2021年江苏省常州市中考数学新课结课数学试卷（4月份）

这是一份2021年江苏省常州市中考数学新课结课数学试卷（4月份），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省常州市中考数学新课结课数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
1．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，6）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣6） B．（﹣2，6） C．（﹣6，2） D．（6，2）
2．（2分）一元二次方程x2+2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：
跳高成绩（m）
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
跳高人数
1
3
2
3
5
1
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．1.65，1.70 B．1.70，1.65 C．1.70，1.70 D．3，5
4．（2分）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2分）如图，已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为（　　）

A． B． C． D．
6．（2分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
B．图象的对称轴在y轴的左侧
C．y的最大值为2
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
7．（2分）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2分）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

A． B．2 C． D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）满足tanα＝的锐角α的度数是　 　．
10．（2分）已知：一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为　 　．
11．（2分）一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是　 　边形．
12．（2分）一个不透明的口袋中装有1个黄球和1白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球然后放回，再搅匀任意摸出1个球，小红第1次摸到的是黄球，那么小红第2次摸到黄球的概率是　 　．
13．（2分）某农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种甜玉米各用10块试验田进行试验，得到这两个品种甜玉米每公顷产量的两组数据（如图所示）．根据图中的信息，可知在试验田中，　 　种甜玉米的产量比较稳定．

14．（2分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y＝x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为　 　℃．
15．（2分）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB＝　 　m．

16．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝70°，∠OBC＝60°，则∠ODC＝　 　．

17．（2分）如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为　 　．

18．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算：2cos30°+sin45°﹣6tan30°．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
21．（8分）我市某校想知道学生对家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图，根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查了多少名学生？补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，A选项所对应扇形的圆心角度数为多少？
（3）该校共有500名学生，请你估计“不知道”的学生有多少名？
22．（8分）甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．
（1）若随机抽取1名，则恰好抽中甲的概率是　 　；
（2）若随机抽取2名，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出甲在其中的概率．
23．（8分）将线段AB放在正方形网格中，点A、点B均在格点上请你分别按要求在图中画点C（点C在格点上）．
（1）在图1中画Rt△ABC，使得tan∠ABC的值为；
（2）在图2中画Rt△ABC，使得tan∠ABC的值为1；
（3）在图3中画钝角△ABC，使得tan∠ACB的值为（请画出2种不同的图形）．

24．（7分）新吴区彩虹城购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，地平线到一楼的垂直距离BC＝1米．
（1）应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（精确到0.1米）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

25．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
26．（9分）如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（2，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（t，0）时，△ABC的面积是否随t值的变化而变化？

27．（10分）【问题情境】
（1）射影定理：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD⊥AB，垂足为D，那么有：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD；
请你证明射影定理中的结论③即BC2＝AB•BD．
【结论运用：请直接使用射影定理解决下列问题】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE＝2，求OF的长．

28．（12分）如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．
（1）求点C坐标及抛物线的解析式．
（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．


2021年江苏省常州市中考数学新课结课数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，恰有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
1．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，6）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣6） B．（﹣2，6） C．（﹣6，2） D．（6，2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点A（2，6）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣6），
故选：A．
2．（2分）一元二次方程x2+2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出△＝22﹣4×1×0＝4＞0，然后根据判别式△＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．（2分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：
跳高成绩（m）
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
跳高人数
1
3
2
3
5
1
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．1.65，1.70 B．1.70，1.65 C．1.70，1.70 D．3，5
【分析】根据中位数和众数的定义，第8个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．
【解答】解：在这一组数据中1.70是出现次数最多的，故众数是1.70．在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.65，所以中位数是1.65．
所以这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是1.65，1.70．
故选：A．
4．（2分）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM＝AB＝3，
根据勾股定理，得：OA＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故选：D．
5．（2分）如图，已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OA、OC，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝50°，
∴劣弧的长＝＝，
故选：D．

6．（2分）关于二次函数y＝（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
B．图象的对称轴在y轴的左侧
C．y的最大值为2
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝0时，y＝3，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝1，对称轴在y轴的右侧，故选项B错误，
当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，故选项C错误；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选：D．
7．（2分）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数．
【解答】解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE＝2，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点有1个，
故选：A．

8．（2分）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

A． B．2 C． D．2
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD＝，应用两次勾股定理分别求BE和a．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．
∴AD＝a
∴
∴DE＝2
当点F从D到B时，用s
∴BD＝
Rt△DBE中，
BE＝＝＝1
∵ABCD是菱形
∴EC＝a﹣1，DC＝a
Rt△DEC中，
a2＝22+（a﹣1）2
解得a＝

