2021年河南省南阳市中原名校中考数学第一次大联考试卷

这是一份2021年河南省南阳市中原名校中考数学第一次大联考试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省南阳市中原名校中考数学第一次大联考试卷
一、选择题（每小题3分，共30分下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列实数中，是有理数的是（　　）
A． B．cos45° C． D．
2．（3分）下列几何体所对应的主视图中，不是中心对称图形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体 C．球 D．圆柱
3．（3分）如图所示，直线l1斜截平行线l2，l3，则下列判断错误的是（　　）

A．∠1＝∠7 B．∠2＝∠6 C．∠3+∠5＝90° D．∠4+∠7＝180°
4．（3分）下列关于圆的说法，正确的是（　　）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
5．（3分）已知关于x的方程ax2﹣x＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≤0 C．a＞0 D．全体实数
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（x0，﹣y0），连接OP，将线段OP绕点O顺时针旋转90°后，得到线段OQ，则点Q的坐标是（　　）
A．（﹣y0，﹣x0） B．（﹣y0，x0） C．（y0，x0） D．（﹣x0，y0）
7．（3分）现有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，3的不透明卡片（形状与材质相同），将它们正面朝下洗均匀，随机抽取一张记下数字后放回（设数字为a），再次正面朝下洗均匀，再随机抽取一张记下数字（设数字为b），则关于x的不等式组有解的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（　　）

A．86° B．84° C．76° D．74°
9．（3分）如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．2
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0．若函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，则下列判断错误的是（　　）
A．abc＜0 B．b＞0 C．c＜0 D．b+c＜0
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示数据“9899万”：　 　．
12．（3分）如图所示，AB为⊙O的直径，过圆外一点C作⊙O的切线BC，连接AC交弧AB于点D，连接BD．若AB＝5，AD＝2，则BC＝　 　．

13．（3分）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”．如图所示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是　 　．

14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E是线段AB的中点，点F是线段AD上的动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，点A的对应点为点A'．连接A'C，则A'C长度的最小值是　 　．

15．（3分）给出定义：如果某函数的图象关于原点对称，且图象过原点，那么我们称该函数为“完美函数”．已知函数y＝是“完美函数”，且其图象过点（，），则函数值y的取值范围是　 　．（链接材料：a+b≥2，其中a，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立）
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）先化简，再求值：（+）•，其中m＝．
17．（9分）我国坚持保护环境的基本国策，努力推动建设资源节约型、环境友好型社会，大力推行垃圾分类．某市第一中学欲通过试题考核+实践考核的方式，评选2位垃圾分类模范学生，并进行全校表彰．评选过程如下：①第一轮筛选：由各班（共计60个班）自行推举5位学生参加试题考核；②第二轮筛选：学校组织试题考核，学生成绩分为A档、B档、C档、D档，A档学生可通过试题考核，参加第三轮筛选；③第三轮筛选：组织A档学生进行实践考核，由校领导进行评分，成绩排位前5的学生，可通过实践考核；④将通过实践考核的学生的试题考核与实践考核成绩进行赋权（试题考核占55%、实践考核占45%），得到最终成绩，按分数排位，取前2位评为垃圾分类模范学生．
如表1，是校宣传部统计的试题考核成绩频数分布表（不完整）．
如表2，是通过实践考核的5位学生最终成绩统计表．
表1：试题考核成绩频数分布表．
成绩档位
频数
频率
A档（100分﹣90分）
11

B档（89分﹣75分）
a
0.50
C档（74分﹣60分）
b
c
D档（59分﹣0分）

0.03
注：频率均保留小数点后两位
表2：5位学生最终成绩统计表．

甲
乙
丙
丁
戊
试题考核成绩（分）
98
96
95
93
91
实践考核成绩（分）
100
91
100
98
99
最终成绩（分）
98.90

97.25
95.25

注：最终成绩均保留小数点后两位
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　．
（2）计算乙、戊两位学生的最终成绩．
（3）已知通过实践考核的学生中，共3个女生和2个男生，通过列表或画树状图的方法求2位垃圾分类模范学生性别相同的概率．
18．（9分）如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角a＝37°，光路AB长m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点C）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．求上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

19．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交x轴于点A，直线y＝﹣x+2交x轴于点B，两直线交于点C．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（9分）某故宫文物修复专家欲根据某瓷盘残片复原出瓷盘的原状（已知瓷盘的原状为标准的圆），并补描上花纹．文物修复专家的复原方法如下：①在瓷盘残片上作出两条弦；②分别作两条弦的垂直平分线，交于点O；③点O即为瓷盘的圆心，以圆心到弧上任意一点的长为半径作圆，即可作出瓷盘的原状．如图所示，是瓷盘残片的示意图．
（1）尺规作图：请你根据文物修复专家的复原方法，作出瓷盘的原状（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）请你对文物修复专家的复原方法（“弦的垂直平分线过圆心”）进行证明（要求：写出“已知”“求证”“证明”）．

21．（10分）某化工厂欲对工业废料进行低成本加工后循环利用，因此建设了废料处理分厂A，B进行废料处理，B分厂用于处理A分厂当日处理不尽的工业废料，已知A分厂的日处理量为m吨，每日需固定成本30元，且每处理一吨废料还需人工、物料费用等共计8元；B分厂的废料处理价格为12元/吨．根据记录，某日处理工业废料35吨共花费370元．
（1）求A分厂的日废料处理量m的值．
（2）若欲使每日废料处理的平均费用不超过10元/吨，求A，B分厂日处理的工业废料总量n的取值范围．
22．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+2ax﹣4．
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】．
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2+x﹣2＞0．
解：不等式x2+x﹣2＞0的解集，
等价于不等式（x﹣1）（x+2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x+2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
∴不等式x2+x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1．

23．（11分）瑞士数学家菜昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是18世纪数学界最杰出的人物之一．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中提出“欧拉线定理”：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线．
【定理证明】
已知：如图所示，在△ABC中，点G，O，H分别是△ABC的重心、外心、垂心．
求证：G，O，H三点共线．
证明：作△ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D；作中线AM；连接AD，CD，AH，CH，OH，OM；设AM交OH于点G'．
…
（1）请你按照辅助线的语言表述，补全图，并继续完成欧拉线定理的证明．
【基础运用】
（2）在【定理证明】的基础上，判断OH与OG的数量关系，并说明理由．
【能力提升】
（3）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（4，0），C（3，），请直接写出△ABC的欧拉线的函数解析式．


2021年河南省南阳市中原名校中考数学第一次大联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列实数中，是有理数的是（　　）
A． B．cos45° C． D．
【分析】整数和分数统称为有理数．
【解答】解：是无理数，cos45°＝是无理数，是无理数，是分数，属于有理数．
故选：D．
2．（3分）下列几何体所对应的主视图中，不是中心对称图形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体 C．球 D．圆柱
【分析】根据各图形的主视图结合中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、主视图为等腰三角形，不是中心对称图形，故本选项正确；
B、主视图为正方形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、主视图为圆，是中心对称图形，故本选项错误；
D、主视图为矩形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
3．（3分）如图所示，直线l1斜截平行线l2，l3，则下列判断错误的是（　　）

A．∠1＝∠7 B．∠2＝∠6 C．∠3+∠5＝90° D．∠4+∠7＝180°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：A、∵l2∥l3，
∴∠7＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠7，故选项A不符合题意；
B、∵l2∥l3，
∴∠2＝∠6，故选项B不符合题意；
C、∵l2∥l3，
∴∠3＝∠5，故选项C符合题意；
D、∵l2∥l3，
∴∠4＝∠8，
∵∠7+∠8＝180°，
∴∠4+∠7＝180°，故选项D不符合题意．
故选：C．
4．（3分）下列关于圆的说法，正确的是（　　）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．
【解答】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、∵半圆小于优弧，
∴半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）已知关于x的方程ax2﹣x＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≤0 C．a＞0 D．全体实数
【分析】当a≠0时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得△＝（﹣1）2﹣4a×0＝1＞0；当a＝0时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可．
【解答】解：当a≠0时，是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4a×0＝1＞0，
∴a≠0；
当a＝0时，﹣x＝0是一元一次方程，有实数根，
故选：D．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（x0，﹣y0），连接OP，将线段OP绕点O顺时针旋转90°后，得到线段OQ，则点Q的坐标是（　　）
A．（﹣y0，﹣x0） B．（﹣y0，x0） C．（y0，x0） D．（﹣x0，y0）
【分析】如图，不妨设x0＞0，y0＞0，过点P作PF⊥x轴于F，过点Q作QE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质，求出点Q的坐标，可得结论．
【解答】解：如图，不妨设x0＞0，y0＞0，过点P作PF⊥x轴于F，过点Q作QE⊥x轴于E．

