人教版新课标A必修52.2 等差数列第1课时当堂达标检测题

这是一份人教版新课标A必修52.2 等差数列第1课时当堂达标检测题，共6页。

[A组 学业达标]
1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－a B.eq \f(b－a,2)
C.eq \f(b－a,3) D.eq \f(b－a,4)
解析：由等差数列的通项公式，
得b＝a＋(4－1)d，所以d＝eq \f(b－a,3).
答案：C
2．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
解析：设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
答案：A
3．等差数列{an}满足a1＝39，a1＋a3＝74，则通项公式an＝( )
A．－2n＋41 B．－2n＋39
C．－n2＋40n D．－n2－40n
解析：因为等差数列{an}满足a1＝39，a1＋a3＝74，所以39＋39＋2d＝74，解得d＝－2.
所以通项公式an＝39＋(n－1)×(－2)＝－2n＋41.
答案：A
4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则2a9－a10的值为( )
A．6 B．8
C．12 D．13
解析：在等差数列{an}中，
因为a1＋3a8＋a15＝60，
所以a1＋3(a1＋7d)＋a1＋14d＝5(a1＋7d)＝60，所以a1＋7d＝12，
2a9－a10＝2(a1＋8d)－(a1＋9d)＝a1＋7d＝12.
答案：C
5．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cs B＝________.
解析：∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq \f(π,3)，cs B＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
6．在等差数列{an}中，a1＝3，d＝2，an＝25，则n＝________.
解析：an＝25＝3＋2(n－1)，解得n＝12.
答案：12
7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a9＝12，则a3＋a7＝________.
解析：在等差数列{an}中，a2＋a4＋a9＝12，所以a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝3(a1＋4d)＝3a5＝12，解得a5＝4，则a3＋a7＝2a5＝8.
答案：8
8．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
解析：由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123.
又因为n为正整数，所以共有38项．
9．已知a，b，c成等差数列，试判断a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列．
证明：∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b，
∴b2(c＋a)＝2b3.
而a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
＝b[(a＋c)2－2ac]＋2abc
＝b(a＋c)2＝4b3，
故2b2(c＋a)＝a2(b＋c)＋c2(a＋b)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．
[B组 能力提升]
10．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝a＋b，,2b＝x＋2x，))所以a＝eq \f(x,2)，b＝eq \f(3,2)x.
所以eq \f(a,b)＝eq \f(1,3).
答案：C
11．设集合A1＝{a1}，A2＝{a2，a3}，A3＝{a4，a5，a6}，A4＝{a7，a8，a9，a10}，…，其中{an}为公差大于0的等差数列，若A2＝{3,5}，则199属于( )
A．A12 B．A13
C．A14 D．A15
解析：因为{an}为公差大于0的等差数列，
A2＝{a2，a3}＝{3,5}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a1＋d＝3，,a3＝a1＋2d＝5，))
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
由an＝2n－1＝199，解得n＝100，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝91，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＝105，
所以199∈A14.
答案：C
12．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为eq \f(1,4)的等差数列，则m＋n的值为________．
解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m＞0,1－4n＞0)．
设数列的首项为x1，则数列的第4项为x2.
由题意知x1＝eq \f(1,4).
∴x2＝eq \f(3,4)，数列的公差d＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq \f(1,6)，
∴数列的中间两项分别为eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,12)，eq \f(5,12)＋eq \f(1,6)＝eq \f(7,12).
∴m＝x1x2＝eq \f(3,16)，n＝x3x4＝eq \f(5,12)×eq \f(7,12)＝eq \f(35,144).
∴m＋n＝eq \f(3,16)＋eq \f(35,144)＝eq \f(31,72).
答案：eq \f(31,72)
13．下表是一个有i行j列的表格．已知每行、每列都成等差数列，
其中ai，j表示表格中第i行第j列的数，则a4,5＝________，ai，j＝________.
解析：根据表格中每行、每列都是等差数列，该表格的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1，j＝4＋3(j－1)，
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2，j＝7＋5(j－1)，
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，
因此ai，j＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j.
可得a4,5＝2×4×5＋4＋5＝49.
答案：49 2ij＋i＋j
14．已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,5)，且当n＞1，n∈N*时，有an－1－an－4an－1an＝0.
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))为等差数列；
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
解析：(1)证明：很显然，数列中的各项均不为0，当n≥2时，an－1－an－4an－1an＝0，两边同除以an－1an，
得eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4，即eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4对n＞1，n∈N*成立，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以eq \f(1,a1)＝5为首项，4为公差的等差数列．
(2)由(1)得eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝4n＋1，
所以an＝eq \f(1,4n＋1)，所以a1a2＝eq \f(1,5)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,45).
设a1a2是数列{an}的第t项，
则eq \f(1,4t＋1)＝eq \f(1,45)，解得t＝11∈N*.
所以a1a2是数列{an}的第11项．
4
7
a1,3
…
a1，j
7
12
a2,3
…
a2，j
a3,1
a3,2
a3,3
…
a3，j
…
…
…
…
…
ai,1
ai,2
ai,3
…
ai，j