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2021年吉林省外国语学校中考数学模拟试卷（一）
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这是一份2021年吉林省外国语学校中考数学模拟试卷（一），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省外国语学校中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）在有理数1，，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．0
2．（3分）2020年1月13日，中国汽车工业协会公布的数据显示：2019年，中国汽车累计生产约25 700 000辆．数据25 700 000用科学记数法表示为（ ）
A．257×105 B．25.7×106 C．2.57×107 D．0.257×108
3．（3分）如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式4x+1＞x+7的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．3sinα米 C．米 D．3cosα米
6．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
8．（3分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，点C的坐标为（8，6），将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）计算：﹣2＝ ．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝ ．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4cm，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛物线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连接NQ，则对角线NQ的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）某同学化简（x﹣2）2﹣（x+1）（x﹣1）出现了错误，解答过程如下：
原式＝x2+4﹣（x2﹣1）（第一步）
＝x2+4﹣x2+1（第二步）
＝5．（第三步）
（1）该同学的解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
16．（6分）从一副扑克牌中取出红桃J、Q、K和黑桃J、Q、K这两种花色的六张扑克牌，将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为另一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J，另一张是Q的概率．
17．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
18．（7分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
19．（7分）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC、CF为邻边作▱DCFE，连接CE．
（1）若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接DF，若BC＝，求DF的长．
20．（7分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）样本成绩的中位数落在 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
21．（8分）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小明出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h，他在乙地休息了 h．
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式．
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
（1）请写出完整的证明过程．
（2）结论应用：如图②，BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若EF＝6，BC＝24，则MN的长为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝16．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以PQ为斜边作Rt△PQR，其中∠RQP＝∠B，且点R与点C始终在直线PQ的同侧．设点P运动的时间为t秒．
（1）AC的长是 ．
（2）用含t的代数式表示线段PR的长．
（3）当点R落在∠ABC的平分线上时，求t的值．
（4）M为边AB的中点，点R关于直线AB的对称点为N，当直线MN与△ABC的边平行时，直接写出此时t的值．
24．（12分）已知抛物线L：y＝x2+4x+a（a≠0）．
（1）抛物线L的对称轴为直线 ．
（2）当抛物线L上到x轴的距离为5的点只有两个时，求a的取值范围．
（3）当a＞0时，直线x＝a、x＝﹣2a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴，抛物线L在直线x＝a与x＝﹣2a之间（包括直线上）的部分记为G，若G的最低点的纵坐标等于﹣，求矩形ABCD的周长．
（4）点M的坐标为（﹣4，1），点N的坐标为（1，1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
2021年吉林省外国语学校中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）在有理数1，，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．0
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜＜1，
∴在1，，﹣1，0这四个数中，最小的数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）2020年1月13日，中国汽车工业协会公布的数据显示：2019年，中国汽车累计生产约25 700 000辆．数据25 700 000用科学记数法表示为（ ）
A．257×105 B．25.7×106 C．2.57×107 D．0.257×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：25700000＝2.57×107．
故选：C．
