力是按效果命名的力。

2.弹簧振子在什么位置动能最大?在什么位置势能最大?

解答:在平衡位置动能最大,在最大位移处势能最大。

3.简谐运动过程中有能量损耗吗?

解答:简谐运动是一种理想化的模型,没有能量损耗。

主题1:简谐运动的回复力

问题:(1)如图所示,振子在外力作用下把水平弹簧拉伸至A点,松手后振子做简谐运动。仔细观察水平放置的弹簧振子的运动,完成下表。

　　(2)根据问题(1)的分析,总结简谐运动的回复力的特点。

解答:(1)

　　(2)简谐运动的回复力与振子的位移(弹簧的伸长量)成正比,方向与振子的位移方向相反(总是指向平衡位置)。

知识链接:简谐运动的物体在平衡位置时回复力一定为零,但物体的合力不一定为零。

　　主题2:简谐运动的判定方法

问题:如图所示,在光滑水平面上,用两根劲度系数分别为k1和k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球。开始时,两弹簧均处于原长,后使小球向左偏离x后放手,可以看到小球将在水平面上做往复运动。请思考,小球是在做简谐运动吗?

解答:小球水平方向受到两根弹簧的弹力作用,当小球向左偏离平衡位置的位移为x时,左方弹簧受压,对小球的弹力大小为F1=k1x,方向向右;右方弹簧被拉伸,对小球的弹力大小为F2=k2x,方向向右。小球所受合力大小为F=F1+F2=(k1+k2)x,方向向右。令k=k1+k2,上式可写成:F=kx。再

考虑F与x的方向,则F=-kx,所以小球是在做简谐运动。

知识链接:判断物体是否做简谐运动,关键是合理地选择研究对象,并确定回复力是否总与位移成正比,且方向相反。

　　主题3:简谐运动的能量

问题:(1)图示为一做简谐运动的弹簧振子,仔细观察弹簧振子运动过程中的能量转化情况,试分析各阶段的能量转化情况,并填入表格。

　　(2)思考:

①弹簧振子在初始释放位置(A点)时具有什么能?该能量又是如何获得的?

②弹簧振子在平衡位置时具有什么能?该能量又是如何获得的?

解答:(1)

　　(2)①弹簧振子在初始释放位置(A点)时具有最大势能,该势能是通过外力做功获得的。

②弹簧振子在平衡位置时具有最大动能,该动能是由势能转化而来的。

知识链接:简谐运动的能量跟振幅有关,振幅越大,振动的能量越大。由于简谐运动的总能量保持不变,所以又称为等幅振动。

1.(考查回复力)如图所示,对做简谐运动的弹簧振子m进行受力分析,则关于振子所受的力,下列说法正确的是(　　)。

A.重力、支持力、弹簧的弹力

B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力

C.重力、支持力、回复力、摩擦力

D.重力、支持力、摩擦力

【解析】有不少同学误选B,产生错解的主要原因是对回复力的性质理解不清楚,或者说是对回复力的来源没有弄清楚,因此一定要清楚地认识到它是由其他力所提供的力。

【答案】A

【点评】回复力是各个力的合力,并不是一个单独的力。

2.(考查简谐运动的动能、势能)一个做简谐运动的物体,每次有相同的动能时,下列说法正确的是(　　)。

A.具有相同的速度

B.具有相同的势能

C.具有相同的回复力

D.具有相同的位移

【解析】做简谐运动的物体,有相同的动能的点有两个,且关于平衡位置对称,这两点的位移、回复力方向都不同。而即使是同一点,速度也有两个不同的方向。分析此题时注意矢量和标量的区别,只有B选项正确。

【答案】B

【点评】加速度随位移变化的规律与回复力一致。

3. (考查回复力和位移、加速度的关系)图示为一弹簧振子,O为平衡位置,设向右为正方向,振子在B、C之间振动时(　　)。

A.B→O位移为正、回复力为正

B.O→C位移为正、回复力为负

C.C→O加速度为负、回复力为负

D.O→B加速度为正、回复力为负

【解析】由B→O运动时,振子在O左侧,位移为负,回复力指向O点(向右),故选项A错误;同理可以判断选项B正确。由C→O运动时,振子的回复力指向O点(向左),加速度与回复力方向相同,故选项C正确;同理可以判断选项D错误。