故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）满足tanα＝的锐角α的度数是　30°　．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解可得．
【解答】解：∵tanα＝，
∴∠α＝30°，
故答案为：30°．
10．（2分）已知：一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为　4　．
【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程另一根为t，
根据题意得2+t＝6，
解得t＝4．
故答案为4．
11．（2分）一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是　5　边形．
【分析】由一个多边形的外角为360°和每一个外角都是72°，可求得其边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，
故答案为：5．
12．（2分）一个不透明的口袋中装有1个黄球和1白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球然后放回，再搅匀任意摸出1个球，小红第1次摸到的是黄球，那么小红第2次摸到黄球的概率是　　．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵口袋中装有1个黄球和1白球，共2个球，
∴摸到黄球的概率是，
虽然小红第1次摸到的是黄球，但是小红第2次摸到黄球的概率仍然是等于；
故答案为：．
13．（2分）某农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种甜玉米各用10块试验田进行试验，得到这两个品种甜玉米每公顷产量的两组数据（如图所示）．根据图中的信息，可知在试验田中，　乙　种甜玉米的产量比较稳定．

【分析】据从图中数据的波动情况分析．
【解答】解：从图中看到，乙的波动比甲的波动小，故乙的产量稳定．
故填乙．
14．（2分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y＝x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为　﹣40　℃．
【分析】根据题意得x+32＝x，解方程即可求得x的值．
【解答】解：根据题意得x+32＝x，
解得x＝﹣40．
故答案是：﹣40．
15．（2分）如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB＝　10.5　m．

【分析】首先利用勾股定理计算出EF长，再证明△DCB∽△DEF，由相似三角形的性质可得＝，求出BC长，进而可得答案．
【解答】解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，
即：402+EF2＝502，
∴EF＝30，
由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
＝，
∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，
∴＝，
解得：BC＝9米，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5（m）．
故答案是：10.5．
16．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝70°，∠OBC＝60°，则∠ODC＝　50°　．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出∠ODC的度数．
【解答】解：∵∠A＝70°
∴∠C＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠BOD＝2∠A＝140°，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ODC＝360°﹣110°﹣140°﹣60°＝50°，
故答案为：50°．
17．（2分）如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为　（﹣，2）　．

【分析】通过把位似中心平移到原点，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标规律求解．
【解答】解：把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（﹣，1），把点（﹣，1）先上平移1个单位得到（﹣，2），
所以D点坐标为（﹣，2）．
故答案为（﹣，2）．
18．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为　3﹣1　．

【分析】如图取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝3，可得FG＝1，推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝6，AG＝GB，
∴AG＝GB＝3，
∵AD＝9，
∴＝＝，
∴＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B═∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝3，
∴FG＝1，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，
∵GC＝＝3，
∴FC≥GC﹣FG，
∴FC≥3﹣1，
∴CF的最小值为3﹣1．
故答案为3﹣1．

三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）
19．（6分）计算：2cos30°+sin45°﹣6tan30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
【解答】解：原式＝2×+×﹣6×
＝+﹣2
＝﹣．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣3＝0，
∴x2﹣6x＝3，
则x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝3+2，x2＝3﹣2；
（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
21．（8分）我市某校想知道学生对家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图，根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查了多少名学生？补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，A选项所对应扇形的圆心角度数为多少？
（3）该校共有500名学生，请你估计“不知道”的学生有多少名？
【分析】（1）根据B组人数以及百分比计算即可求出被调查的总人数，求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（2）用360°乘以A选项人数所占比例即可；
（3）用500乘以样本中“不知道”的人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为15÷30%＝50（人），
则C选项人数为50﹣10﹣15﹣5＝20（人），
补全条形图如图所示：

（2）扇形统计图中，A选项所对应扇形的圆心角度数为360°×＝72°；

（3）500×＝50（人），
答：该校共有500名学生，估计“不知道”的学生有50名．
22．（8分）甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．
（1）若随机抽取1名，则恰好抽中甲的概率是　　；
（2）若随机抽取2名，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出甲在其中的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是，
故答案为：；

（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，
所以甲在其中的概率为＝．
23．（8分）将线段AB放在正方形网格中，点A、点B均在格点上请你分别按要求在图中画点C（点C在格点上）．
（1）在图1中画Rt△ABC，使得tan∠ABC的值为；
（2）在图2中画Rt△ABC，使得tan∠ABC的值为1；
（3）在图3中画钝角△ABC，使得tan∠ACB的值为（请画出2种不同的图形）．