3．（3分）如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边1个小正方形．
故选：B．
4．（3分）不等式4x+1＞x+7的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】移项，合并同类项，系数化成1，求得不等式的解集，在数轴上表示即可．
【解答】解：4x+1＞x+7，
4x﹣x＞7﹣1，
3x＞6，
x＞2；
在数轴上表示为：
故选：A．
5．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．3sinα米 C．米 D．3cosα米
【分析】根据直角三角形的解法解答即可．
【解答】解：栏杆A端升高的高度＝AO•sin∠AOA′＝3sinα（米），
故选：B．
6．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
【分析】作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG＝×5×2＝5．
故选：B．
8．（3分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，点C的坐标为（8，6），将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
【分析】过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝DF，易证Rt△MEM∽Rt△BMF；而EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，得到EM＝8﹣，MF＝6﹣，即可得的比值；故可得出EM：MB＝ED：MF＝4：3，而ED＝6，从而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可得到F点的坐标．
【解答】解：∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝MF，
∴∠DME+∠FMB＝90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，
∴EM＝8﹣，MF＝6﹣，
∴＝＝＝；
∴ED：MB＝EM：MF＝4：3，而ED＝6，
∴MB＝，
在Rt△MBF中，MF2＝MB2+BF2，即（6﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）计算：﹣2＝ 1 ．
【分析】原式第一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝1．
故答案为：1．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≤1 ．
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 20 ．
【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB＝2，∠B＝60°．
∴AE＝3，BE＝，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF＝BC＝AD＝7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6＝20，
故答案为：20
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4cm，则图中阴影部分的面积为 （π+2）cm ．
【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可．
【解答】解：连接OD、AD，
在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是Rt△BAC，
∵BC＝4，
∴AC＝AB＝4，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，BO＝DO＝2，
∵OD＝OB，∠B＝45°，
∴∠B＝∠BDO＝45°，
∴∠DOA＝∠BOD＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S△BOD+S扇形DOA＝+＝π+2．
故答案为（π+2）cm．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛物线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连接NQ，则对角线NQ的取值范围为 0＜NQ≤4 ．
【分析】根据二次函数的性质和矩形的性质，可以求得对角线NQ的取值范围．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴MP的最大值是4，
∵以MP为对角线作矩形MNPQ，
∴NQ＝MP，
∵点M是x轴上方抛数线上任意一点，MP⊥x轴于点P，
∴0＜MP≤4，
∴0＜NQ≤4，
故答案为：0＜NQ≤4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）某同学化简（x﹣2）2﹣（x+1）（x﹣1）出现了错误，解答过程如下：
原式＝x2+4﹣（x2﹣1）（第一步）
＝x2+4﹣x2+1（第二步）
＝5．（第三步）
（1）该同学的解答过程从第 一 步开始出错，错误原因是 完全平方公式用错 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）观察解题步骤，确定出出错的位置并分析原因即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【解答】解：（1）该同学的解答过程从第一步开始出错，错误原因是完全平方公式用错；
故答案为：一；完全平方公式用错；
（2）原式＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣1）
＝x2﹣4x+4﹣x2+1
＝﹣4x+5．
16．（6分）从一副扑克牌中取出红桃J、Q、K和黑桃J、Q、K这两种花色的六张扑克牌，将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为另一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J，另一张是Q的概率．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出一张是J，另一张是Q的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中其中一张是J，另一张是Q的结果数为2，
所以其中一张是J，另一张是Q的概率＝．
17．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2，，的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△ABC即为所求．
