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2021年辽宁省抚顺市抚顺县中考数学质检试卷（三）
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这是一份2021年辽宁省抚顺市抚顺县中考数学质检试卷（三），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解笞题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省抚顺市抚顺县中考数学质检试卷（三）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一是符合要求的。
1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣ D．＝4
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
4．（3分）下列现象是物体的投影的是（ ）
A．小明看到镜子里的自己
B．灯光下猫咪映在墙上的影子
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
5．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A＝∠B
C．∠A+∠B＞90° D．∠A+∠B的值无法确定
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，某高速公路建设中需要测最某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CH为900m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为（ ）
A．300m B．300m
C．（900+300）m D．（900﹣300）m
10．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）如果反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限内，则k ．
12．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．
13．（3分）若点（x1，y1），（x2，y2）都是反比例函数y＝图象上的点，并且x1＞x2＞0，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
14．（3分）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是 ．
16．（3分）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是 ．（△ABC除外）
17．（3分）某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，则BD的长为 ．（结果保留根号）
18．（3分）如图，分别过x轴上点A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0）作x轴的垂线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点分别为B1，B2，…Bn，若△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn，则Sn＝ ．（用含a的式子表示）
三、解笞题（第19题12分，第20题12分：满分24分）
19．（12分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+sin45°，y＝sin60°﹣tan45°．
20．（12分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
四、解答题（第21题10分：第22题12分，共22分）
21．（10分）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标；
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
22．（12分）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是 ；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
五、解答题（共12分）
23．（12分）在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i＝1：是指坡面的高度BF与水平宽度AF的比，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4m．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据：sin70°≈0.94，coa70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）
六．解答题（共12分）
24．（12分）如图1，已知双曲线y1＝（k1＞0）与直线y2＝k2x交于A、B两点，点A的坐标为（3，1），回答下列问题：
（1）点B的坐标为 ；当x满足 时，y1≤y2；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y1＝（k1＞0）于P、Q两点，点P在第一象限，
①若点P的横坐标为1，求△AOP的面积；
②四边形APBQ一定是 ；
③四边形APBQ可能是正方形吗？若可能，请直接写出你的结论；若不可能，请说明理由．
七．解答题（共12分）
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2BC．点B是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．
（1）tan∠CAB＝ ；
（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，
①求证：EG＝FG；
②求证：CG＝BE；
（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H．
①EG＝FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；
②当CF＝1，BF＝2时，请直接写出GH的长．
八．解答题（共14分）
26．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F．
（1）抛物线的解析式为： ；直线BC的解析式为： ；
（2）若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设△PBC的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年辽宁省抚顺市抚顺县中考数学质检试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一是符合要求的。
1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣ D．＝4
【分析】根据反比例函数的解析式：y＝，即可得到结果．
【解答】解：A是二次函数；
B是一次函数；
C是反比例函数；
D化简后为：y＝4x（x≠0）；
