全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷二理含解析

这是一份全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷二理含解析，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考仿真模拟卷(二)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2－x－2＞0}，B＝{x|0＜log2x＜2}，则A∩B＝(　　)
A．(2，4) B．(1，1)
C．(－1，4) D．(1，4)
2．i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝i，则|z|＝(　　)
A. B.
C．1 D.
3．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．10
4．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

5．若sin＝，α∈，则tan 2α＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7．如图程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的是(　　)

A．i≤7 B．i＞7
C．i≤9 D．i＞9
8．设a＝log2 018，b＝log2 019，c＝2 018，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
9．已知数列a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝2－2(－1)n，n∈Z*，则S2 017的值为(　　)
A．2 016×1 010－1 B．1 009×2 017
C．2 017×1 010－1 D．1 009×2 016
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在点P处的切线过双曲线的左焦点F(－1，0)，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值是(　　)
A．8 B．6
C．3 D．4
12．已知四棱锥S­ABCD的所有顶点都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且满足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝，SC＝，则球O的表面积是(　　)
A．5π B．4π
C．3π D．2π


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案














第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝13，S3＝S11，则Sn的最大值为________．
14．若在(a＋3x)(1－)8关于x的展开式中，常数项为4，则x2的系数是________．
15．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，＝，CE的延长线与AD交于点F，若＝λ＋ μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
16．对于函数y＝f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y＝f(x)为k倍值函数．若f(x)＝ln x＋x是k倍值函数，则实数k的取值范围是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(3π＋x)·cos(π－x)＋cos2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，a＝2，b＋c＝4，求b，c.









18．(本小题满分12分)某次有1 000人参加的数学摸底考试，成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．

(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；

成绩区间
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，95)
[95，100)
人数
50
a
350
300
b
(2)现在要用分层抽样的方法从这1 000人的成绩中抽取40人的成绩进行分析，再从抽取的40名学生中，随机选取2名学生参加座谈会，记选取的2名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．





19．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，FB＝，M，N分别为EF，AB的中点．

(1)求证：MN∥平面FCB；
(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．









20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；
(2)若过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点P是椭圆C上使直线PM，PN的斜率存在的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆C的方程．





21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋(k∈R)．
(1)若f(x)存在极小值h(k)，且不等式h(k)≤ak对f(x)存在极小值的任意k恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当k＞0时，如果存在两个不相等的正数α，β使得f(α)＝f(β)，求证：α＋β＞2k.







请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|.
(1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；
(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，
证明：a＋b≥2ab.


























高考仿真模拟卷(二)
1．解析：选A.A＝{x|x＜－1或x＞2}，B＝{x|1＜x＜4}，所以A∩B＝(2，4)．故选A.
2．解析：选B.由z(1＋i)＝i得z＝，
所以|z|＝＝＝，故答案为B.
3．解析：选B.因为向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0，2y＝－4，解得x＝2，y＝－2，所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝ ＝.
4．解析：选A.因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，
可得图象关于y轴对称，排除C，D；当x＞0时，f(x)＝，f(1)＝0，f＜0，排除B.
5．解析：选A.因为sin＝cos α＝，
所以sin α＝±，因为α∈，所以sin α＝，所以tan α＝，所以tan 2α＝＝＝－，故选A.
6．解析：选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，
所以P(A)＝＝，因此P(A)＝1－P(A)＝1－＝，故本题选A.
7．解析：选B.第一次运行，i＝10，满足条件，S＝1×10＝10，i＝9；
第二次运行，i＝9满足条件，S＝10×9＝90，i＝8；
第三次运行，i＝8满足条件，S＝90×8＝720，i＝7；
此时不满足条件，输出的S＝720.
故条件应为8，9，10满足，i＝7不满足，所以条件应为i＞7.
8．解析：选C.因为1＝log2 0182 018＞a＝log2 018＞log2 018＝，
b＝log2 019＜log2 019＝，c＝2 018＞2 0180＝1，故本题选C.
9．解析：选C.由递推公式可得：
当n为奇数时，an＋2－an＝4，数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，
当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{an}是首项为2，公差为0的等差数列，
S2 017＝(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 016)
＝1 009＋×1 009×1 008×4＋1 008×2
＝2 017×1 010－1.本题选择C选项．
10．解析：选A.设P(x0，)，所以切线的斜率为，
又因为在点P处的切线过双曲线的左焦点F(－1，0)，
所以＝，解得x0＝1，所以P(1，1)，因此2c＝2，2a＝－1，故双曲线的离心率是，故选A.
11．解析：选D.＋＝，这个形式很容易联想到余弦定理cos A＝，①
而条件中的“高”容易联想到面积，a×a＝bcsin A，即a2＝2bcsin A，②
将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cos A＋sin A)，
所以＋＝2(cos A＋sin A)＝4sin，当A＝时取得最大值4，故选D.
12．解析：选A.依题意得，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由余弦定理可得BD＝，则AD2＋DB2＝AB2，
则∠ADB＝，又四边形ABCD是等腰梯形，故四边形ABCD的外接圆直径为AB，设AB的中点为O1，球的半径为R，因为SD⊥平面ABCD，
所以R2＝12＋＝，则S＝4πR2＝5π，故选A.
13．解析：因为S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入得d＝－2.故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数性质，当n＝7时，Sn最大且最大值为49.
答案：49
14．解析：由题意得(1－)8展开式的通项为Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rCx，r＝0，1，2，…，8，
所以(a＋3x)(1－)8展开式的常数项为(－1)0C·a＝a＝4，所以(4＋3x)(1－)8展开式中x2项的系数为4·(－1)6Cx＋3x·(－1)3Cx＝－56x2，
所以展开式中x2的系数是－56.故答案为－56.
答案：－56
15．解析：法一：因为＝，＝＝，所以＝＝，所以＝，由DF∥BC，得＝，所以＝＋＝＋＝＋＋(＋)＝＋＝－＋，所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－.
法二：不妨设ABCD为矩形，建立平面直角坐标系如图，设AB＝a，BC＝b，则A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，O，设E(x，y)，因为＝，所以(x，y－b)＝，所以x＝，y＝b，即E，设F(0，m)，因为∥，＝(－a，m－b)，＝，所以ab＋a(m－b)＝0，解得m＝b，即F，＝.又＝(a，b)，＝(－a，b)，由＝λ＋μ，得＝λ(a，b)＋μ(－a，b)＝((λ－μ)a，(λ＋μ)b)，所以λ＋μ＝－.
答案：－
16．解析：由题意得ln x＋x＝kx有两个不同的解，k＝＋1，则k′＝＝0⇒x＝e，因此当0e时，k∈，从而要使ln x＋x＝kx有两个不同的解，需k∈.
答案：
17．解：(1)因为f(x)＝sin(3π＋x)·cos(π－x)＋cos2，
所以f(x)＝(－sin x)·(－cos x)＋(－sin x)2＝sin 2x＋＝sin＋.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)由f(A)＝得，sin＋＝，所以sin＝1，
因为0＜A＜π，
所以0＜2A＜2π，－＜2A－＜，
所以2A－＝，所以A＝，
因为a＝2，b＋c＝4，①
根据余弦定理得，
4＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝16－3bc，
所以bc＝4，②
联立①②得，b＝c＝2.
18．解：(1)依题意得，a＝0.04×5×1 000＝200，b＝0.02×5×1 000＝100.
(2)设抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为x，则＝，解得x＝30，
即抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为30.
依题意，X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为