（3）△ABC即为所求．
18．（7分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
【分析】设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，根据数量＝总价÷单价结合用2700元购买的小号垃圾桶比用3600元购买的大号垃圾桶多40个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，
依题意，得：﹣＝40，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意．
答：每个小号垃圾桶的价格是45元．
19．（7分）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC、CF为邻边作▱DCFE，连接CE．
（1）若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接DF，若BC＝，求DF的长．
【分析】（1）证出GB＝GC＝GD＝CF，由菱形的性质的CD＝CF＝DE，DE∥CG，则DE＝GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）证出△CDG是等边三角形，得∠GCD＝60°，证明△BGC≌△DCF，即可得DF．
【解答】解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB＝GC＝GD，
∵CF＝GC，
∴GB＝GC＝GD＝CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，
∴DE＝GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD＝GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）如图所示：
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝BG，GCD＝∠DGC＝60°，
∴∠DCF＝∠BGC＝120°，
∴△BGC≌△DCF（SAS），
∴DF＝BC＝．
20．（7分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ 8 ，b＝ 20 ；
（2）样本成绩的中位数落在 2.0≤x＜2.4 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
【分析】（1）由频数分布直方图可得a＝8，由频数之和为50求出b的值；
（2）根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；
（3）求出b的值，就可以补全频数分布直方图；
（4）样本估计总体，样本中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的占，因此估计总体1200人的是立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）1200×＝240（人），
答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
21．（8分）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小明出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为 15 km/h，他在乙地休息了 0.1 h．
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式．
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．
【分析】（1）分别计算出小明骑车上坡的速度，小明平路上的速度，小明下坡的速度，小明平路上所用的时间，小明下坡所用的时间为，即可解答；
（2）根据上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，线段EF所对应的函数关系式为y＝4.5+20（x﹣0.9），即可解答；
（3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，求出a的值，即可解答．
【解答】解：（1）小明骑车上坡的速度为：（6.5﹣4.5）÷0.2＝10（km/h），
小明平路上的速度为：10+5＝15（km/h），
小明下坡的速度为：15+5＝20（km/h），
小明平路上所用的时间为：2（4.5÷15）＝0.6h，
小明下坡所用的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1h
所以小明在乙地休息了：1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）．
故答案为：15，0.1；
（2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，
所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，
即y＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）．
线段EF所对应的函数关系式为y＝4.5+20（x﹣0.9）．
即y＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）．
（3）由题意可知：小明第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，
设小明出发a小时第一次经过丙地，
则小明出发后（a+0.85）小时第二次经过丙地，
6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5
解得：a＝．
＝1（千米）．
答：丙地与甲地之间的路程为1千米．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
（1）请写出完整的证明过程．
（2）结论应用：如图②，BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若EF＝6，BC＝24，则MN的长为 3 ．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，得出DF∥BC，DE∥AC，CD是中线，故AF＝FC，BE＝EC，则DA＝DC，DB＝DC，即可求解；
（2）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，再根据等腰三角形三线合一的解答；
（3）求出EM、EN，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
则DF∥BC，DE∥AC，
∵CD是中线，
∴AF＝FC，BE＝EC，
∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DA＝DC，DB＝DC，