∵P（x0，y0），
∴OF＝x0，PF＝y0，
∵∠PFO＝∠QEO＝∠POQ＝90°，
∴∠POF+∠QOE＝90°，∠POE+∠P＝90°，
∴∠QOE＝∠P，
在△PFO和△EOQ中，
，
∴△PFO≌△EOQ（AAS），
∴OE＝PE＝y0，EQ＝OF＝x0，
∴Q（﹣y0，﹣x0），
故选：A．
7．（3分）现有四张正面分别标有数字﹣2，0，1，3的不透明卡片（形状与材质相同），将它们正面朝下洗均匀，随机抽取一张记下数字后放回（设数字为a），再次正面朝下洗均匀，再随机抽取一张记下数字（设数字为b），则关于x的不等式组有解的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与关于x的不等式组有解的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中使关于x的不等式组有解的有4种结果，
所以关于x的不等式组有解的概率为，
故选：B．
8．（3分）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（　　）

A．86° B．84° C．76° D．74°
【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
【解答】解：由题意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
9．（3分）如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．2
【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA•OB＝OA2，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．
【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB，
∴S△OAB＝OA•OB＝OA2，
∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，
∵当直线OA为y＝x时，OA最小，
解得或，
∴此时A的坐标为（，），
∴OA＝2，
∴S△OAB＝OA2＝＝2，
∴△OAB面积的最小值为2，
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0．若函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，则下列判断错误的是（　　）
A．abc＜0 B．b＞0 C．c＜0 D．b+c＜0
【分析】根据函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，可得抛物线的对称轴与x轴负半轴相交，可以判断a，b，c的符号，进而可得结论．
【解答】解：因为函数图象与x轴的两个交点均在负半轴，
所以抛物线的对称轴与x轴负半轴相交，
所以﹣＜0，c＜0，
因为a＜0，
所以b＜0，
因为c＜0，
所以abc＜0，b+c＜0，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫．用科学记数法表示数据“9899万”：　9.899×107　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107．
故答案为：9.899×107．
12．（3分）如图所示，AB为⊙O的直径，过圆外一点C作⊙O的切线BC，连接AC交弧AB于点D，连接BD．若AB＝5，AD＝2，则BC＝　　．

【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，则可判断△ABD∽△ACB，利用相似比可计算出AC＝，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BC为切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，∠ADB＝∠ABC，
∴△ABD∽△ACB，
∴＝，即＝，解得AC＝，
在Rt△ABC中，BC＝＝．
故答案为．
13．（3分）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”．如图所示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是　π﹣1　．

【分析】根据阴影部分面积＝圆的面积﹣中间正方形的面积即可求得．
【解答】解：∵“外圆”的周长为2π，“内方”的周长为4，
∴“外圆”的的半径为1，“内方”的边长为1，
∴圆的面积为π，中间正方形的面积为1，
∴图中阴影部分面积为：π﹣1．
故答案为：π﹣1．
14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E是线段AB的中点，点F是线段AD上的动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，点A的对应点为点A'．连接A'C，则A'C长度的最小值是　2　．