故选：C．
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：2cos30°＝2×．
故选：B．
3．（3分）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可．
【解答】解：观察图像可知，这个变换是相似变换，
故选：D．
4．（3分）下列现象是物体的投影的是（ ）
A．小明看到镜子里的自己
B．灯光下猫咪映在墙上的影子
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
【分析】利用投影的定义确定答案即可．
【解答】解：A、小明看到镜子里的自己是镜面对称，不是投影，不符合题意；
B、灯光下猫咪映在墙上的影子是投影，符合题意；
C、自行车行驶过后车轮留下的痕迹不是投影，不符合题意；
D、掉在地上的树叶不是投影，不符合题意，
故选：B．
5．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的面积得到y与x之间的函数关系式，根据x的范围以及函数类型即可作出判断．
【解答】解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y＝（x＞0）．
是反比例函数，且图象只在第一象限．
故选：C．
6．（3分）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，中间有一个长方形．
【解答】解：其俯视图为．
故选：D．
7．（3分）已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A＝∠B
C．∠A+∠B＞90° D．∠A+∠B的值无法确定
【分析】因为AB是直径，则∠C是直角，所以∠A+∠B＝90°，用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，只改变图形的大小，不改变图形的形状，所以在镜中看的角大小没有改变，所以∠A与放大镜中的∠B的关系是和仍然为90°．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠C是直角，
∴∠A+∠B＝90°，
用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，
所以在镜中看的角大小没有改变，
∴∠A+∠B＝90°．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sinA＝．
故选：B．
9．（3分）如图，某高速公路建设中需要测最某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CH为900m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为（ ）
A．300m B．300m
C．（900+300）m D．（900﹣300）m
【分析】根据题意和锐角三角函数，可以求得HA和HB的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
∠CHA＝90°，∠HCA＝30°，∠HCB＝45°，
∵CH＝900m，
∴HA＝CH•tan30°＝900×＝300（m），HB＝CH•tan45°＝900×1＝900（m），
∴AB＝HB﹣HA＝（900﹣300）（m），
故选：D．
10．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，
∴GC∥AB，
∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），
∴，
设BC＝x，则，
同理，得，
∴，
∴x＝3，
∴，
∴AB＝6．
故选：B．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）如果反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限内，则k ＜0 ．
【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限，k＜0，即可得到结果．
【解答】解：因为反比例函数的图象位于第二、四象限，
则k＜0．
故答案为：k＜0．
12．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AG＝2，GD＝1，
∴AD＝3，
∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
故答案为：．
13．（3分）若点（x1，y1），（x2，y2）都是反比例函数y＝图象上的点，并且x1＞x2＞0，则y1 ＜ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限及其增减性，再根据x1＜x2＜0判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴点（x1，y1）、（x2，y2）位于第一象限，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
14．（3分）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 3 号窗口．
【分析】根据中心投影的定义画出点光源即可．
【解答】解：如图，S为点光源．
故答案为3．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是 ．
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴cos∠ACD＝cos∠B＝＝＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是 ③△DEB ．（△ABC除外）
【分析】分别求出三个三角形的三边的比，符合这个结果就是与△ABC相似的．
【解答】解：∵△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，
②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
17．（3分）某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，则BD的长为 2km ．（结果保留根号）
【分析】过B作BE⊥AD于点E，根据含30°直角三角形的性质求得BE的长，然后利用勾股定理即可求得BD的长．
【解答】解：过B作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2km，
∵∠ABD＝105°，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝2km，
∴BD＝＝＝2（km），
即BD的长是2km．
18．（3分）如图，分别过x轴上点A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0）作x轴的垂线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点分别为B1，B2，…Bn，若△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn，则Sn＝ ．（用含a的式子表示）
【分析】连接OBn，根据同高的三角形面积的等于底边的比以及反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OBn，