∴CD＝DA＝DB＝AB；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图②，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）解：∵EF＝6，BC＝24，
∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，
由勾股定理得，MN＝＝＝3．
故答案为：3．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝16．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以PQ为斜边作Rt△PQR，其中∠RQP＝∠B，且点R与点C始终在直线PQ的同侧．设点P运动的时间为t秒．
（1）AC的长是 12 ．
（2）用含t的代数式表示线段PR的长．
（3）当点R落在∠ABC的平分线上时，求t的值．
（4）M为边AB的中点，点R关于直线AB的对称点为N，当直线MN与△ABC的边平行时，直接写出此时t的值．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）分两种情形：如图1中，过点C作CH⊥AB于H．当0＜t＜时，如图2中，当＜t＜4时，分别求解即可．
（3）如图3中，取AB的中点T，连接CT，过点R作RW⊥AB于W，RK⊥BC于K，连接BR，过点P作PJ⊥KR交KR的延长线于J，延长QR交AB于G．求出RW，RK，构建方程，可得结论．
（4）分两种情形：如图4﹣1中，当直线QR经过点M时，MN∥AC，满足条件，此如图2中，当点P与M重合时，MN∥BC，满足条件．
【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝12，
故答案为：12．
（2）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
∵•AB•CH＝•AC•BC，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
当0＜t＜时，
∵QP⊥AB，
∴∠APQ＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACB∽△APQ，
设AP＝5t，
∴，
∴，
∴PQ＝，
∵∠RQP＝∠B，∠PRQ＝∠ACB＝90°，
∴△PRQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴PR＝4t．
如图2中，当＜t＜4时，PQ＝（20﹣5t）×，PR＝PQ＝9﹣t．
（3）如图3中，取AB的中点T，连接CT，过点R作RW⊥AB于W，RK⊥BC于K，连接BR，过点P作PJ⊥KR交KR的延长线于J，延长QR交AB于G．
∵∠ACB＝90°，AT＝TB，
∴CT＝AT＝BT＝10，
∴∠TCB＝∠TBC，
∵AH＝，
∴HT＝10﹣＝，
∵∠PQR+∠QPR＝90°，∠QPR+∠BPR＝90°，
∴∠BPR＝∠PQR，
∵∠PQR＝∠ABC，
∴∠BPR＝∠ABC，
∵PJ∥BC，
∴∠JPB＝∠ABC，
∴∠JPR＝2∠ABC，
∵∠CTH＝∠TCB+∠TBC＝2∠ABC，
∴∠CTH＝∠JPR，
∵∠CHT＝∠J＝90°，
∴△RJP∽△CHT，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴RJ＝t，
∵JK＝（20﹣5t）＝12﹣3t，
∴RK＝JK﹣JR＝12﹣3t﹣t＝12﹣t，
∵RW⊥AB，
∴RW＝×4t＝t，
∵点R在∠ABC的角平分线上，RW⊥AB，RK⊥BC，
∴RK＝RW，
∴12﹣t＝t，
解得t＝．
（4）如图4﹣1中，当直线QR经过点M时，MN∥AC，满足条件，此时AP+PM＝10，
可得5t+×4t＝10，
解得t＝．
如图2中，当点P与M重合时，MN∥BC，满足条件，此时AP＝5t＝10，
解得，t＝2，
综上所述，满足条件的t的值为或2．
24．（12分）已知抛物线L：y＝x2+4x+a（a≠0）．
（1）抛物线L的对称轴为直线 x＝﹣2 ．
（2）当抛物线L上到x轴的距离为5的点只有两个时，求a的取值范围．
（3）当a＞0时，直线x＝a、x＝﹣2a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴，抛物线L在直线x＝a与x＝﹣2a之间（包括直线上）的部分记为G，若G的最低点的纵坐标等于﹣，求矩形ABCD的周长．
（4）点M的坐标为（﹣4，1），点N的坐标为（1，1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式可得．
（2）根据公式求最小值，再根据抛物线L上到x轴的距离为5的点只有两个时，可以求出最小值的范围，即可得出a的范围．
（3）根据直线x＝a、x＝﹣2a与抛物线L分别交于点A、C代入可求A、C两点坐标，直线AB和BC可以用a来表示，由﹣2a的取值范围可求出求矩形ABCD的周长．
（4）当L的最低点纵坐标为1时，可求出a的值符合题意．f（0）＜1且f（1）≥1时，可解的a的范围．
【解答】解：（1）抛物线L：y＝x2+4x+a（a≠0）．
对称轴为：直线x＝﹣＝﹣＝﹣2．
故此答案为：x＝﹣2，
（2）抛物线L的顶点坐标为（﹣2，a﹣4），
由已知，得﹣5＜a﹣4＜5，
∴﹣1＜a＜9且（a≠0）．
（3）当x＝a时，y＝a2+4a+a＝a2+5a，
∴C（a，a2+5a），
当x＝﹣2a时，y＝（﹣2a）2+4×（﹣2a）+a＝4a2﹣7a，
∴A（﹣2a，4a2﹣7a），
∵a＞0，且AB⊥y轴，
∴AB＝a﹣（﹣2a）＝3a，BC＝|3a2﹣12a|，
当﹣2a≤﹣2，即a≥1时，a﹣4＝﹣，
∴a＝，
∴AB＝，BC＝11，
∴四边形ABCD的周长为31，
当﹣2＜﹣2a＜0，即0＜a＜1时，4a2﹣7a＝﹣，
∴a＝或a＝，
∴a＝，
∴BC＝a2+5a+，
∴四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2a2+16a+5＝13，
综上所述：四边形ABCD的周长为31或13．
（4）当L的最低点纵坐标为1时，a﹣4＝1，
解得a＝5．符合题意，
∴当f（0）＜1且f（1）≥1时，
解得a≥4且a＜1，
综上所述：a＝5或﹣4≤a＜1且（a≠0）．
2021年吉林省外国语学校中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）在有理数1，，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．0
2．（3分）2020年1月13日，中国汽车工业协会公布的数据显示：2019年，中国汽车累计生产约25 700 000辆．数据25 700 000用科学记数法表示为（ ）
A．257×105 B．25.7×106 C．2.57×107 D．0.257×108
3．（3分）如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式4x+1＞x+7的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．3sinα米 C．米 D．3cosα米