【分析】根据矩形的性质和折叠的性质得出EA'＝EA，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，
∵AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，
由折叠的性质得，EA'＝EA＝3，
∴A'的轨迹在以E为圆心，半径为3的圆弧上运动，连接EC交圆弧于A“，此时E、A“、C共线，A“C最短，
在Rt△EBC中，BE＝3，BC＝4，
由勾股定理得CE＝，
∴A“C＝5﹣3＝2，
即A'C长度的最小值是2，
故答案为：2．
15．（3分）给出定义：如果某函数的图象关于原点对称，且图象过原点，那么我们称该函数为“完美函数”．已知函数y＝是“完美函数”，且其图象过点（，），则函数值y的取值范围是　﹣≤y≤　．（链接材料：a+b≥2，其中a，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立）
【分析】先求出“完美函数“的解析式，再分类讨论即可得出答案．
【解答】解：∵y＝过原点，
∴代入（0，0），得，b＝0，
代入（，），得，a＝1，
∴y＝，
由题意可知，
当x≠0时，y＝，令t＝x+，
当x＞0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，
当x＜0时，﹣t＝﹣x﹣≥2，即t≤﹣2，
∵x＞0时，0＜y＝，
x＜0时，﹣，
∵函数过原点，
∴﹣≤y≤，
故答案为：﹣≤y≤．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）先化简，再求值：（+）•，其中m＝．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝，
当m＝时，
原式＝
＝
＝
＝2﹣．
17．（9分）我国坚持保护环境的基本国策，努力推动建设资源节约型、环境友好型社会，大力推行垃圾分类．某市第一中学欲通过试题考核+实践考核的方式，评选2位垃圾分类模范学生，并进行全校表彰．评选过程如下：①第一轮筛选：由各班（共计60个班）自行推举5位学生参加试题考核；②第二轮筛选：学校组织试题考核，学生成绩分为A档、B档、C档、D档，A档学生可通过试题考核，参加第三轮筛选；③第三轮筛选：组织A档学生进行实践考核，由校领导进行评分，成绩排位前5的学生，可通过实践考核；④将通过实践考核的学生的试题考核与实践考核成绩进行赋权（试题考核占55%、实践考核占45%），得到最终成绩，按分数排位，取前2位评为垃圾分类模范学生．
如表1，是校宣传部统计的试题考核成绩频数分布表（不完整）．
如表2，是通过实践考核的5位学生最终成绩统计表．
表1：试题考核成绩频数分布表．
成绩档位
频数
频率
A档（100分﹣90分）
11

B档（89分﹣75分）
a
0.50
C档（74分﹣60分）
b
c
D档（59分﹣0分）

0.03
注：频率均保留小数点后两位
表2：5位学生最终成绩统计表．

甲
乙
丙
丁
戊
试题考核成绩（分）
98
96
95
93
91
实践考核成绩（分）
100
91
100
98
99
最终成绩（分）
98.90

97.25
95.25

注：最终成绩均保留小数点后两位
（1）填空：a＝　150　；b＝　130　；c＝　0.43　．
（2）计算乙、戊两位学生的最终成绩．
（3）已知通过实践考核的学生中，共3个女生和2个男生，通过列表或画树状图的方法求2位垃圾分类模范学生性别相同的概率．
【分析】（1）用调查的总人数乘以0.5得到b的值，再计算出D档人数，然后计算b的值和c的值；
（2）由于试题考核占55%、实践考核占45%，则根据加权平均数的定义计算乙、戊两位学生的最终成绩；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出2位垃圾分类模范学生性别相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为60×5＝300，
∴a＝300×0.5＝150；
D档人数为300×0.03＝9，
∴b＝300﹣11﹣150﹣9＝130，
∴c＝≈0.43；
故答案为150；130，0.43；

（2）乙学生的最终成绩为96×55%+91×45%＝93.75，
戊学生的最终成绩为91×55%+99×45%＝94.60；

（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中2位垃圾分类模范学生性别相同的结果数为8，
所以2位垃圾分类模范学生性别相同的概率＝＝．
18．（9分）如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角a＝37°，光路AB长m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点C）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．求上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

【分析】过点B作BD⊥CM于点D，根据锐角三角函数可得BN，进而可得上海中心大厦的高度CM．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥CM于点D，此时法线与垂线BD共线，