【答案】BC

【点评】回复力的方向总与位移的方向相反,与加速度方向相同。

4.(考查简谐运动的能量和回复力)图示为一在水平方向上振动的弹簧振子的振动图象,由此可知(　　)。

A.在t1时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大

B.在t2时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小

C.在t3时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小

D.在t4时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大

【解析】由图知,在t1和t3时刻,振子分别处于正向最大位移处和负向最大位移处,速度为零,动能为零,弹簧形变量最大,振子所受弹力最大,故选项A、C均错;由图知,在t2和t4时刻,振子处于平衡位置,速度最大,动能最大,弹簧无形变,振子所受弹力最小,故选项B正确,选项D错误。

【答案】B

【点评】振子在平衡位置时动能最大。

拓展一:简谐运动的能量

1.图示是简谐运动的振动图象,则下列说法中正确的是(　　)。

A.曲线上A、C、E点振子的势能最大

B.曲线上A、E点振子的势能最大,C点振子的势能最小

C.曲线上B、D点振子的机械能相等

D.曲线上F点振子的动能最大

【分析】根据振动图象可以判断各点的能量情况。动能和势能都是标量,质点离平衡位置越远,势能越大;又因为简谐运动机械能守恒,可知越靠近平衡位置动能越大。

【解析】简谐运动的机械能是守恒的,所以在各个位置的机械能应相等。从平衡位置向最大位移处运动的过程中动能向势能转化,动能减少,势能增加。在最大位移处,势能最大,动能为零;而在平衡位置时动能最大,势能为零。

【答案】ACD

【点拨】在振动的一个周期内,动能和势能完成两次周期性变化,经过平衡位置时动能最大,势能最小;经过最大位移处时,势能最大,动能最小。

拓展二:简谐运动的证明

2.如图所示,粗细均匀的一条木筷,下端绕几圈铁丝,竖直浮在较大圆筒里的水中,把木块向下按一段距离后放手,木筷就在水中上下振动。请你从简谐运动的力学特征来证明木块做的是简谐运动。

【分析】筷子静止时的位置是平衡位置,假设从该位置向下按筷子的距离为x,分析此时其回复力特点,如果满足F=-kx,则说明筷子做简谐运动。为了分析方便,可以假设一些物理量,如筷子质量m,筷子横截面积S,水的密度ρ,等等。

【解析】设筷子的横截面积为S,并以向下的方向为正方向

木筷处于平衡位置时有ρV0g=mg

　　若筷子向下离开平衡位置的位移为x,则此时筷子所受合外力为F回=F合=-ρ(V0+Sx)g+mg

联立解得回复力F回=-ρgSx=-kx

回复力与位移大小成正比,方向相反,木筷做简谐运动。

【答案】见解析

【点拨】在证明简谐运动时,应先找出平衡位置,并找出平衡位置处振子的受力关系。再在振子振动的任意位置进行受力分析,且设出位移的正方向,然后求出任意位置时振子的回复力,看其是否满足F回=-kx。

一、物理百科

你会荡秋千吗?

你喜欢荡秋千吗?也许你很喜欢却荡不好。要知道,会荡秋千的人,不用别人帮助推,就能越摆越高,而不会荡秋千的人则始终也摆不起来,知道这是什么原因吗?

请你仔细观察一下荡秋千高手的动作:

他从高处摆下来的时候身子是从直立到蹲下,而从最低点向上摆时,身子又从蹲下到直立起来。由于他从蹲下到站直时,重心升高,无形中就对自己做了功,自身内能转化为机械能,增大了重力势能。因而,每摆一次秋千,都使荡秋千的人自身机械能增加一些。如此循环往复,总机械能越积越多,秋千就摆得越来越高了。不信你可以试试看!

二、备用试题

1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振子向平衡位置运动的过程中(　　)。

A.振子所受的回复力逐渐增大

B.振子的位移逐渐增大

C.振子的速率逐渐减小

D.弹簧的弹性势能逐渐减小

【解析】在振子向平衡位置运动的过程中,振子的位移逐渐减小,速率逐渐增大,弹簧的弹性势能逐渐减小。故选D。

【答案】D

2.当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时,下列说法中正确的是(　　)。

A.振子在振动过程中,速度相同时,弹簧的长度一定相等,弹性势能相同

B.振子从最低点向平衡位置运动过程中,弹簧弹力始终做负功

C.振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供

D.振子在运动过程中,系统的机械能守恒

【解析】振子在平衡位置两侧往复运动,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点,这时弹簧长度明显不等,A错;振子由最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧对振子施加的力指向平衡位置,应做正功,B错;振子运动中的回复力由弹簧振子所受合力提供,且运动中机械能守恒,故C、D对。

【答案】CD

3. 如图所示的弹簧振子,O为平衡位置,B、C为最大位移位置,以向右的方向为正方向,则振子从B运动到O的过程中,位移为　　　　,大小逐渐　　　　,回复力方向为　　　　,大小逐渐　　　　,振子速度方向为　　　　,大小逐渐　　　　,动能逐渐　　　　,势能逐渐　　　　。(选填“正”“负”“增大”或“减小”) 

【解析】振子从B向O运动的过程中,位置在O点的右方,到O点距离逐渐减小,故位移为正值,大小逐渐减小。由F=-kx和a=-x可知,回复力和加速度的大小均在减小,方向为负,振子的速度方向为负,大小逐渐增大,故动能也在增大,势能逐渐减小。

【答案】正　减小　负　减小　负　增大　增大　减小

1.关于做简谐运动的物体每次通过平衡位置时的情况,下列说法正确的是(　　)。

A.位移为零,动能为零

B.动能最大,势能最小

C.速率最大,回复力不为零

D.以上说法均不对

【解析】物体经平衡位置时,位移为零,回复力为零,速度最大,动能最大,势能为零,所以B正确,A、C、D错误。

【答案】B

2.做简谐运动的弹簧振子,当回复力由小变大时,下列物理量也变大的是(　　)。

A.弹簧的弹性势能　　　　　B.振子的速率

C.振子的加速度 D.振子的能量

【解析】当回复力由小变大时,位移正在增大,则弹簧的弹性势能增大,A正确;振子的速率减小,B错误;振子的加速度增大,C正确;振子的能量不变,D错误。

【答案】AC

3.把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图所示。下列结论正确的是(　　)。

A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小

B.小球在A、B位置时,动能最大,加速度最大

C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功

D.小球从B到O的过程中,振动的能量不断增加

【解析】振子以O为平衡位置,在A、B之间振动。在O点时,动能最大,回复力为零,加速度最小;在A、B位置时,动能最小,回复力最大,加速度最大。从A到O回复力做正功,从O到B回复力做负功;小球从B到O弹簧弹力做功,弹簧振子的机械能不变。

【答案】A

4.图示为一弹簧振子做简谐运动的图象,由图可知,t1和t2时刻对称。对振子在t1和t2时刻进行比较,下列结论正确的是(　　)。

A.振子具有相同的速度

B.振子具有相同的位移

C.振子具有相同的加速度

D.振子具有相同的机械能

【解析】t1和t2两时刻振子所处的位置关于平衡位置对称,速度、加速度、位移三者的大小均相同,速度方向相同,但加速度和位移方向都相反,故选项A对,选项B、C错。由于振动过程中机械能守恒,所以t1和t2时刻机械能相等,选项D对。

【答案】AD

5. 如图所示,弹簧上面固定一质量为m的小球,小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动,当小球振动到最高点时弹簧正好为原长,则小球在振动过程中(　　)。

A.小球最大动能应等于mgA

B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变

C.弹簧最大弹性势能等于2mgA

D.小球在最低点时所受弹力大于2mg

【解析】小球在平衡位置时有kx0=mg,即x0=A=。振动过程中弹簧振子的机械能守恒,即动能、重力势能和弹性势能之和保持不变。从最高点到最低点,重力势能全部转化为弹性势能,Ep=2mgA,最低点加速度大小等于最高点加速度g,根据牛顿第二定律F-mg=mg,所以小球在最低点时的弹力F=2mg。

【答案】C

6.如图所示,光滑的水平面上放有一弹簧振子,轻弹簧右端固定在滑块上,已知滑块质量m=0.5 kg,弹簧劲度系数k=240 N/m,将滑块从平衡位置O向左平移,使弹簧压缩 5 cm,静止释放后滑块在A、B间滑动,则:

(1)滑块在A、B、O三点中哪点加速度最大?此时滑块加速度为多大?