6．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
8．（3分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，点C的坐标为（8，6），将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）计算：﹣2＝ ．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝ ．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4cm，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛物线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连接NQ，则对角线NQ的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）某同学化简（x﹣2）2﹣（x+1）（x﹣1）出现了错误，解答过程如下：
原式＝x2+4﹣（x2﹣1）（第一步）
＝x2+4﹣x2+1（第二步）
＝5．（第三步）
（1）该同学的解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
16．（6分）从一副扑克牌中取出红桃J、Q、K和黑桃J、Q、K这两种花色的六张扑克牌，将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为另一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J，另一张是Q的概率．
17．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
18．（7分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
19．（7分）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC、CF为邻边作▱DCFE，连接CE．
（1）若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接DF，若BC＝，求DF的长．
20．（7分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）样本成绩的中位数落在 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
21．（8分）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小明出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h，他在乙地休息了 h．
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式．
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
（1）请写出完整的证明过程．
（2）结论应用：如图②，BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若EF＝6，BC＝24，则MN的长为 ．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝16．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以PQ为斜边作Rt△PQR，其中∠RQP＝∠B，且点R与点C始终在直线PQ的同侧．设点P运动的时间为t秒．
（1）AC的长是 ．
（2）用含t的代数式表示线段PR的长．
（3）当点R落在∠ABC的平分线上时，求t的值．
（4）M为边AB的中点，点R关于直线AB的对称点为N，当直线MN与△ABC的边平行时，直接写出此时t的值．
24．（12分）已知抛物线L：y＝x2+4x+a（a≠0）．
（1）抛物线L的对称轴为直线 ．
（2）当抛物线L上到x轴的距离为5的点只有两个时，求a的取值范围．
（3）当a＞0时，直线x＝a、x＝﹣2a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴，抛物线L在直线x＝a与x＝﹣2a之间（包括直线上）的部分记为G，若G的最低点的纵坐标等于﹣，求矩形ABCD的周长．
（4）点M的坐标为（﹣4，1），点N的坐标为（1，1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
2021年吉林省外国语学校中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）在有理数1，，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．0
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜＜1，
∴在1，，﹣1，0这四个数中，最小的数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）2020年1月13日，中国汽车工业协会公布的数据显示：2019年，中国汽车累计生产约25 700 000辆．数据25 700 000用科学记数法表示为（ ）
A．257×105 B．25.7×106 C．2.57×107 D．0.257×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：25700000＝2.57×107．
故选：C．
3．（3分）如图中的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边1个小正方形．
故选：B．
4．（3分）不等式4x+1＞x+7的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】移项，合并同类项，系数化成1，求得不等式的解集，在数轴上表示即可．
【解答】解：4x+1＞x+7，
4x﹣x＞7﹣1，
3x＞6，
x＞2；
在数轴上表示为：
故选：A．
5．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．3sinα米 C．米 D．3cosα米
【分析】根据直角三角形的解法解答即可．
【解答】解：栏杆A端升高的高度＝AO•sin∠AOA′＝3sinα（米），
故选：B．
6．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（ ）
A．4 B．5 C．9 D．10
【分析】作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作GM⊥AB于M，如图，
由作法得AG平分∠BAC，
而GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM＝GH＝2，
∴S△ABG＝×5×2＝5．
故选：B．
8．（3分）如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，点C的坐标为（8，6），将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
【分析】过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝DF，易证Rt△MEM∽Rt△BMF；而EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，得到EM＝8﹣，MF＝6﹣，即可得的比值；故可得出EM：MB＝ED：MF＝4：3，而ED＝6，从而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可得到F点的坐标．
【解答】解：∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝MF，
∴∠DME+∠FMB＝90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，
∴EM＝8﹣，MF＝6﹣，
∴＝＝＝；
∴ED：MB＝EM：MF＝4：3，而ED＝6，
∴MB＝，
在Rt△MBF中，MF2＝MB2+BF2，即（6﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）计算：﹣2＝ 1 ．
【分析】原式第一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3﹣2
＝1．
故答案为：1．
10．（3分）分解因式：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≤1 ．
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 20 ．
【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB＝2，∠B＝60°．
∴AE＝3，BE＝，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF＝BC＝AD＝7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6＝20，
故答案为：20
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4cm，则图中阴影部分的面积为 （π+2）cm ．
【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可．
【解答】解：连接OD、AD，
在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是Rt△BAC，
∵BC＝4，
∴AC＝AB＝4，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，BO＝DO＝2，
∵OD＝OB，∠B＝45°，
∴∠B＝∠BDO＝45°，
∴∠DOA＝∠BOD＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S△BOD+S扇形DOA＝+＝π+2．
故答案为（π+2）cm．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于点A，点M是x轴上方抛物线上任意一点，过点M作MP⊥x轴于点P，以MP为对角线作矩形MNPQ，连接NQ，则对角线NQ的取值范围为 0＜NQ≤4 ．
【分析】根据二次函数的性质和矩形的性质，可以求得对角线NQ的取值范围．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴MP的最大值是4，
∵以MP为对角线作矩形MNPQ，
∴NQ＝MP，
∵点M是x轴上方抛数线上任意一点，MP⊥x轴于点P，
∴0＜MP≤4，
∴0＜NQ≤4，
故答案为：0＜NQ≤4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）某同学化简（x﹣2）2﹣（x+1）（x﹣1）出现了错误，解答过程如下：
原式＝x2+4﹣（x2﹣1）（第一步）
＝x2+4﹣x2+1（第二步）
＝5．（第三步）
（1）该同学的解答过程从第 一 步开始出错，错误原因是 完全平方公式用错 ；
（2）写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）观察解题步骤，确定出出错的位置并分析原因即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【解答】解：（1）该同学的解答过程从第一步开始出错，错误原因是完全平方公式用错；
故答案为：一；完全平方公式用错；
（2）原式＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣1）
＝x2﹣4x+4﹣x2+1
＝﹣4x+5．
16．（6分）从一副扑克牌中取出红桃J、Q、K和黑桃J、Q、K这两种花色的六张扑克牌，将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为另一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J，另一张是Q的概率．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出一张是J，另一张是Q的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中其中一张是J，另一张是Q的结果数为2，
所以其中一张是J，另一张是Q的概率＝．
17．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2，，的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△ABC即为所求．
（3）△ABC即为所求．
18．（7分）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类垃圾桶，学校先用2700元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3600元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少40个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？
【分析】设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，根据数量＝总价÷单价结合用2700元购买的小号垃圾桶比用3600元购买的大号垃圾桶多40个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是4x元，
