2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第四章　数列 32 word版含答案

考点测试32　数列求和

一、基础小题

1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)

A．2n＋n2－1   B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2   D．2n＋n－2

答案　C

解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.

2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)

A．1   B. 

C.   D.

答案　B

解析　因an＝－，

∴S5＝1－＋－＋…＋－＝.

3．数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝(　　)

A．－495   B．765 

C．1080   D．3105

答案　B

解析　由a1＝－60，an＋1＝an＋3可得an＝3n－63，则a21＝0，|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30)＝S30－2S20＝765，故选B.

4.＋＋＋…＋等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　解法一：令Sn＝＋＋＋…＋，①

则Sn＝＋＋…＋＋，②

①－②，得

Sn＝＋＋＋…＋－

＝－.

∴Sn＝.

故选B.

解法二：取n＝1时，＝，代入各选项验证可知选B.

5．数列{an}的通项公式为an＝，已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于(　　)

A．6   B．7 

C．48   D．49

答案　C

解析　将通项公式变形得：

an＝＝＝－，则Sn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，由Sn＝6，则有－1＝6，∴n＝48.

6．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝(　　)

A.   B．6 

C．10   D．11

答案　B

解析　依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.

7．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　)

A．3690   B．3660 

C．1845   D．1830

答案　D

解析　当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝＝30×61＝1830.

8．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)

A．0   B．100 

C．－100   D．10200

答案　B

解析　由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.

二、高考小题

9．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

答案　6

解析　设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝6，a3＋a5＝0，∴6＋2d＋6＋4d＝0，∴d＝－2，∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.

10．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

答案　10

解析　由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，得5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.

11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

答案　－

解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.

12．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.

答案　3n－1

解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意得a2＝a1·q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2.又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(1＋q)＝3＋1＋q＋q2，所以q＝3(q＝0舍去)．所以an＝a1qn－1＝3n－1.

13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝______.

答案　50

解析　因为{an}为等比数列，

所以由已知可得a10a11＝a9a12＝a1a20＝e5.

于是ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln (a1a2a3…a20)．

而a1a2a3…a20＝(a1a20)10＝(e5)10＝e50，

因此ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln e50＝50.

三、模拟小题

14．已知数列2015,2016,1，－2015，－2016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项和S2016等于 (　　)

A．2008   B．2010 

C．1   D．0

答案　D

解析　由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1，故数列的前8项依次为2015,2016,1，－2015，－2016，－1,2015,2016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S6＝0.∵2016＝6×336，∴S2016＝0.

15．已知在数列{an}中，a1＝1，nan＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2)，则a2016＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　∵nan＝a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1(n≥2)，∴(n－1)an－1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－2)an－2(n≥3)．两式相减，得nan－(n－1)an－1＝(n－1)an－1(n≥3)，即nan＝2(n－1)an－1，∴＝2×(n≥3)．易知a2＝，故a2016＝a1×××…×＝22014×××…×＝＝.

16．已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，下列关于an及Sn的叙述中正确的是(　　)

A．an与Sn都有最大值   B．an与Sn都没有最大值

C．an与Sn都有最小值   D．an与Sn都没有最小值

答案　C

解析　解法一：因为an＝，所以当n＝1,2,3,4,5时，an<0；当n≥6时，an>0.故Sn有最小值，且为S5，没有最大值．由an＝知，当n＝1,2,3,4,5时，an<0，且此时数列单调递减，当n≥6时，an>0，且此时数列单调递减，所以an的最小值为a5，最大值为a6.

解法二：画出函数y＝的图象，点(n，an)为函数y＝图象上的一群孤立点，为函数图象的对称中心，故S5最小，a5最小，a6最大．

17．已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn为________．

答案　3n－1

解析　∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，∴Sn＝＝3n－1.

18．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝________.

答案　－

解析　a2＝－＝－＝－，a3＝－＝－＝－2，a4＝－＝－＝1，因此a4＝a1，依次下去，得到an＋3＝an，因此数列{an}是以3为周期的周期数列，∵2014＝3×671＋1，∴S2014＝671×(a1＋a2＋a3)＋a1＝671×＋1＝－.

一、高考大题

1．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝，其中表示不超过x的最大整数，如＝0，＝1.

(1)求b1，b11，b101；

(2)求数列{bn}的前1000项和．

解　(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.

所以{an}的通项公式为an＝n.

b1＝＝0，b11＝＝1，

b101＝＝2.

(2)因为bn＝

所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.

当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.

设数列{bn}的公差为d.

由即

可解得b1＝4，d＝3.

所以bn＝3n＋1.

(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×，

2Tn＝3×，

两式作差，得－Tn＝3×

＝3×

＝－3n·2n＋2.

所以Tn＝3n·2n＋2.

二、模拟大题

3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1·an＝an－an＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝lg ，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　(1)由题意得－＝1，又因为a1＝1，所以＝1.

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，即an＝.

所以数列{an}的通项公式为an＝.

(2)由(1)得bn＝lg n－lg (n＋2)，

所以Sn＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n－2)－lg n＋lg (n－1)－lg (n＋1)＋lg n－lg (n＋2)

＝lg 1＋lg 2－lg (n＋1)－lg (n＋2)

＝lg .

4．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知d>0，

因为a3，a4＋，a11成等比数列，

所以2＝a3a11，

所以2＝(1＋2d)(1＋10d)，

即44d2－36d－45＝0，

所以d＝(d＝－舍去)，所以an＝.

(2)bn＝＝

＝，

所以Tn＝

＝.

5．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)令cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.

解　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

由得

解得

所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.

(2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝＝n(n＋2)，

则cn＝即cn＝

∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)

＝＋(2＋23＋…＋22n－1)

＝1－＋＝＋(4n－1)．

6．已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．

(1)求q的值和{an}的通项公式；

(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．

解　(1)由已知条件，得(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，所以a2(q－1)＝a3(q－1)．

又因为q≠1，所以a2＝a3＝2.

由a3＝qa1，得q＝2.

当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2；

当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2.

所以数列{an}的通项公式为an＝

(2)由(1)，得bn＝＝，n∈N*.

设数列{bn}的前n项和为Sn，

则Sn＝1×＋2×＋…＋n×，

Sn＝1×＋2×＋…＋n×，

上述两式相减，得Sn＝＋＋＋…＋－n×＝－＝2－，

所以Sn＝4－，n∈N*.

所以数列{bn}的前n项和为Sn＝4－，n∈N*.