2021年山东省菏泽市东明县中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省菏泽市东明县中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省菏泽市东明县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个答案是正确的，请把正确的选项涂在答题卡上）
1．（3分）﹣4的绝对值是（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
2．（3分）一年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，若用科学记数法表示正确的结果是（　　）
A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米
3．（3分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（1，7） B．（0，5） C．（3，4） D．（﹣3，2）
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C． D．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a
6．（3分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）

A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
7．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42
8．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共6小题，共18分，请把正确答案直接写在答题卡相应位置，不写过程）
9．（3分）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是　 　．
10．（3分）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为　 　．

11．（3分）疫情当前，根据上级要求学生在校期间每天都要检测体温，小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3，那么这组体温的众数是　 　．
12．（3分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝　 　．

13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝　 　．

14．（3分）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分，每题要在答题卡上写出必要的解答过程）
15．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
16．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
17．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．

18．（6分）我县地处黄河半包围之中，周末小亮在爸爸带领下去黄河边游玩．他打算利用自己所学知识测一下某处河水的宽度．如图，他看到河对岸有一棵树A，于是又在河边取两点B，C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100m．求此处河水的宽度．（取1.414，取1.732，结果精确到1m，假定河两岸是平行的）

19．（8分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
20．（8分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
21．（10分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

23．（10分）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．

24．（10分）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．


2021年山东省菏泽市东明县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个答案是正确的，请把正确的选项涂在答题卡上）
1．（3分）﹣4的绝对值是（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵|﹣4|＝4，
∴﹣4的绝对值是4．
故选：A．
2．（3分）一年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.00000011米，若用科学记数法表示正确的结果是（　　）
A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 00011＝1.1×10﹣7．
故选：C．
3．（3分）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．
【解答】解：由如图所示的几何体可知：该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是，其中左视图是轴对称图形．
故选：B．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（1，7） B．（0，5） C．（3，4） D．（﹣3，2）
【分析】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
【解答】解：由坐标系可得B（﹣3，1），将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为（3，1），再向上平移3个单位长度，点B的对应点B'的坐标为（3，1+3），
即（3，4），
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2
C． D．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a
【分析】分别根据积的乘方法则、单项式乘以多项式、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答．
【解答】解：A、3a×2a＝6a2，选项错误；
B、a8÷a4＝a4，选项错误；
C、，选项错误；
D、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，选项正确；
故选：D．
6．（3分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）

A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．

7．（3分）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AE＝6，AB＝8，
∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．
故选：C．
8．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，共18分，请把正确答案直接写在答题卡相应位置，不写过程）
9．（3分）若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是　1　．
【分析】把代数式4m2+8m﹣3变形为4（m2+2m）﹣3，再把m2+2m＝1代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m2+2m＝1，
∴4m2+8m﹣3
＝4（m2+2m）﹣3
＝4×1﹣3
＝1．
故答案为：1．
10．（3分）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为　110°　．

【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠1＝50°，
又∵∠2是△ABE的外角，
∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，
故答案为：110°．
11．（3分）疫情当前，根据上级要求学生在校期间每天都要检测体温，小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3，那么这组体温的众数是　36.2℃　．
【分析】根据众数的概念求解即可．
【解答】解：这组数据中36.2出现次数最多，有2次，
所以这组数据的众数为36.2℃，
故答案为：36.2℃．
12．（3分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝　　．

【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA＝∠GCB＝45°，
∴∠ECG＝90°，
∵AC＝2BC，
∴设AC＝2a，BC＝a，
∴CE＝2a，CG＝a，
∴tan∠CEG＝＝，
故答案为：．

13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a＝　　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值，即可求得反比例函数的解析式，代入点P，即可求得a．
【解答】解：∵AB垂直于x轴，垂足为B，
∴△OAB的面积＝|k|，
即|k|＝6，
而k＞0，
∴k＝12，
∴反比例函数为y＝，
∵点P（a，7）也在此函数的图象上，
∴7a＝12，解得a＝．
故答案为．
14．（3分）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于　219　．

【分析】利用三角形中位线定理证明A2B2＝2A1B1，A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，寻找规律解决问题即可．
【解答】解：∵B1O＝B1A2，B1A1⊥OA2，
∴OA1＝A1A2，
∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，
∴B1A1∥B2A2，
∴B1A1＝A2B2，
∴A2B2＝2A1B1，
同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…，
由此规律可得A20B20＝219•A1B1，
∵A1B1＝OA1•tan30°＝×＝1，
∴A20B20＝219，
故答案为219．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分，每题要在答题卡上写出必要的解答过程）
15．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×+2+2
＝1﹣1+2+2
＝4．
16．（5分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
【分析】解不等式组，先求出满足不等式组的整数解．化简分式，把不等式组的整数解代入化简后的分式，求出其值．
【解答】解：不等式组
解①，得x＜3；
解②，得x＞1．
∴不等式组的解集为1＜x＜3．
∴不等式组的整数解为x＝2．
∵（1+）÷
＝
＝4（x﹣1）．
当x＝2时，原式＝4×（2﹣1）
＝4．
17．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．

【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，△BFC≌△DFC，△ABE≌△CBF，可得BE＝BF＝DE＝DF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
同理可得△BFC≌△DFC，
所以BF＝DF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
∴四边形BEDF是菱形．
18．（6分）我县地处黄河半包围之中，周末小亮在爸爸带领下去黄河边游玩．他打算利用自己所学知识测一下某处河水的宽度．如图，他看到河对岸有一棵树A，于是又在河边取两点B，C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100m．求此处河水的宽度．（取1.414，取1.732，结果精确到1m，假定河两岸是平行的）

【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数即可求解．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ADC中，∠β＝60°，∠ADC＝90°，
∴AD＝DC•tan60＝CD，
在Rt△ABD中，∠α＝30°，
∴AD＝BD•tan30°，
∴CD＝（100+CD）×，
解得：CD＝50，
∴AD＝50≈87（m）．
答：河的宽度为87m．
19．（8分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
20．（8分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；
（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；
（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝8人，
8÷20%＝40人，
则C档的人数有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），补全图形如下：


（2）1200×＝480（人），
答：全校B档的人数为480．

（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，

因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是：＝．
21．（10分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．

【分析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，
a＝＝2，
∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，
∴正比例函数的关系式为y＝2x；
（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴OB＝5，
当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，
∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，
∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝．
23．（10分）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．

【分析】（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，即可求解．
【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD（AAS），
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP+PC＝AB+CD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，

由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴＝＝．
24．（10分）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．

【分析】（1）列出交式即可求得；
（2）根据S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．