∵点A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0），
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，…，
∵B1，B2，…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S＝×6＝3，
∴S1＝S＝3，
S2＝S＝，
S3＝S＝，
…，
Sn＝S＝
故答案为．
三、解笞题（第19题12分，第20题12分：满分24分）
19．（12分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+sin45°，y＝sin60°﹣tan45°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值得出x、y的值，继而代入计算即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]÷
＝•
＝，
∵x＝cos60°+sin45°＝+×＝．
y＝sin60°﹣tan45°＝×﹣1＝﹣1＝，
∴原式＝＝1．
20．（12分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
四、解答题（第21题10分：第22题12分，共22分）
21．（10分）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标；
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
【分析】（1）根据关于x轴对称的的点坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长B1A1到A2使B1A2＝2B1A1，延长B1C1到C2使B1C2＝2B1C1，从而得到△A2B1C2；
（3）利用勾股定理的逆定理可证明△ACC2是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（1，0）．
（3）∵AC2＝12+22＝5，CC22＝12+22＝5，AC22＝12+32＝10，
∴AC2+CC22＝AC22，
∴△ACC2是等腰直角三角形．
22．（12分）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是 正六棱柱 ；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【分析】（1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱；
（2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图；
（3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案．
【解答】解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱．
故答案为：正六棱柱；
（2）六棱柱的表面展开图如图2：（本题只给出一种图形，其它图形请参考给分）；
（3）由图中数据可知：六棱柱的高为12cm，底面边长为5cm，
∴六棱柱的侧面积为6×5×12＝360（cm2）．
又∵密封纸盒的底面面积为：2×6××5×＝75（cm2），
∴六棱柱的表面积为（75+360）cm2．
五、解答题（共12分）
23．（12分）在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i＝1：是指坡面的高度BF与水平宽度AF的比，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4m．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据：sin70°≈0.94，coa70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）
【分析】（1）根据坡度坡角定义即可求出结论；
（2）利用锐角三角函数即可求出ED的长．
【解答】解：（1）∵BF⊥AD，垂足为点F，
∴∠AFB＝90°．
在Rt△ABF中，
∵tan∠BAF＝＝i＝＝，
∴∠BAF＝30°，即α＝30°．
答：斜坡AB的坡角α的度数为30°；
（2）在Rt△ABF中，
∵∠BAF＝30°，AB＝6，
∴BF＝AB＝3，
∵BC∥AD，BF⊥AD，CD⊥AD，
∴CD＝BF＝3，
在Rt△BCE中，∠BCE＝90°
∵∠EBC＝70°，BC＝4，
∴EC＝BC•tan∠EBC＝4•tan70°≈4×2.75＝11（m），
∴ED＝EC+CD≈11+3＝14（m），
答：旗杆顶端离地面的高度ED约为14m．
六．解答题（共12分）
24．（12分）如图1，已知双曲线y1＝（k1＞0）与直线y2＝k2x交于A、B两点，点A的坐标为（3，1），回答下列问题：
（1）点B的坐标为 （﹣3，﹣1） ；当x满足 ﹣3≤x＜0或x≥3 时，y1≤y2；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y1＝（k1＞0）于P、Q两点，点P在第一象限，
①若点P的横坐标为1，求△AOP的面积；
②四边形APBQ一定是 平行四边形 ；
③四边形APBQ可能是正方形吗？若可能，请直接写出你的结论；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据函数的对称性，点B的坐标为（﹣3，﹣1），从图象看，y1≤y2时，﹣3≤x＜0或x≥3，即可求解；
（2）①利用S△AOP＝S矩形OCED﹣S△OAC﹣S△OPD﹣S△AEP，即可求解；②证明PA＝BQ、BP＝AQ，即可求解；③证明∠POA≠90°，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的对称性，点B的坐标为（﹣3，﹣1）；
从图象看，y1≤y2时，﹣3≤x＜0或x≥3，
故答案为：（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3；
（2）①∵点A的坐标为（3，1），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k1＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为（1，3），
过点A作y轴的平行线，交x轴于C，过点P作x轴的平行线，交y轴于D，
直线CA与直线DP交于点E，则四边形OCED是矩形．
∵点A（3，1），
∴DE＝OC＝OD＝CE＝3，AC＝DP＝1，
∴PE＝AE＝2，
∴S△AOP＝S矩形OCED﹣S△OAC﹣S△OPD﹣S△AEP＝3×3﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×2＝4；
②四边形APBQ是平行四边形，理由：
∵点A的坐标为（3，1），故点B的坐标为（﹣3，﹣1），
设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（﹣m，﹣n），
则PA2＝（m﹣3）2+（n﹣1）2，BQ2＝（﹣3+m）2+（﹣1+n）2＝PA2，
即PA＝BQ，
同理可得：BP＝AQ，
∴四边形APBQ一定是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
③四边形APBQ不可能是正方形．（11分）