依题意，得：﹣＝40，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意．
答：每个小号垃圾桶的价格是45元．
19．（7分）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC、CF为邻边作▱DCFE，连接CE．
（1）若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接DF，若BC＝，求DF的长．
【分析】（1）证出GB＝GC＝GD＝CF，由菱形的性质的CD＝CF＝DE，DE∥CG，则DE＝GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）证出△CDG是等边三角形，得∠GCD＝60°，证明△BGC≌△DCF，即可得DF．
【解答】解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB＝GC＝GD，
∵CF＝GC，
∴GB＝GC＝GD＝CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，
∴DE＝GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD＝GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）如图所示：
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝BG，GCD＝∠DGC＝60°，
∴∠DCF＝∠BGC＝120°，
∴△BGC≌△DCF（SAS），
∴DF＝BC＝．
20．（7分）2020年，新型冠状病毒肆虐全球，疫情期间学生在家进行网课学习和锻炼，学习和身体健康状况都有一定的影响．为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
分组
频数
1.2≤x＜1.6
a
1.6≤x＜2.0
12
2.0≤x＜2.4
b
2.4≤x＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a＝ 8 ，b＝ 20 ；
（2）样本成绩的中位数落在 2.0≤x＜2.4 范围内；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）该校共有1200名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有多少人？
【分析】（1）由频数分布直方图可得a＝8，由频数之和为50求出b的值；
（2）根据中位数的意义，找出第25、26位的两个数落在哪个范围即可；
（3）求出b的值，就可以补全频数分布直方图；
（4）样本估计总体，样本中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的占，因此估计总体1200人的是立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的人数．
【解答】解：（1）由统计图得，a＝8，b＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
故答案为：8，20；
（2）由中位数的意义可得，50个数据从小到大排列处在中间位置的两个数在2.0≤x＜2.4组内，
故答案为：2.0≤x＜2.4；
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）1200×＝240（人），
答：该校1200名学生中立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的有240人．
21．（8分）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小明出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为 15 km/h，他在乙地休息了 0.1 h．
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式．
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．
【分析】（1）分别计算出小明骑车上坡的速度，小明平路上的速度，小明下坡的速度，小明平路上所用的时间，小明下坡所用的时间为，即可解答；
（2）根据上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，线段EF所对应的函数关系式为y＝4.5+20（x﹣0.9），即可解答；
（3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，求出a的值，即可解答．
【解答】解：（1）小明骑车上坡的速度为：（6.5﹣4.5）÷0.2＝10（km/h），
小明平路上的速度为：10+5＝15（km/h），
小明下坡的速度为：15+5＝20（km/h），
小明平路上所用的时间为：2（4.5÷15）＝0.6h，
小明下坡所用的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1h
所以小明在乙地休息了：1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）．
故答案为：15，0.1；
（2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，
所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，
即y＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）．
线段EF所对应的函数关系式为y＝4.5+20（x﹣0.9）．
即y＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）．
（3）由题意可知：小明第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，
设小明出发a小时第一次经过丙地，
则小明出发后（a+0.85）小时第二次经过丙地，
6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5
解得：a＝．
＝1（千米）．
答：丙地与甲地之间的路程为1千米．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
（1）请写出完整的证明过程．
（2）结论应用：如图②，BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若EF＝6，BC＝24，则MN的长为 3 ．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，得出DF∥BC，DE∥AC，CD是中线，故AF＝FC，BE＝EC，则DA＝DC，DB＝DC，即可求解；