X
0
1
2
P



所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
19．解：(1)证明：取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ＝AC，NQ∥AC.
又MF＝AC，MF∥AC，所以MF＝NQ，MF∥NQ，则四边形MNQF为平行四边形，即MN∥FQ.
因为FQ⊂平面FCB，MN⊄平面FCB，
所以MN∥平面FCB.
(2)由AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°可得∠ACB＝90°，AC＝，BC＝1，AB＝2.因为四边形ACFE为矩形，所以AC⊥平面FCB，则∠AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即∠AFC＝30°，所以FC＝3.
因为FB＝，所以FC⊥BC，则可建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz，

所以A(，0，0)，B(0，1，0)，M，＝，＝.
设m＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，
则即
取x＝2，则m＝(2，6，1)为平面MAB的一个法向量．
又n＝(，0，0)为平面FCB的一个法向量，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
则平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为.
20．解：(1)由题意知，b等于原点到直线y＝x＋2的距离，即b＝＝，又2a＝4，所以a＝2，c2＝a2－b2＝2，所以椭圆C的两个焦点的坐标分别为，.
(2)由题意可设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，
又kPM＝，kPN＝，
所以kPM·kPN＝·＝＝－，所以－＝－，又a＝2，所以b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.
21．解：(1)f′(x)＝－＝，x＞0.
当k≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．
当k＞0时，当0＜x＜k时，f′(x)＜0，当x＞k时，f′(x)＞0，故f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)，f(x)的极小值为h(k)＝f(k)＝ln k＋1.
当k＞0时，h(k)≤ak恒成立，即ln k＋1≤ak，即a≥恒成立．
令φ(k)＝，则φ′(k)＝＝，令φ′(k)＝0，得k＝1，当0＜k＜1时，φ′(k)＞0，φ(k)单调递增，当k＞1时，φ′(k)＜0，φ(k)单调递减，故k＝1为φ(k)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以φ(k)max＝φ(1)＝1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)证明：由(1)知，当k＞0时，f(x)在(0，k)上单调递减，在(k，＋∞)上单调递增，设α＜β，则一定有0＜α＜k＜β.
构造函数g(x)＝f(x)－f(2k－x)＝ln x＋－ln (2k－x)－，0＜x＜k，
g′(x)＝＋－－
＝－
＝.
因为0＜x＜k，所以g′(x)＜0，即g(x)在(0，k)上单调递减，又f(k)－f(2k－k)＝0，所以g(x)＞0，所以f(x)＞f(2k－x)．
因为0＜α＜k，所以f(α)＞f(2k－α)，
因为f(α)＝f(β)，所以f(β)＞f(2k－α)，因为0＜α＜k，所以2k－α＞k，又函数f(x)在(k，＋∞)上单调递增，所以β＞2k－α，所以α＋β＞2k.
22．解：(1)x2＝＝(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋1＝y，所以C1的普通方程为y＝x2.将ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y代入C2的方程得x2＋y2＝4y－3，所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＋3＝0.
(2)将x2＋y2－4y＋3＝0变形为x2＋(y－2)2＝1，它的圆心为C(0，2)．
设P(x0，y0)为C1上任意一点，则y0＝x，从而|PC|2＝(x0－0)2＋(y0－2)2＝x＋(x－2)2＝x－3x＋4＝＋，所以当x＝时，|PC|min＝，
故曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为－1.
23．解：(1)由已知可得f(x)＝
所以f(x)min＝1，
所以只需|m－1|≤1，解得－1≤m－1≤1，
所以0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2.
(2)证明：因为a2＋b2≥2ab，
所以ab≤1，
所以≤1，当且仅当a＝b时取等号，①
又≤，所以≤，
所以≤，当且仅当a＝b时取等号，②
由①②得，≤，所以a＋b≥2ab.