理由：当AB⊥PQ时，四边形APBQ是正方形，
此时点A、P在坐标轴上，
由于点A，P不可能达到坐标轴，故不可能是正方形，即∠POA≠90°．
七．解答题（共12分）
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2BC．点B是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．
（1）tan∠CAB＝ ；
（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，
①求证：EG＝FG；
②求证：CG＝BE；
（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H．
①EG＝FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；
②当CF＝1，BF＝2时，请直接写出GH的长．
【分析】（1）由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）①过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．证明△EHG≌△FCG（ASA），由全等三角形的性质可得出答案；
②设EH＝x，则AE＝2x，由勾股定理得出AH＝x，由平行线分线段成比例定理得出CH＝BE，则可得出答案．
（3）①过点E作EI∥BC 交AC于点I，由三角函数证出AE＝2IE，得出IE＝CF，证△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG；
②过点F作FP∥AB交AC于P，则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，则tan∠CPF＝tan∠CAB＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，证明△CPF∽△CAB，得出，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再证明△PFH∽△CDH，得出PH＝PC＝，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，
∴tan∠CAB＝＝，
故答案为：；
（2）①证明：过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠AEH＝90°．
∴EH∥BF，
∴∠EHG＝∠FCG，∠HEG＝∠CFG，
在Rt△ABC和Rt△AEH中，
∵AB＝2BC，
∴tan∠CAB＝＝＝，
∴AE＝2EH，
∵AE＝2CF，
∴EH＝CF，
∴△EHG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG．
②证明：设EH＝x，则AE＝2x，
Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，
∵EH∥BF，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝BE，
∵△EHG≌△FCG，
∴HG＝CG，
∴CG＝BE．
（3）①成立；
过点E作EI∥BC 交AC于点I，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，
∴tan∠IAE＝，
∴AE＝2IE，
∵AE＝2CF，
∴IE＝CF，
∵EI∥BC，
∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，
在△EIG和△FCG中，
，
∴△EIG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG；
②解：过点F作FP∥AB交AC于P，如图3所示：
则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，
∴∠CPF＝∠CAB，
在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，
∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝，
∴PF＝2CF，
∵AE＝2CF，
∴AE＝PF＝2，
同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），
∴AG＝PG，
∵BF＝2，CF＝1，
∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，
∴AC＝＝＝3，
∵FP∥AB，
∴△CPF∽△CAB，
∴，
∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，
∴AG＝PG＝PA＝，
∵FP∥CD，
∴△PFH∽△CDH，
∴，
∴PH＝PC＝，
∴GH＝PG+PH＝+＝．
八．解答题（共14分）
26．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F．
（1）抛物线的解析式为： y＝x2﹣x﹣4 ；直线BC的解析式为： y＝x﹣4 ；
（2）若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设△PBC的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入可得抛物线解析式，再求出C坐标即可得到直线BC解析式；
（2）设P横坐标为m，用m表示△PBC的面积即可得到答案；
（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式可得到答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣4可得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC解析式为y＝kx+t，将C（0，﹣4），B（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4；
故答案为：y＝x2﹣x﹣4，y＝x﹣4；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
设P（m，m2﹣m﹣4），则Q（m，m﹣4），
∴PQ＝（m﹣4）﹣（ m2﹣m﹣4）＝﹣m2+4m，
∴S△PBC＝PQ•（xB﹣xC）＝（﹣m2+4m）×（3﹣0）＝﹣2m2+6m＝﹣2（m﹣）2+
∴当m＝时，S△PBC有最大值，最大值为，
而m＝时，m2﹣m﹣4＝﹣5，
∴点P的坐标为（，﹣5）；
（3）∵P（，﹣5），过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，直线BC为y＝x﹣4，
∴D（，﹣2），
∵抛物线y＝x2﹣x﹣4，对称轴与x轴交于点F，
∴F（1，0），
而B（3，0），C（0，﹣4），
∴BC＝5，BD＝，BF＝2，
以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似，分两种情况：
①△BFC∽△BMD，则，
∴，
∴BM＝1，
又B（3，0），
∴OM＝2，
∴M（2，0），
②△BFC∽△BDM′，则，
∴
∴BM′＝，
又B（3，0），
∴OM′＝﹣3＝，
∴M′（﹣，0），
综上所述，以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似，M坐标是（2，0）或（﹣，0）．
