高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列第2课时课时作业

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[A组 学业达标]
1．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝( )
A．3 B．6
C．27 D．9
解析：在等比数列{an}中，由a4a5a6＝27，得aeq \\al(3,5)＝27，得a5＝3，所以a1a9＝aeq \\al(2,5)＝9，故选D.
答案：D
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若anan＋1＝22n＋1，则a5＝( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4aeq \\al(2,5)a6＝220，
结合等比数列的性质得，aeq \\al(4,5)＝220，数列的各项均为正数，则a5＝25＝32.
答案：D
3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )
A．16 B．32
C．64 D．256
解析：由已知，得a1a19＝16.
∵a1·a19＝a8·a12＝aeq \\al(2,10)，
∴a8·a12＝aeq \\al(2,10)＝16.
an＞0，∴a10＝4，
∴a8·a10·a12＝aeq \\al(3,10)＝64.
答案：C
4．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
解析：{an＋bn}不一定是等比数列，如an＝1，bn＝－1，因为an＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p，q，则eq \f(an＋1bn＋1,anbn)＝eq \f(an＋1,an)·eq \f(bn＋1,bn)＝pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列．故选C.
答案：C
5．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于( )
A．10 B．25
C．50 D．75
解析：利用等比数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq，可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，∴a8·a9·a10·a11＝25.
答案：B
6．设数列{an}为公比q＞1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析：由题意得a4＝eq \f(1,2)，a5＝eq \f(3,2)，∴q＝eq \f(a5,a4)＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(eq \f(1,2)＋eq \f(3,2))×32＝18.
答案：18
7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
解析：由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴aeq \\al(2,3)＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，
∴a2＝－6.
答案：－6
8．等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为________．
解析：由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q4－a1＝60，①,a1q3－a1q＝24，②))
eq \f(①,②)得eq \f(a1q4－1,a1qq2－1)＝eq \f(5,2)，即eq \f(q2＋1,q)＝eq \f(5,2)，
解得q＝eq \f(1,2)或2，
当q＝2时，代入①得a1＝4，{an}是递增数列；
当q＝eq \f(1,2)时，代入①得a1＝－64，{an}也是递增数列．
综上可知，公比q能取2或eq \f(1,2).
答案：2或eq \f(1,2)
9．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于eq \f(7,12)，求这三个数．
解析：设三个数为eq \f(a,q)，a，aq(a，q＞0)，
由题eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,q)＋a＋aq＝21，,\f(q,a)＋\f(1,a)＋\f(1,aq)＝\f(7,12)，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a\f(1,q)＋1＋q＝21，,\f(1,a)q＋1＋\f(1,q)＝\f(7,12)))⇒a2＝21×eq \f(12,7)＝36，
∴a＝6，q＝2或eq \f(1,2)，
∴三个数为3,6,12或12,6,3.
10．和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
解析：设等差数列的首项为a，公差为d，则它的第1,4,25项分别为a，a＋3d，a＋24d，∵它们成等比数列∴(a＋3d)2＝a(a＋24d)，∴a2＋6ad＋9d2＝a2＋24ad.
∴9d2＝18ad，∵等比数列的公比不为1，∴d≠0，∴d＝2a.①
由题意知：a＋(a＋3d)＋(a＋24d)＝114，即3a＋27d＝114，②
由①②可以解得，a＝2，d＝4，∴这三个数就是2,14,98.
[B组 能力提升]
11．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a2＝bc，))消去a得4b2－5bc＋c2＝0.
∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，
代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.
答案：D
12．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.eq \f(3,2) B．eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则eq \f(a2a4a6a8a10,a1a3a5a7a9)＝q5＝32，则q＝2，故选C.
答案：C
13．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________.
解析：因为等比数列{an}为递增数列且a1＝－2＜0，所以0＜q＜1，将3(an＋an＋2)＝10an＋1两边同除以an可得3(1＋q2)＝10q，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝eq \f(1,3)，而0＜q＜1，所以q＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
14．在各项均为正数的等比数列{an}中，am－1am＋1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2m－1＝512，则m的值为________．
解析：由等比数列的性质，am－1am＋1＝aeq \\al(2,m)＝2am，各项均为正数，则am＝2.又T2m－1＝(am)2m－1＝22m－1＝512，则2m－1＝9，知m＝5.
答案：5
15．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a50，a51是方程100(lg x)2＝lg(100 x)的两个不同的解，求a1a2…a100的值．
解析：对k＝50,51，有100(lg ak)2＝lg(100ak)＝2＋lg ak，即100(lg ak)2－lg ak－2＝0.
因此，lg a50，lg a51是一元二次方程100t2－t－2＝0的两个不同实根，
从而lg(a50a51)＝lg a50＋lg a51＝eq \f(1,100)，
即a50a51＝.
由等比数列的性质知，a1a2…a100＝(a50a51)50＝(1)50＝eq \r(10).
16．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解析：(1)设{an}的公比为q(q≠0)，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq \r(2)，q2＝2－eq \r(2)，所以{an}的通项公式为an＝(2＋eq \r(2))n－1或an＝(2－eq \r(2))n－1，(n≥1)．
(2)设{an}的公比为q(q≠0)，则由beq \\al(2,2)＝b1b3得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，即aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根，由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝eq \f(1,3).