全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷六理含解析

这是一份全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷六理含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考仿真模拟卷(六)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，B＝{y|y＝＋}，则A∩B＝(　　)
A．{2} B．{0}
C．[－2，2] D．[0，2]
2．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝(　　)
A. B．1
C. D．2
3．在△ABC中，M为AC的中点，＝，＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．1 B.
C. D.
4．已知cos＝，则sin的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
5．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．2
6．执行如图所示的程序框图，若输出s＝4，则判断框内应填入的条件是(　　)

A．k≤14 B．k≤15
C．k≤16 D．k≤17
7．长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝4，AD＝2，AA1＝，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝4，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是(　　)
A. B.
C. D.
9．抛物线x2＝y在第一象限内图象上一点(ai，2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于(　　)
A．64 B．42
C．32 D．21
10．已知平面向量a，b的夹角为，|a－b|＝|a|＝2.若非零向量c－a与c－b的夹角为，则|c|的取值范围是(　　)
A．(，4] B．(2，4]
C．(2，2] D．[2，4]


11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的图象如图所示，令g(x)＝f(x)＋f′(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是(　　)
A．函数g(x)图象的对称轴方程为x＝kπ－(k∈Z)
B．函数g(x)的最大值为2
C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y＝3x－1平行
D．方程g(x)＝2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1－x2|最小值为
12．已知函数f(x)＝x2－ax(≤x≤e，e为自然对数的底数)与g(x)＝ex的图象上存在关于直线y＝x对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案













第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13.的展开式中x8的系数是________(用数字作答)．
14．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.
15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且满足4cos2－cos[2(B＋C)]＝，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是____________．
16．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝2，AB＝4，BC＝3，AC＝5，若平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜1.








18．(本小题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：

学生序号i
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩xi
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩yi
70
77
80
85
90
86
93
①若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)，若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程＝x＋，







19．(本小题满分12分)如图，三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.
(1)证明：DE⊥平面PCD；
(2)求二面角A­PD­C的余弦值．










20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x＋x2－2ax＋a2，a∈R.
(1)当a＝0时，曲线y＝f(x)与直线y＝3x＋m相切，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[1，3]上存在单调递增区间，求a的取值范围 .





21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝.
(1)求椭圆及圆C的方程；
(2)过原点O作直线l与圆C交于A，B两点，若·＝－2，求直线l被圆C截得的弦长．







请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．



23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.
























高考仿真模拟卷(六)
1．解析：选B.由≤2x≤4，得－2≤x≤2，
即A＝[－2，2]，
由y＝＋，得x＝2，
所以y＝0，所以B＝{0}，
所以A∩B＝{0}．故选B.
2．解析：选B.因为z＝＝＝－i，所以|z|＝＝1.
3．解析：选B.＝＋＝＋＝＋(－)＝－，
故x＝－1，y＝⇒x＋y＝.
4．解析：选A.sin
＝sin
＝cos＝.
5．解析：选C.由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
6．解析：选B.由程序可知，该程序是计算s＝1×log23×log34×…×logk(k＋1)＝××…×＝＝log2(k＋1)，由s＝log2(k＋1)＝4，得k＝15，则当k＝15时，k＝k＋1＝15＋1＝16不满足条件，所以条件为k≤15.故选B.
7．解析：选C.因为C1D1∥A1B1，所以异面直线A1B1与AC1所成的角即为C1D1与AC1所成的角∠AC1D1，在Rt△AC1D1中，C1D1＝4，AC1＝＝5，
所以cos∠AC1D1＝＝.
8．解析：选A.在△ABD中，AD＝6，BD＝2，∠ADB＝120°，由余弦定理，得AB
＝＝2，
所以＝＝，所以所求概率为＝＝.
9．解析：选B.令y＝f(x)＝2x2，则切线斜率k＝f′(ai)＝4ai，切线方程为y－2a＝4ai(x－ai)，令y＝0得x＝ai＋1＝ai，由a2＝32得a4＝8，a6＝2，所以a2＋a4＋a6＝42.
10．解析：选B.设a＝，b＝，c＝，由a，b的夹角为，|a－b|＝|a|＝2可知△OAB为正三角形．由c－a与c－b的夹角为可知，O，A，C，B四点共圆，且点C在劣弧上．由题意可知|c|>|a|＝|a－b|＝2，因为该圆的直径为2R＝＝4，所以|c|≤4，
故2<|c|≤4.
11．解析：选C.由函数的最值可得A＝2，函数的周期T＝4×＝2π＝，所以ω＝1，
当x＝时，ωx＋φ＝1×＋φ＝2kπ＋，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，
令k＝0可得φ＝，
函数的解析式f(x)＝2sin.
则g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝2sin＋2cos
＝2sin
＝2sin，
结合函数的解析式有
g′(x)＝2cos∈[－2，2]，
而3∉[－2，2]，
选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项均正确．本题选择C选项．
12．解析：选A.因为函数f(x)与g(x)的图象在上存在关于直线y＝x对称的点，所以问题转化为方程x2－ax＝ln x在上有解，即a＝在上有解．令h(x)＝，则h′(x)＝，当x＝1时，h′(x)＝0，当≤x≤1时，h′(x)<0，当10，所以h(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增，又h(1)＝1，h＝e＋，h(e)＝e－，所以h(x)∈，即a∈，故选A.
13．解析：根据二项展开式的通项公式，得Tr＋1＝C(x3)5－r·＝Cx(其中r＝0，1，2，3，4，5)．由＝8，求得r＝2，所以展开式中x8的系数是·C＝.
答案：
14．解析：由直线y＝x和y＝k求得交点(k，k)，由目标函数对应的直线的斜率得，当直线z＝2x＋y过y＝x和y＝k的交点(k，k)时，目标函数取得最小值，所以2k＋k＝－6，k＝－2.
答案：－2
15．解析：因为B＋C＝π －A，所以cos [2(B＋C)]＝cos(2π －2A)＝cos 2A＝2cos2A－1，又cos2＝，所以4cos2－cos [2(B＋C)]＝可化为4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝.又A为三角形的内角，所以A＝，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos A≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，即△ABC的面积的最大值为.
答案：
16．解析：取AB的中点O′，AC的中点O，连接O′O，
因为PA2＋PB2＝AB2，所以△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，从而点O′为△PAB外接圆的圆心，
又AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形，从而点O为△ABC外接圆的圆心，
又因为O′O∥BC，所以O′O⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O′O⊥平面PAB，
所以点O为三棱锥P­ABC外接球的球心，所以外接球的半径R＝OA＝AC＝，
故外接球的表面积S＝4πR2＝25π.
答案：25π
17．解：(1)因为2Sn＝(n＋1)an，
当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，
两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1，
即(n－1)an＝nan－1，
所以当n≥2时，＝，所以＝.
因为a1＝2，所以an＝2n.
(2)证明：因为an＝2n，令bn＝，n∈N*，所以bn＝＝＝－.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋＝1－＝.
因为＞0，所以1－＜1.
因为f(n)＝在N*上是递减函数，
所以1－在N*上是递增的，
所以当n＝1时，Tn取得最小值.
所以≤Tn＜1.
18．解：(1)依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为×24＝4，18名男同学中应抽取的人数为×18＝3，
故不同的样本的个数为CC.
(2)①因为7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3，
所以ξ的取值为0，1，2，3.
所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
②因为＝≈0.65, ＝y－x＝83－0.65×76＝33.60.
所以线性回归方程为＝0.65x＋33.60.
当x＝96时，＝0.65×96＋33.60＝96.
所以可预测该同学的物理成绩为96分．
19．解：(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，得PC⊥DE.
由CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.

(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝.如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1.又已知EB＝1，故FB＝2.
由∠ACB＝，
得DF∥AC，＝＝，
故AC＝DF＝.
以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，3)，＝.
设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝0，n1·＝0，得
故可取n1＝(2，1，1)．
由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1，0)，
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝＝，
故所求二面角A­PD­C的余弦值为.
20．解：(1)当a＝0时，f(x)＝ln x＋x2，其定义域为(0，＋∞)．f(x)的导函数f′(x)＝＋2x，令f′(x)＝3，解得x＝1或x＝，代入f(x)的解析式，可得切点的坐标为(1，1)或.
将切点坐标代入直线y＝3x＋m，可得m＝－2或m＝－－ln 2.
(2)因为f(x)的导函数f′(x)＝＋2x－2a＝，
其分母在[1，3]上恒为正．
设g(x)＝2x2－2ax＋1.
假设函数f(x)在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0.
于是解得a≥.
故要使函数f(x)在[1，3]上存在单调递增区间，a的取值范围是.
21．解：(1)设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，由椭圆的离心率为可得＝，即＝，所以a＝2b，b＝c.
以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为b·2c＝，即·c·2c＝，
所以c＝，则a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，与圆C相切，不符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝kx，
由
可得(k2＋1)x2－(2k＋4)x＋1＝0，
由条件可得Δ＝(2k＋4)2－4(k2＋1)>0，即k>－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＝，y1y2＝k2x1x2＝，而圆心C的坐标为(2，1)，则＝(x1－2，y1－1)，＝(x2－2，y2－1)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝－2，即x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋5＝－2，
所以－2×＋－＋5＝－2，解得k＝0或k＝.
当k＝0时，在圆C中，令y＝0可得x＝2＋或x＝2－，故直线l被圆C截得的弦长为2；
当k＝时，直线l的方程为4x－3y＝0，圆心C(2，1)到直线l的距离d＝＝1，
故直线l被圆C截得的弦长为2＝2，
综上可知，直线l被圆C截得的弦长为2.
22．解：(1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0.
又由ρ＝2sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
＋＝5.
即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1、t2是上述方程的两实数根，
所以t1＋t2＝3，t1·t2＝4.
又直线l过点P(3，)，A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
23．解：(1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；
当－1≤x<2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3，6)；
当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．综上，f(x)的最小值m＝3.
(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，因为＋＋＋(a＋b＋c)
＝＋＋
≥2
＝2(a＋b＋c)．(当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”)
所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.