2021年辽宁省抚顺市抚顺县中考数学质检试卷（三）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一是符合要求的。
1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣ D．＝4
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
4．（3分）下列现象是物体的投影的是（ ）
A．小明看到镜子里的自己
B．灯光下猫咪映在墙上的影子
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
5．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A＝∠B
C．∠A+∠B＞90° D．∠A+∠B的值无法确定
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，某高速公路建设中需要测最某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CH为900m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为（ ）
A．300m B．300m
C．（900+300）m D．（900﹣300）m
10．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）如果反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限内，则k ．
12．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．
13．（3分）若点（x1，y1），（x2，y2）都是反比例函数y＝图象上的点，并且x1＞x2＞0，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
14．（3分）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是 ．
16．（3分）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是 ．（△ABC除外）
17．（3分）某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，则BD的长为 ．（结果保留根号）
18．（3分）如图，分别过x轴上点A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0）作x轴的垂线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点分别为B1，B2，…Bn，若△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn，则Sn＝ ．（用含a的式子表示）
三、解笞题（第19题12分，第20题12分：满分24分）
19．（12分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+sin45°，y＝sin60°﹣tan45°．
20．（12分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
四、解答题（第21题10分：第22题12分，共22分）
21．（10分）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标；
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
22．（12分）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是 ；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
五、解答题（共12分）
23．（12分）在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i＝1：是指坡面的高度BF与水平宽度AF的比，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4m．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据：sin70°≈0.94，coa70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）
六．解答题（共12分）
24．（12分）如图1，已知双曲线y1＝（k1＞0）与直线y2＝k2x交于A、B两点，点A的坐标为（3，1），回答下列问题：
（1）点B的坐标为 ；当x满足 时，y1≤y2；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y1＝（k1＞0）于P、Q两点，点P在第一象限，
①若点P的横坐标为1，求△AOP的面积；
②四边形APBQ一定是 ；
③四边形APBQ可能是正方形吗？若可能，请直接写出你的结论；若不可能，请说明理由．
七．解答题（共12分）
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2BC．点B是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．
（1）tan∠CAB＝ ；
（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，
①求证：EG＝FG；
②求证：CG＝BE；
（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H．
①EG＝FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；
②当CF＝1，BF＝2时，请直接写出GH的长．
八．解答题（共14分）
26．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F．
（1）抛物线的解析式为： ；直线BC的解析式为： ；
（2）若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设△PBC的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年辽宁省抚顺市抚顺县中考数学质检试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一是符合要求的。
1．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣ D．＝4
【分析】根据反比例函数的解析式：y＝，即可得到结果．
【解答】解：A是二次函数；
B是一次函数；
C是反比例函数；
D化简后为：y＝4x（x≠0）；
故选：C．
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：2cos30°＝2×．
故选：B．
3．（3分）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可．
【解答】解：观察图像可知，这个变换是相似变换，
故选：D．
4．（3分）下列现象是物体的投影的是（ ）
A．小明看到镜子里的自己
B．灯光下猫咪映在墙上的影子