∵BD⊥CM，CM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠BDM＝∠CMN＝∠BNM＝90°，
∴四边形BDMN是矩形，
∴BN＝DM，BD＝MN＝576m，BD∥MN，
∴∠ABD＝α＝37°，
由物理知识得：∠CBD＝∠ABD＝37°，
在Rt△ANB中，sinα＝，
∴BN＝AB•sinα≈（m），
在Rt△BDC中，tan∠CBD＝，
∴CD＝BD•tan∠CBD≈576×0.75＝432（m），
∴CM＝DM+CD＝432+200＝632（m），
答：上海中心大厦的楼高CM是632m．
19．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交x轴于点A，直线y＝﹣x+2交x轴于点B，两直线交于点C．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题目中的直线解析式，可以得到点A、B、C的坐标，然后利用勾股定理，即可得到AC、BC长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；
（2）先判断是否存在点D，然后画出相应的图形，利用分类讨论的方法求出点D的坐标即可．
【解答】（1）证明：∵直线y＝2x+4交x轴于点A，
∴当y＝0时，x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∵直线y＝﹣x+2交x轴于点B，
∴当y＝0时，x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
由，得，
∴点C的坐标为（﹣，），
∴AC＝＝，
BC＝＝，
AB＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∵AC2+BC2＝（）2+（）2＝62＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为（﹣，），（，﹣）或（，），
如右图所示，
当CD1∥AB时，
∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣，），
∴AB＝CD1＝6，
∴D1的坐标为（﹣，）；
当AC∥DB2时，
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AC的函数解析式为y＝2x+4，
设直线BD2对应的函数解析式为y＝2x+c，
∵点B（4，0）在该直线上，
∴0＝2×4+c，得c＝﹣8，
∴直线BD2对应的函数解析式为y＝2x﹣8，
∵点D2的纵坐标为，
∴＝2x﹣8，
解得x＝，
∴D2的坐标为（，﹣）；
当CD3∥AB时，
∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣，），
∴AB＝CD3＝6，
∴D3的坐标为（，）；
由上可得，点D的坐标为（﹣，），（，﹣）或（，）．

20．（9分）某故宫文物修复专家欲根据某瓷盘残片复原出瓷盘的原状（已知瓷盘的原状为标准的圆），并补描上花纹．文物修复专家的复原方法如下：①在瓷盘残片上作出两条弦；②分别作两条弦的垂直平分线，交于点O；③点O即为瓷盘的圆心，以圆心到弧上任意一点的长为半径作圆，即可作出瓷盘的原状．如图所示，是瓷盘残片的示意图．
（1）尺规作图：请你根据文物修复专家的复原方法，作出瓷盘的原状（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）请你对文物修复专家的复原方法（“弦的垂直平分线过圆心”）进行证明（要求：写出“已知”“求证”“证明”）．

【分析】（1）作弦AB，CD，作线段AB，CD的垂直平分线EF，MN交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
（2）写出已知，求证，证明即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求作．

（2）已知：如图，在⊙O中，直线l是弦AB的垂直平分线．
求证：直线l经过圆心O．

证明：∵OA＝OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴点O在直线l上．
21．（10分）某化工厂欲对工业废料进行低成本加工后循环利用，因此建设了废料处理分厂A，B进行废料处理，B分厂用于处理A分厂当日处理不尽的工业废料，已知A分厂的日处理量为m吨，每日需固定成本30元，且每处理一吨废料还需人工、物料费用等共计8元；B分厂的废料处理价格为12元/吨．根据记录，某日处理工业废料35吨共花费370元．
（1）求A分厂的日废料处理量m的值．
（2）若欲使每日废料处理的平均费用不超过10元/吨，求A，B分厂日处理的工业废料总量n的取值范围．
【分析】（1）先判断A分厂的日废料处理量m的范围，再根据题意列出关于m的方程，解之可得；
（2）分0＜n≤20和n＞20两种情况，根据每日废料处理的平均费用不超过10元/吨列出关于n的不等式，解之可得答案．
【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜370，
∴m＜35，
由题意得30+8m+12（35﹣m）＝370，
解得m＝20；
（2）①当0＜n≤20时，依题意得8n+30≤10n，
解得n≥15，
∴15≤n≤20；
②当n＞20时，依题意，得：12（n﹣20）+8×20+30≤10n，
解得n≤25，
∴20＜n≤25；
综上，A，B分厂日处理的工业废料总量n的取值范围是15≤n≤25．
22．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+2ax﹣4．
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】．
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2+x﹣2＞0．
解：不等式x2+x﹣2＞0的解集，
等价于不等式（x﹣1）（x+2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x+2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
∴不等式x2+x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1．