(2)滑块在A、B、O三点中哪点速度最大?此时滑块速度为多大?(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)

【解析】(1)由于简谐运动的加速度a==-,故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点,加速度大小a==×0.05 m/s2=24 m/s2。

(2)在平衡位置O滑块的速度最大

根据机械能守恒定律有Epm=m

故vm== m/s≈1.1 m/s。

【答案】(1)A点或B点　24 m/s2　(2)O点　1.1 m/s

甲

7.如图甲所示,A、B两物体组成弹簧振子,在振动过程中,A、B始终保持相对静止,图乙中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子的位移x关系的图象应为(　　)。

乙

【解析】在振动过程中A、B始终保持相对静止,可以把A、B看成整体进行受力分析,设A、B的质量为mA、mB,弹簧的劲度系数为k,则有(mA+mB)a=-kx,a=-,A所受摩擦力Ff=-kx,所以Ff与位移的关系是Ff=-kx。

【答案】C

8.做简谐运动的弹簧振子,其质量为m,最大速率为v。下列说法中正确的是(　　)。

A.振动系统的最大弹性势能为mv2

B.当振子的速率减为时,此振动系统的弹性势能为

C.从某时刻起,在半个周期内,弹力做的功一定为零

D.从某时刻起,在半个周期内,弹力做的功一定为mv2

【解析】根据简谐运动机械能守恒原理,判断A选项正确。当振子的速率减为时,振子的动能减少量ΔEk=mv2-m()2=mv2,那么振动系统的弹性势能为mv2,B选项错误。从某时刻起经过半个周期,振子回到原位置或者回到关于平衡位置对称的位置,经过半个周期振子的速率恢复到原来的数值,所以动能不变,根据动能定理,弹力做功为零,C选项正确,D选项错误。

【答案】AC

9.如图所示,物体m系在两弹簧之间,两弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然状态。今向右拉动m,然后释放,物体在B、C间振动,O为平衡位置(不计阻力),则下列判断正确的是(　　)。

A.m做简谐运动,OC=OB

B.m做简谐运动,OC≠OB

C.回复力F=-kx

D.回复力F=-3kx

【解析】本题易误选B、C,误以为物体两边弹簧的劲度系数不同,因此做简谐运动时,左右最大位移不对称,即OC≠OB,误认为选项B正确。根据物体做简谐运动的条件是物体所受回复力为F=-kx,因此误认为选项C正确。造成这些错误的原因是没有用所学知识加以分析。在F=-kx中,k为比例系数,不一定为劲度系数。

【答案】AD

10. 如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M,若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面,m和M无相对运动而一起运动,下列说法正确的是(　　)。

A.振幅不变 B.振幅减小

C.最大动能不变 D.最大动能减小

【解析】当振子运动到B点时,M的动能为零,放上m,系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep,由于简谐运动过程中系统的机械能守恒,即振幅不变;当M和m运动至平衡位置O时,此时动能最大,M和m的动能之和即为系统的总能量,故最大动能不变。

【答案】AC

11.图示为某质点沿x轴做简谐运动的图象,根据图象可知,在前4 s内:

(1)在　　　　时间内质点的速度和加速度方向相同。 

(2)在　　　　时间内动能正在向势能转化。 

(3)在t=　　　　s时质点动能最大,回复力为0。 

【解析】(1)质点向平衡位置运动的过程中,速度和加速度方向相同。

(2)质点远离平衡位置运动的过程中,动能向势能转化。

(3)质点在平衡位置时动能最大,回复力为0。

【答案】(1)0~1 s、2 s~3 s　(2)1 s~2 s、3 s~4 s　(3)1、3

12.如图所示,A、B叠放在光滑水平地面上,B与自由长度为L0的轻弹簧相连组成弹簧振子,当系统振动时,A、B始终无相对滑动,已知mA=3m,mB=m,当振子距平衡位置的位移x=时,系统的加速度为a,求A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系。

【解析】设弹簧的劲度系数为k,系统在水平方向上做简谐运动,其中弹簧的弹力作为系统的回复力,所以当振子运动到距平衡位置为时,有k·=(mA+mB)a,由此得k=

当振子的位移为x时,A、B间的静摩擦力为Ff,此时A、B具有共同的加速度a',对系统有-kx=(mA+mB)a'

对A有Ff=mAa'

联立上式得Ff=-x。

【答案】Ff=-x