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
【分析】利用投影的定义确定答案即可．
【解答】解：A、小明看到镜子里的自己是镜面对称，不是投影，不符合题意；
B、灯光下猫咪映在墙上的影子是投影，符合题意；
C、自行车行驶过后车轮留下的痕迹不是投影，不符合题意；
D、掉在地上的树叶不是投影，不符合题意，
故选：B．
5．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的面积得到y与x之间的函数关系式，根据x的范围以及函数类型即可作出判断．
【解答】解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y＝（x＞0）．
是反比例函数，且图象只在第一象限．
故选：C．
6．（3分）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，中间有一个长方形．
【解答】解：其俯视图为．
故选：D．
7．（3分）已知，AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A＝∠B
C．∠A+∠B＞90° D．∠A+∠B的值无法确定
【分析】因为AB是直径，则∠C是直角，所以∠A+∠B＝90°，用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，只改变图形的大小，不改变图形的形状，所以在镜中看的角大小没有改变，所以∠A与放大镜中的∠B的关系是和仍然为90°．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠C是直角，
∴∠A+∠B＝90°，
用放大镜观察图形，镜中的图形与原图形相似，
所以在镜中看的角大小没有改变，
∴∠A+∠B＝90°．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sinA＝．
故选：B．
9．（3分）如图，某高速公路建设中需要测最某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A、B两点的俯角分别为60°和45°．若飞机离地面的高度CH为900m，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为（ ）
A．300m B．300m
C．（900+300）m D．（900﹣300）m
【分析】根据题意和锐角三角函数，可以求得HA和HB的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
∠CHA＝90°，∠HCA＝30°，∠HCB＝45°，
∵CH＝900m，
∴HA＝CH•tan30°＝900×＝300（m），HB＝CH•tan45°＝900×1＝900（m），
∴AB＝HB﹣HA＝（900﹣300）（m），
故选：D．
10．（3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，
∴GC∥AB，
∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），
∴，
设BC＝x，则，
同理，得，
∴，
∴x＝3，
∴，
∴AB＝6．
故选：B．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．（3分）如果反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限内，则k ＜0 ．
【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限，k＜0，即可得到结果．
【解答】解：因为反比例函数的图象位于第二、四象限，
则k＜0．
故答案为：k＜0．
12．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AG＝2，GD＝1，
∴AD＝3，
∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
故答案为：．
13．（3分）若点（x1，y1），（x2，y2）都是反比例函数y＝图象上的点，并且x1＞x2＞0，则y1 ＜ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限及其增减性，再根据x1＜x2＜0判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴点（x1，y1）、（x2，y2）位于第一象限，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
14．（3分）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 3 号窗口．
【分析】根据中心投影的定义画出点光源即可．
【解答】解：如图，S为点光源．
故答案为3．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是5，BD＝8，则cos∠ACD的值是 ．
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴cos∠ACD＝cos∠B＝＝＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是 ③△DEB ．（△ABC除外）
【分析】分别求出三个三角形的三边的比，符合这个结果就是与△ABC相似的．
【解答】解：∵△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，
②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
17．（3分）某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，则BD的长为 2km ．（结果保留根号）
【分析】过B作BE⊥AD于点E，根据含30°直角三角形的性质求得BE的长，然后利用勾股定理即可求得BD的长．
【解答】解：过B作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2km，
∵∠ABD＝105°，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝2km，
∴BD＝＝＝2（km），
即BD的长是2km．
18．（3分）如图，分别过x轴上点A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0）作x轴的垂线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点分别为B1，B2，…Bn，若△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△AnBnAn+1的面积为Sn，则Sn＝ ．（用含a的式子表示）
【分析】连接OBn，根据同高的三角形面积的等于底边的比以及反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OBn，
∵点A1（1，0），A2（2，0），…，An（n，0），
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，…，
∵B1，B2，…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S＝×6＝3，
∴S1＝S＝3，
S2＝S＝，
S3＝S＝，
…，
Sn＝S＝
故答案为．