【分析】（1）求出△＝（2a）2﹣4×（﹣）×（﹣4）＝4a2﹣8，进而求解；
（2）分﹣2≤m≤2、2＜m≤6、m＞6三种情况，根据函数的图象和性质，分别求解即可．
【解答】解：（1）△＝（2a）2﹣4×（﹣）×（﹣4）＝4a2﹣8，
①当抛物线和x轴没有交点时，则△＜0，
即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；
②当抛物线和x轴有一个交点时，则△＝0，
即4a2﹣8＝0，解得a＝；
③当抛物线和x轴有两个交点时，则△＞0，
即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；
综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣a＜，当抛物线和x轴有一个交点时，a＝，当抛物线和x轴有两个交点时，a＞或a＜﹣；

（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，
①当﹣2≤m≤2时，
则抛物线在x＝m时取得最大值，此时y＝﹣m2+2m﹣4，抛物线在x＝﹣2时，取得最小值，y＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，
则y＝﹣m2+2m﹣4﹣（﹣10）＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；
②当2＜m≤6时，
ymax＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，ymin＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，
则﹣2﹣（﹣10）＝4m，解得m＝2（舍去）；
③当m＞6时，
ymax＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，ymin＝﹣m2+2m﹣4，
则﹣2﹣（﹣m2+2m﹣4）＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6+4，
综上，实数m的值为2或6+4．
23．（11分）瑞士数学家菜昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是18世纪数学界最杰出的人物之一．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中提出“欧拉线定理”：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线．
【定理证明】
已知：如图所示，在△ABC中，点G，O，H分别是△ABC的重心、外心、垂心．
求证：G，O，H三点共线．
证明：作△ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D；作中线AM；连接AD，CD，AH，CH，OH，OM；设AM交OH于点G'．
…
（1）请你按照辅助线的语言表述，补全图，并继续完成欧拉线定理的证明．
【基础运用】
（2）在【定理证明】的基础上，判断OH与OG的数量关系，并说明理由．
【能力提升】
（3）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（4，0），C（3，），请直接写出△ABC的欧拉线的函数解析式．

【分析】（1）作△ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D，作中线AM，连接AD，CD，AH，CH，OH，OM，设AM交OH于点G′，根据平行四边形的判定可得四边形ADCH是平行四边形，再根据平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质可得点G′是△ABC的重心，可得点G与点G′重合，从而证明G，O，H三点共线；
（2）根据相似三角形的性质可得OH＝3OG；
（3）先根据△ABC的三个顶点坐标得到重心G（，），设△ABC的外心为（2，a），则＝，解得a＝0，依此可得△ABC的欧拉线的函数解析式．
【解答】解：（1）作△ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D，作中线AM，连接AD，CD，AH，CH，OH，OM，设AM交OH于点G′，如图，
∵BD是直径，
∴∠BAD，∠BCD是直角，
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
又∵点H是△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∴DA∥CH，DC∥AH，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∴AH＝DC，
∵点M是BC的中点，点O是BD的中点，
∴OM＝DC，
∴OM＝AH，
又∵OM∥AH，
∴△OMG′∽△HAG′，
∴＝，
∴点G′是△ABC的重心，
∴点G与点G′重合，
∴G，O，H三点共线；
（2）判断：OH＝3OG．理由如下：
由（1）知：△OMG∽△HAG，
∴＝，则HG＝2OG，
∴OH＝3OG；
（3）∵△ABC的三个顶点A（0，0），B（4，0），C（3，），
∴重心G（，），
设△ABC的外心为（2，a），则
＝，
解得a＝0，
∴△ABC的欧拉线方程为y﹣0＝（﹣0）÷（﹣2）×（x﹣2），即函数解析式是y＝x﹣2．