（2）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，再根据等腰三角形三线合一的解答；
（3）求出EM、EN，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：过点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
则DF∥BC，DE∥AC，
∵CD是中线，
∴AF＝FC，BE＝EC，
∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DA＝DC，DB＝DC，
∴CD＝DA＝DB＝AB；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图②，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM＝FM＝BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）解：∵EF＝6，BC＝24，
∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，
由勾股定理得，MN＝＝＝3．
故答案为：3．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝16．动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PQ⊥AB交AC或BC于点Q（点Q与点A、B、C不重合），以PQ为斜边作Rt△PQR，其中∠RQP＝∠B，且点R与点C始终在直线PQ的同侧．设点P运动的时间为t秒．
（1）AC的长是 12 ．
（2）用含t的代数式表示线段PR的长．
（3）当点R落在∠ABC的平分线上时，求t的值．
（4）M为边AB的中点，点R关于直线AB的对称点为N，当直线MN与△ABC的边平行时，直接写出此时t的值．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）分两种情形：如图1中，过点C作CH⊥AB于H．当0＜t＜时，如图2中，当＜t＜4时，分别求解即可．
（3）如图3中，取AB的中点T，连接CT，过点R作RW⊥AB于W，RK⊥BC于K，连接BR，过点P作PJ⊥KR交KR的延长线于J，延长QR交AB于G．求出RW，RK，构建方程，可得结论．
（4）分两种情形：如图4﹣1中，当直线QR经过点M时，MN∥AC，满足条件，此如图2中，当点P与M重合时，MN∥BC，满足条件．
【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝12，
故答案为：12．
（2）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．
∵•AB•CH＝•AC•BC，
∴CH＝，
∴AH＝＝＝，
当0＜t＜时，
∵QP⊥AB，
∴∠APQ＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACB∽△APQ，
设AP＝5t，
∴，
∴，
∴PQ＝，
∵∠RQP＝∠B，∠PRQ＝∠ACB＝90°，
∴△PRQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴PR＝4t．
如图2中，当＜t＜4时，PQ＝（20﹣5t）×，PR＝PQ＝9﹣t．
（3）如图3中，取AB的中点T，连接CT，过点R作RW⊥AB于W，RK⊥BC于K，连接BR，过点P作PJ⊥KR交KR的延长线于J，延长QR交AB于G．
∵∠ACB＝90°，AT＝TB，
∴CT＝AT＝BT＝10，
∴∠TCB＝∠TBC，
∵AH＝，
∴HT＝10﹣＝，
∵∠PQR+∠QPR＝90°，∠QPR+∠BPR＝90°，
∴∠BPR＝∠PQR，
∵∠PQR＝∠ABC，
∴∠BPR＝∠ABC，
∵PJ∥BC，
∴∠JPB＝∠ABC，
∴∠JPR＝2∠ABC，
∵∠CTH＝∠TCB+∠TBC＝2∠ABC，
∴∠CTH＝∠JPR，
∵∠CHT＝∠J＝90°，
∴△RJP∽△CHT，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴RJ＝t，
∵JK＝（20﹣5t）＝12﹣3t，
∴RK＝JK﹣JR＝12﹣3t﹣t＝12﹣t，
∵RW⊥AB，
∴RW＝×4t＝t，
∵点R在∠ABC的角平分线上，RW⊥AB，RK⊥BC，
∴RK＝RW，
∴12﹣t＝t，
解得t＝．
（4）如图4﹣1中，当直线QR经过点M时，MN∥AC，满足条件，此时AP+PM＝10，
可得5t+×4t＝10，
解得t＝．
如图2中，当点P与M重合时，MN∥BC，满足条件，此时AP＝5t＝10，
解得，t＝2，
综上所述，满足条件的t的值为或2．
24．（12分）已知抛物线L：y＝x2+4x+a（a≠0）．
（1）抛物线L的对称轴为直线 x＝﹣2 ．
（2）当抛物线L上到x轴的距离为5的点只有两个时，求a的取值范围．
（3）当a＞0时，直线x＝a、x＝﹣2a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴，抛物线L在直线x＝a与x＝﹣2a之间（包括直线上）的部分记为G，若G的最低点的纵坐标等于﹣，求矩形ABCD的周长．
（4）点M的坐标为（﹣4，1），点N的坐标为（1，1），当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式可得．
（2）根据公式求最小值，再根据抛物线L上到x轴的距离为5的点只有两个时，可以求出最小值的范围，即可得出a的范围．
（3）根据直线x＝a、x＝﹣2a与抛物线L分别交于点A、C代入可求A、C两点坐标，直线AB和BC可以用a来表示，由﹣2a的取值范围可求出求矩形ABCD的周长．
（4）当L的最低点纵坐标为1时，可求出a的值符合题意．f（0）＜1且f（1）≥1时，可解的a的范围．
【解答】解：（1）抛物线L：y＝x2+4x+a（a≠0）．
对称轴为：直线x＝﹣＝﹣＝﹣2．
故此答案为：x＝﹣2，
（2）抛物线L的顶点坐标为（﹣2，a﹣4），
由已知，得﹣5＜a﹣4＜5，
∴﹣1＜a＜9且（a≠0）．
（3）当x＝a时，y＝a2+4a+a＝a2+5a，
∴C（a，a2+5a），
当x＝﹣2a时，y＝（﹣2a）2+4×（﹣2a）+a＝4a2﹣7a，
∴A（﹣2a，4a2﹣7a），
∵a＞0，且AB⊥y轴，
∴AB＝a﹣（﹣2a）＝3a，BC＝|3a2﹣12a|，
当﹣2a≤﹣2，即a≥1时，a﹣4＝﹣，
∴a＝，
∴AB＝，BC＝11，
∴四边形ABCD的周长为31，
当﹣2＜﹣2a＜0，即0＜a＜1时，4a2﹣7a＝﹣，
∴a＝或a＝，
∴a＝，
∴BC＝a2+5a+，
∴四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2a2+16a+5＝13，
综上所述：四边形ABCD的周长为31或13．
（4）当L的最低点纵坐标为1时，a﹣4＝1，
解得a＝5．符合题意，
∴当f（0）＜1且f（1）≥1时，
解得a≥4且a＜1，
综上所述：a＝5或﹣4≤a＜1且（a≠0）．
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