三、解笞题（第19题12分，第20题12分：满分24分）
19．（12分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝cos60°+sin45°，y＝sin60°﹣tan45°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值得出x、y的值，继而代入计算即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]÷
＝•
＝，
∵x＝cos60°+sin45°＝+×＝．
y＝sin60°﹣tan45°＝×﹣1＝﹣1＝，
∴原式＝＝1．
20．（12分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
四、解答题（第21题10分：第22题12分，共22分）
21．（10分）如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长均是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）以点B1为位似中心，将△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面积之比为1：4，画出△A2B1C2，使它与△A1B1C1在位似中心同侧，并写出C2点的坐标；
（3）连接AC2、CC2，判断△ACC2的形状并直接写出结论．
【分析】（1）根据关于x轴对称的的点坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长B1A1到A2使B1A2＝2B1A1，延长B1C1到C2使B1C2＝2B1C1，从而得到△A2B1C2；
（3）利用勾股定理的逆定理可证明△ACC2是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（1，0）．
（3）∵AC2＝12+22＝5，CC22＝12+22＝5，AC22＝12+32＝10，
∴AC2+CC22＝AC22，
∴△ACC2是等腰直角三角形．
22．（12分）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是 正六棱柱 ；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【分析】（1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱；
（2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图；
（3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案．
【解答】解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱．
故答案为：正六棱柱；
（2）六棱柱的表面展开图如图2：（本题只给出一种图形，其它图形请参考给分）；
（3）由图中数据可知：六棱柱的高为12cm，底面边长为5cm，
∴六棱柱的侧面积为6×5×12＝360（cm2）．
又∵密封纸盒的底面面积为：2×6××5×＝75（cm2），
∴六棱柱的表面积为（75+360）cm2．
五、解答题（共12分）
23．（12分）在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i＝1：是指坡面的高度BF与水平宽度AF的比，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4m．
（1）求斜坡AB的坡角α的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据：sin70°≈0.94，coa70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）
【分析】（1）根据坡度坡角定义即可求出结论；
（2）利用锐角三角函数即可求出ED的长．
【解答】解：（1）∵BF⊥AD，垂足为点F，
∴∠AFB＝90°．
在Rt△ABF中，
∵tan∠BAF＝＝i＝＝，
∴∠BAF＝30°，即α＝30°．
答：斜坡AB的坡角α的度数为30°；
（2）在Rt△ABF中，
∵∠BAF＝30°，AB＝6，
∴BF＝AB＝3，
∵BC∥AD，BF⊥AD，CD⊥AD，
∴CD＝BF＝3，
在Rt△BCE中，∠BCE＝90°
∵∠EBC＝70°，BC＝4，
∴EC＝BC•tan∠EBC＝4•tan70°≈4×2.75＝11（m），
∴ED＝EC+CD≈11+3＝14（m），
答：旗杆顶端离地面的高度ED约为14m．
六．解答题（共12分）
24．（12分）如图1，已知双曲线y1＝（k1＞0）与直线y2＝k2x交于A、B两点，点A的坐标为（3，1），回答下列问题：
（1）点B的坐标为 （﹣3，﹣1） ；当x满足 ﹣3≤x＜0或x≥3 时，y1≤y2；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y1＝（k1＞0）于P、Q两点，点P在第一象限，
①若点P的横坐标为1，求△AOP的面积；
②四边形APBQ一定是 平行四边形 ；
③四边形APBQ可能是正方形吗？若可能，请直接写出你的结论；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据函数的对称性，点B的坐标为（﹣3，﹣1），从图象看，y1≤y2时，﹣3≤x＜0或x≥3，即可求解；
（2）①利用S△AOP＝S矩形OCED﹣S△OAC﹣S△OPD﹣S△AEP，即可求解；②证明PA＝BQ、BP＝AQ，即可求解；③证明∠POA≠90°，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的对称性，点B的坐标为（﹣3，﹣1）；
从图象看，y1≤y2时，﹣3≤x＜0或x≥3，
故答案为：（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3；
（2）①∵点A的坐标为（3，1），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k1＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P的横坐标为1，
∴点P的纵坐标为3，
∴点P的坐标为（1，3），
过点A作y轴的平行线，交x轴于C，过点P作x轴的平行线，交y轴于D，
直线CA与直线DP交于点E，则四边形OCED是矩形．
∵点A（3，1），
∴DE＝OC＝OD＝CE＝3，AC＝DP＝1，
∴PE＝AE＝2，
∴S△AOP＝S矩形OCED﹣S△OAC﹣S△OPD﹣S△AEP＝3×3﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×2＝4；
②四边形APBQ是平行四边形，理由：
∵点A的坐标为（3，1），故点B的坐标为（﹣3，﹣1），
设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（﹣m，﹣n），
则PA2＝（m﹣3）2+（n﹣1）2，BQ2＝（﹣3+m）2+（﹣1+n）2＝PA2，
即PA＝BQ，
同理可得：BP＝AQ，
∴四边形APBQ一定是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
③四边形APBQ不可能是正方形．（11分）
理由：当AB⊥PQ时，四边形APBQ是正方形，
此时点A、P在坐标轴上，
