人教版新课标A必修3第二章 统计2.2 用样本估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体课时训练

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2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
[A组 学业达标]
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85、85、85 B．87、85、86
C．87、85、85 D．87、85、90
解析：从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.
答案：C
2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为eq \f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq \f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq \f(12,5)，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
答案：C
3．已知数据x1，x2，x3，…，xn是我省普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
解析：插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．
答案：B
4．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.
答案：B
5．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )
A．31.6岁 B．32.6岁
C．33.6岁 D．36.6岁
解析：根据所给的信息可知，在区间[25，30)上的数据的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋(35－30)×eq \f(5,7)≈33.6(岁)．
答案：C
6．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是eq \r(2)，则xy＝__________．
解析：由平均数是10，得x＋y＝20，由标准差是eq \r(2)，得
eq \r(\f(1,5)[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2])
＝eq \r(2)，所以(x－10)2＋(y－10)2＝8，所以xy＝96.
答案：96
7．甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下：
甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.
则两人的射击成绩较稳定的是__________．
解析：由题意求平均数可得x甲＝x乙＝8，seq \\al(2,甲)＝1.2，seq \\al(2,乙)＝1.6，seq \\al(2,甲)答案：甲
8．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差约为__________．
解析：这21个数的平均数仍为x，从而方差为eq \f(1,21)×[20×0.2＋(x－x)2]≈0.19.
答案：0.19
9．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
(1)计算所有人员的周平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
解析：(1)周平均收入eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．(3)去掉老板的收入后的周平均收入x2＝eq \f(1,6)(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，这能代表打工人员的周收入水平．
10．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解析：(1)
(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
[B组 能力提升]
11．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))A和eq \(x,\s\up6(－))B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.eq \(x,\s\up6(－))A>eq \(x,\s\up6(－))B，sA>sB B.eq \(x,\s\up6(－))AsB
C.eq \(x,\s\up6(－))A>eq \(x,\s\up6(－))B，sA解析：样本A数据均小于或等于10，样本B数据均大于或等于10，故eq \(x,\s\up6(－))A又样本B波动范围较小，故sA>sB.
答案：B
12．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为( )
A．s＝s1 B．s＜s1
C．s＞s1 D．不能确定
解析：由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x，
则s＝eq \r(\f(1,15)[（15－\(x,\s\up6(－))）2＋（23－\(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\(x,\s\up6(－))）2])，
s1＝eq \r(\f(1,15)[（20－\(x,\s\up6(－))）2＋（18－\(x,\s\up6(－))）2＋（x3－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（x15－\(x,\s\up6(－))）2] ).
若比较s与s1的大小，只需比较(15－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq \(x,\s\up6(－)))2与(20－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq \(x,\s\up6(－)))2的大小即可．而(15－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq \(x,\s\up6(－)))2＝754－76 eq \(x,\s\up6(－))＋2 eq \(x,\s\up6(－))2，(20－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq \(x,\s\up6(－)))2＝724－76 eq \(x,\s\up6(－))＋2 eq \(x,\s\up6(－))2，所以(15－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(23－eq \(x,\s\up6(－)))2＞(20－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(18－eq \(x,\s\up6(－)))2.从而s＞s1.
答案：C
13．若40个数据的平方和是56，平均数是eq \f(\r(2),2)，则这组数据的方差是__________，标准差是__________．
解析：设这40个数据为xi(i＝1，2，…，40)，平均数为eq \(x,\s\up6(－)).
则s2＝eq \f(1,40)×[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x40－eq \(x,\s\up6(－)))2]
＝eq \f(1,40)[xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,40)＋40 eq \(x,\s\up6(－))2－2 eq \(x,\s\up6(－)) (x1＋x2＋…＋x40)]
＝eq \f(1,40)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))
＝eq \f(1,40)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(56－40×\f(1,2)))
＝0.9.
∴s＝eq \r(0.9)＝eq \r(\f(9,10))＝eq \f(3\r(10),10).
答案：0.9 eq \f(3\r(10),10)
14．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．
解析：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7；方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.
从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35，①
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.
答案：10
15．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
解析：(1)各组的组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．
s2＝eq \f(1,100)×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60.
故标准差为eq \r(2 128.60)≈46.
估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
3 000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
天数
151～180
181～210
211～240
241～270
271～300
301～330
331～360
361～390
灯管数
1
11
18
20
25
16
7
2