高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列第1课时同步练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列第1课时同步练习题，共6页。

[A组 学业达标]
1．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－eq \f(1,2)，则a6等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.eq \f(1,2)
解析：由题知a6＝a1q5＝32×(－eq \f(1,2))5＝－1，故选B.
答案：B
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81
C．128 D．243
解析：∵{an}为等比数列，∴eq \f(a2＋a3,a1＋a2)＝q＝2.
又a1＋a2＝3，
∴a1＝1.故a7＝1×26＝64.
答案：A
3．已知数列{an}满足：eq \f(an＋1,an＋1＋1)＝eq \f(1,2)，且a2＝2，则a4等于( )
A．－eq \f(1,2) B．23
C．12 D．11
解析：因为数列{an}满足：eq \f(an＋1,an＋1＋1)＝eq \f(1,2)，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是等比数列，公比为2.则a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.
答案：D
4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a3＝( )
A．－10 B．－6
C．－8 D．－4
解析：因为等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，
所以aeq \\al(2,3)＝a1a4，所以aeq \\al(2,3)＝(a3－4)(a3＋2)，
解得a3＝－4.
答案：D
5．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A.eq \r(2) B．4
C．2 D.eq \f(1,2)
解析：因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以aeq \\al(2,3)＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，所以公比q＝eq \f(a3,a1)＝eq \f(4d,2d)＝2.
答案：C
6．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
答案：5
7．数列{an}为等比数列，an>0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝________.
解析：由a1·a5＝16，a4＝8，得aeq \\al(2,1)q4＝16，a1q3＝8，所以q2＝4，又an>0，故q＝2，a1＝1，an＝2n－1.
答案：2n－1
8．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是________．
解析：设公比为q，则8q6＝5 832，所以q6＝729，所以q2＝9，所以a5＝8q4＝648.
答案：648
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝eq \f(8,27).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－eq \f(16,81)是否为该数列的项？若是，为第几项？
解析：(1)∵2an＝3an＋1，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2,3)，数列{an}是公比为eq \f(2,3)的等比数列，又a2·a5＝eq \f(8,27)，∴aeq \\al(2,1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，由于各项均为负，故a1＝－eq \f(3,2)，an＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－2.
(2)设an＝－eq \f(16,81)，则－eq \f(16,81)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－2，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4，∴n＝6，
∴－eq \f(16,81)是该数列的项，为第6项．
10．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16.
(1)求公比q；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{bn}的通项公式．
解析：(1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a1q＝4，,a4＝a1q3＝16，))
所以q2＝4，又q＞0，所以q＝2.
(2)由(1)可得an＝2n.
所以b3＝a3＝8，b5＝a5＝32.
设等差数列{bn}的公差为d，
则d＝eq \f(32－8,5－3)＝12，
所以bn＝8＋(n－3)×12＝12n－28.
[B组 能力提升]
11．等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{an}的公比等于( )
A．3 B．2或3
C．2 D．6
解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2－3a1q＝2，,25a1q3＝12a1q2＋2a1q4，))
解得a1＝－1，q＝2.
所以{an}的公比等于2.
答案：C
12．已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，eq \f(1,2)a5，a4成等差数列，则eq \f(a3＋a5,a4＋a6)的值是( )
A.eq \f(\r(5)－1,2) B．eq \f(\r(5)＋1,2)
C.eq \f(3－\r(5),2) D.eq \f(3＋\r(5),2)
解析：设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
因为a3，eq \f(1,2)a5，a4成等差数列，
所以2×eq \f(1,2)a5＝a3＋a4，则a3q2＝a3＋a3q，
化简得，q2－q－1＝0，解得q＝eq \f(1±\r(5),2)，
则q＝eq \f(\r(5)＋1,2)，
所以eq \f(a3＋a5,a4＋a6)＝eq \f(a3＋a5,a3q＋a5q)＝eq \f(1,q)＝eq \f(2,\r(5)＋1)＝eq \f(\r(5)－1,2).
答案：A
13．在等比数列{an}中，an∈R，且a3，a11是方程3x2－25x＋27＝0的两根，则a7＝________.
解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a11＝\f(25,3)，,a3·a11＝9，))
所以a3＞0，a11＞0，且aeq \\al(2,7)＝a3a11＝9.所以a7＝3.
答案：3
14．等比数列{an}中，若a2a5＝2a3，a4与a6的等差中项为eq \f(5,4)，则a1＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
因为a2a5＝2a3，
所以aeq \\al(2,1)q5＝2a1q2，化为：a1q3＝2＝a4.
因为a4与a6的等差中项为eq \f(5,4)，
所以a4＋a6＝2×eq \f(5,4)，
所以a4(1＋q2)＝eq \f(5,2).
所以q2＝eq \f(1,4)，解得q＝±eq \f(1,2).
则a1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(1,8)))＝2，解得a1＝±16.
答案：±16
15．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝eq \f(4an,an＋2)(n∈N*)．
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,2)))是等比数列；
(2)求an的通项公式．
解析：(1)证明：∵an＋1＝eq \f(4an,an＋2)，
∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,4an)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2an)，
∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,2))).
又a1＝1，∴eq \f(1,a1)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,2)))是以eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列．
(2)由(1)可知eq \f(1,an)－eq \f(1,2)＝(eq \f(1,2))×(eq \f(1,2))n－1，
∴eq \f(1,an)＝eq \f(1,2n)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1＋2n－1,2n)，∴an＝eq \f(2n,1＋2n－1).
16．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若a5＝eq \f(1,32)，求λ.
解析：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝eq \f(1,1－λ)，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即(λ－1)an＋1＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(λ,λ－1).
因此{an}是首项为eq \f(1,1－λ)，公比为eq \f(λ,λ－1)的等比数列，于是an＝eq \f(1,1－λ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))n－1.
(2)由(1)可知，a5＝－eq \f(λ4,λ－15)＝eq \f(1,32)，
∴λ＝－1.