【分析】（1）作直角边分别为1，3的直角三角形即可．
（2）作等腰直角三角形即可．
（3）作BC＝8，BC边上的高为3的钝角三角形即可．
【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求作．
（2）如图2中，△ABC即为所求作．
（3）如图3中，△ABC即为所求作．

24．（7分）新吴区彩虹城购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，地平线到一楼的垂直距离BC＝1米．
（1）应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？（精确到0.1米）
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

【分析】（1）由题意可得∠BAD＝18°，BD＝CD﹣CB＝1.8（米），然后在Rt△ABD中，由三角函数的性质，即可求得AB的长；
（2）首先过C作CE⊥AD，垂足为E，可求得∠DCE的度数，然后在Rt△CDE中，由三角函数的性质即可得CE＝CD•cos18°，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵斜坡的倾斜角为18°，
∴∠BAD＝18°，
∵BD＝CD﹣CB＝1.8（米），
∴在Rt△ABD中，AB＝≈5.6（米），
答：在地面上距点B约5.6米的A处开始斜坡的施工．

（2）过C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD＝18°，
在Rt△CDE中，CE＝CD•cos18°＝2.8×0.95≈2.7（米），
∵2.5＜2.7，
∴货车能进入地下停车场．

25．（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，注意题目中要求扩大销售量，增加盈利，减少库存；
（2）根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得，x1＝10，x2＝20
∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，
∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；
（2）设每件童装降价x元，利润为y元，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
26．（9分）如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC．
（1）当点P的坐标为（2，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（t，0）时，△ABC的面积是否随t值的变化而变化？

【分析】（1）根据点P的坐标和函数的解析式可以分别求得点A、B、C的坐标，进一步求得三角形的面积；
（2）根据（1）中的方法进行求解，看最后的结果是否为一个定值即可．
【解答】解：（1）根据题意，得点A、B的横坐标和点P的横坐标相等，即为2．
∵点A在函数的双曲线上，
∴A点纵坐标是，
∵点B在函数的图象上
∴B点的纵坐标是2．
∴点C的纵坐标是2，
∵点C在函数的双曲线上
∴C点横坐标是．
∴AB＝，BC＝
∴△ABC的面积是：＝．

（2）根据（1）中的思路，可以分别求得点A（t，），B（t，），C（，）．
∴AB＝，BC＝t，
∴△ABC的面积是．
∴△ABC的面积不会随着t的变化而变化．
27．（10分）【问题情境】
（1）射影定理：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD⊥AB，垂足为D，那么有：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD；
请你证明射影定理中的结论③即BC2＝AB•BD．
【结论运用：请直接使用射影定理解决下列问题】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE＝2，求OF的长．

【分析】（1）证明Rt△CBD∽Rt△ABC，即可求解；
（2）①BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，即BO•BD＝BF•BE，即可求解；
②在Rt△BCE中，BC＝6，BE＝2，利用△BOF∽△BED，即可求解．
【解答】解：（1）证明：如图1，

∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
而∠CBD＝∠ABC，
∴Rt△CBD∽Rt△ABC，
∴CB：AB＝BD：BC，
∴BC2＝AB•BD；
（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF•BE，
∴BO•BD＝BF•BE，
即 ＝，而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
②在Rt△BCE中，BC＝6，BE＝2，
∴CE＝＝2，
∴DE＝BC﹣CE＝4；
在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，
∵△BOF∽△BED，
∴＝，即：＝，
∴OF＝．
28．（12分）如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．
（1）求点C坐标及抛物线的解析式．
（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即可求解；
（2）设点P（x，x2+2x﹣3）、点M（x，﹣x），则PH＝PM＝（﹣x﹣x2﹣2x+3），即可求解；
（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）过点P作PM∥y轴交直线EF于点M，

设点P（x，x2+2x﹣3）、点M（x，﹣x），
则PH＝PM＝（﹣x﹣x2﹣2x+3），
当x＝﹣时，PH的最大值为：；

（3）①当∠BCD＝90°时，如图2左侧图，

当点D在BC右侧时，
过点D作DM⊥y轴于点M，则CD＝1，OB＝1，OC＝3，
tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝tanα，则sinα＝，cosα＝；
xD＝CDcosα＝，同理yD＝﹣3﹣，
故点D（，﹣3﹣）；
同理当点D（D′）在BC的左侧时，
同理可得：点D′（﹣，﹣3+）；
②当∠CDB＝90°时，
当点D在BC右侧时，如右侧图，CD＝OB＝1，则点D（1，﹣3）；
当点D在BC左侧时，由点的对称性，同理可得：点D（﹣，﹣）；
综上，点D的坐标为：（，﹣3﹣）、（﹣，﹣3+）、（1，﹣3）或（﹣，﹣）．