人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时同步达标检测题

这是一份人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时同步达标检测题，共6页。

[A组 学业达标]
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12 B.eq \f(21,2)
C．28 D．6eq \r(3)
解析：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(32＋82－72,2×3×8)＝eq \f(1,2)，
A＝60°，S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝6eq \r(3).
答案：D
2．在△ABC中，已知a＝3eq \r(2)，cs C＝eq \f(1,3)，S△ABC＝4eq \r(3)，则b＝( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．4eq \r(3) D．3eq \r(2)
解析：因为cs C＝eq \f(1,3)＞0，且0＜C＜π，
所以sin C＝eq \r(1－\f(1,3)2)＝eq \f(2\r(2),3).
因为S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×b×eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(3)，所以b＝2eq \r(3).
答案：B
3．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若S△ABC＝eq \f(b2＋c2－a2,4)，则角A的大小为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
解析：因为S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,4)(b2＋c2－a2)，
所以sin A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝cs A，所以A＝eq \f(π,4).
答案：B
4．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40eq \r(3) B．20eq \r(3)
C．40eq \r(2) D．20eq \r(2)
解析：设另两边长为8x,5x，则cs 60°＝eq \f(64x2＋25x2－142,80x2)，解得x＝2，
所以另两边长分别为16和10，
所以S＝eq \f(1,2)×16×10×sin 60°＝40eq \r(3).
答案：A
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝1，则BC＝( )
A.eq \r(3) B．eq \r(7)
C．2eq \r(2) D.eq \r(23)
解析：由eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝1得2|eq \(BC,\s\up8(→))|cs(π－B)＝1，所以cs B＝－eq \f(1,2|\(BC,\s\up8(→))|).
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B，
即9＝4＋BC2－4BCcs B，
5＝BC2＋4BC·eq \f(1,2|\(BC,\s\up8(→))|)，BC2＝3，所以BC＝eq \r(3).
答案：A
6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为eq \r(3)，则边a的值为________．
解析：由S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)csin 60°＝eq \r(3)，得c＝4.于是a2＝b2＋c2－2bccs A＝1＋16－8cs 60°＝13，所以a＝eq \r(13).
答案：eq \r(13)
7．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5eq \r(3)，△ABC的外接圆半径为eq \r(3)，则a＝________.
解析：因为S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝5eq \r(3)，bc＝20，所以sin A＝eq \f(\r(3),2)，因为△ABC的外接圆半径为eq \r(3)，所以由正弦定理知eq \f(a,sin A)＝2eq \r(3)，
所以a＝2eq \r(3)sin A＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.
答案：3
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq \r(6)，cs A＝eq \f(7,8)，则△ABC的面积S等于________．
解析：由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0，所以b＝2c.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A，即6＝4c2＋c2－4c2·eq \f(7,8).
所以c＝2，从而b＝4.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×4×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))2)＝eq \f(\r(15),2).
答案：eq \f(\r(15),2)
9.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解析：在△BAD中，设BD＝x.
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cs∠BDA，
即142＝x2＋102－2×10xcs 60°，
解得x＝16，即BD＝16，
又在△BCD中，eq \f(BC,sin∠CDB)＝eq \f(BD,sin∠BCD)，
所以BC＝eq \f(16,sin 135°)·sin 30°＝8eq \r(2).
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝asin 2B.
(1)求角B；
(2)若b＝eq \r(10)，a＋c＝ac，求△ABC的面积．
解析：(1)由bsin A＝asin 2B，得sin Bsin A＝sin Asin 2B，所以sin B·sin A＝2sin A·sin Bcs B，所以cs B＝eq \f(1,2).又B是三角形的内角，所以B＝eq \f(π,3).
(2)∵B＝eq \f(π,3)，∴b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.
又b＝eq \r(10)，a＋c＝ac，
∴(ac)2－3ac＝10，
∴(ac－5)(ac＋2)＝0，
∴ac＝5或ac＝－2(舍去)．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(5\r(3),4).
[B组 能力提升]
11．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cs∠DAC＝( )
A.eq \f(\r(10),10) B．eq \f(3\r(10),10)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
解析：如图：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，
不妨令AB＝2，则BC＝CD＝1，作DE⊥AB于点E，可得AD＝eq \r(2)，
AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(5).
在△ACD中，由余弦定理可得：
cs∠DAC＝eq \f(AD2＋AC2－CD2,2AD·AC)＝eq \f(2＋5－1,2×\r(2)×\r(5))
＝eq \f(3\r(10),10).
答案：B
12．在△ABC中，内角B＝60°，边长a＝8，b＝7，则此三角形的面积为( )
A．6eq \r(3) B．9eq \r(3)
C．6eq \r(3)或10eq \r(3) D．9eq \r(3)或10eq \r(3)
解析：由正弦定理得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(8×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(4\r(3),7)，
又因为a＞b，所以cs A＝± eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),7)))2)＝±eq \f(1,7).
因为sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以当cs A＝eq \f(1,7)时，
sin C＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5\r(3),14)，
S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×8×7×eq \f(5\r(3),14)＝10eq \r(3).
当cs A＝－eq \f(1,7)时，
sin C＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×8×7×eq \f(3\r(3),14)＝6eq \r(3).
答案：C
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，asin B＝eq \r(2)sin C，cs C＝eq \f(1,3)，△ABC的面积为4，则c＝________.
解析：由asin B＝eq \r(2)sin C，得ab＝eq \r(2)c，
由cs C＝eq \f(1,3)，得sin C＝eq \f(2\r(2),3)，则S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(2,3)c＝4，解得c＝6.
答案：6
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btan B＋btan A＝－2ctan B，且a＝8，△ABC的面积为4eq \r(3)，则b＋c的值为________．
解析：由正弦定理，原等式可化为sin B·eq \f(sin B,cs B)＋sin B·eq \f(sin A,cs A)＝－2sin C·eq \f(sin B,cs B)，进一步化为cs Asin B＋sin Acs B＝－2sin Ccs A，则sin(A＋B)＝－2sin Ccs A，即cs A＝－eq \f(1,2).在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，由面积公式S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝4eq \r(3)，可知bc＝16，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－bc，得b＋c＝4eq \r(5).
答案：4eq \r(5)
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cs C(acs B＋bcs A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．
解析：(1)2cs C(acs B＋bcs A)＝c，
由正弦定理得：2cs C(sin A·cs B＋sin B·cs A)＝sin C，
即2cs C·sin(A＋B)＝sin C.
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sin C＞0，
所以2cs C＝1，cs C＝eq \f(1,2).
因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab·cs C，
7＝a2＋b2－2ab·eq \f(1,2)，(a＋b)2－3ab＝7，
S＝eq \f(1,2)ab·sin C＝eq \f(\r(3),4)ab＝eq \f(3\r(3),2)，所以ab＝6，
所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋eq \r(7).
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6))).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解析：(1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，得asin B＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，即sin B＝cs(B－eq \f(π,6))，可得tan B＝eq \r(3).又因为B∈(0，π)，可得B＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq \f(π,3)，有b2＝a2＋c2－2accs B＝7，故b＝eq \r(7).
由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得sin A＝eq \f(\r(3),\r(7)).因为a＜c，故cs A＝eq \f(2,\r(7)).
因此sin 2A＝2sin Acs A＝eq \f(4\r(3),7)，cs 2A＝2cs2A－1＝eq \f(1,7).
所以sin(2A－B)＝sin 2Acs B－cs 2Asin B＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)－eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).