由于点A，P不可能达到坐标轴，故不可能是正方形，即∠POA≠90°．
七．解答题（共12分）
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2BC．点B是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．
（1）tan∠CAB＝ ；
（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，
①求证：EG＝FG；
②求证：CG＝BE；
（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H．
①EG＝FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；
②当CF＝1，BF＝2时，请直接写出GH的长．
【分析】（1）由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）①过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．证明△EHG≌△FCG（ASA），由全等三角形的性质可得出答案；
②设EH＝x，则AE＝2x，由勾股定理得出AH＝x，由平行线分线段成比例定理得出CH＝BE，则可得出答案．
（3）①过点E作EI∥BC 交AC于点I，由三角函数证出AE＝2IE，得出IE＝CF，证△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG；
②过点F作FP∥AB交AC于P，则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，则tan∠CPF＝tan∠CAB＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，证明△CPF∽△CAB，得出，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再证明△PFH∽△CDH，得出PH＝PC＝，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，
∴tan∠CAB＝＝，
故答案为：；
（2）①证明：过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠AEH＝90°．
∴EH∥BF，
∴∠EHG＝∠FCG，∠HEG＝∠CFG，
在Rt△ABC和Rt△AEH中，
∵AB＝2BC，
∴tan∠CAB＝＝＝，
∴AE＝2EH，
∵AE＝2CF，
∴EH＝CF，
∴△EHG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG．
②证明：设EH＝x，则AE＝2x，
Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，
∵EH∥BF，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝BE，
∵△EHG≌△FCG，
∴HG＝CG，
∴CG＝BE．
（3）①成立；
过点E作EI∥BC 交AC于点I，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，
∴tan∠IAE＝，
∴AE＝2IE，
∵AE＝2CF，
∴IE＝CF，
∵EI∥BC，
∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，
在△EIG和△FCG中，
，
∴△EIG≌△FCG（ASA），
∴EG＝FG；
②解：过点F作FP∥AB交AC于P，如图3所示：
则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，
∴∠CPF＝∠CAB，
在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，
∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝，
∴PF＝2CF，
∵AE＝2CF，
∴AE＝PF＝2，
同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），
∴AG＝PG，
∵BF＝2，CF＝1，
∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，
∴AC＝＝＝3，
∵FP∥AB，
∴△CPF∽△CAB，
∴，
∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，
∴AG＝PG＝PA＝，
∵FP∥CD，
∴△PFH∽△CDH，
∴，
∴PH＝PC＝，
∴GH＝PG+PH＝+＝．
八．解答题（共14分）
26．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点F．
（1）抛物线的解析式为： y＝x2﹣x﹣4 ；直线BC的解析式为： y＝x﹣4 ；
（2）若点P为抛物线位于第四象限图象上的一个动点，设△PBC的面积为S，求S最大时点P的坐标及S的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，在x轴上是否存在点M，使得以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入可得抛物线解析式，再求出C坐标即可得到直线BC解析式；
（2）设P横坐标为m，用m表示△PBC的面积即可得到答案；
（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式可得到答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣4可得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC解析式为y＝kx+t，将C（0，﹣4），B（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4；
故答案为：y＝x2﹣x﹣4，y＝x﹣4；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
设P（m，m2﹣m﹣4），则Q（m，m﹣4），
∴PQ＝（m﹣4）﹣（ m2﹣m﹣4）＝﹣m2+4m，
∴S△PBC＝PQ•（xB﹣xC）＝（﹣m2+4m）×（3﹣0）＝﹣2m2+6m＝﹣2（m﹣）2+
∴当m＝时，S△PBC有最大值，最大值为，
而m＝时，m2﹣m﹣4＝﹣5，
∴点P的坐标为（，﹣5）；
（3）∵P（，﹣5），过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，直线BC为y＝x﹣4，
∴D（，﹣2），
∵抛物线y＝x2﹣x﹣4，对称轴与x轴交于点F，
∴F（1，0），
而B（3，0），C（0，﹣4），
∴BC＝5，BD＝，BF＝2，
以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似，分两种情况：
①△BFC∽△BMD，则，
∴，
∴BM＝1，
又B（3，0），
∴OM＝2，
∴M（2，0），
②△BFC∽△BDM′，则，
∴
∴BM′＝，
又B（3，0），
∴OM′＝﹣3＝，
∴M′（﹣，0），
综上所述，以B、D、M为顶点的三角形与△BFC相似，M坐标是（2，0）或（﹣，0）．
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