高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式第2课时同步训练题

这是一份高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式第2课时同步训练题，共7页。

[A组 学业达标]
1．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则eq \f(a＋b2,cd)的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：eq \f(a＋b2,cd)＝eq \f(x＋y2,xy)≥eq \f(4xy,xy)＝4，当且仅当x＝y时等号成立．
答案：D
2．已知a＞0，b＞0，且ab＝2，那么( )
A．a＋b≥2 B．a＋b≤2
C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4
解析：因为a＞0，b＞0，且ab＝2，所以a2＋b2≥2ab＝4.
答案：C
3．已知函数f(x)＝2x＋eq \f(1,2x＋2)，则f(x)取最小值时对应的x的值为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C．0 D．1
解析：因为2x＞0，
所以2x＋eq \f(1,2x＋2)≥2eq \r(2x·\f(1,2x＋2))＝1，
当且仅当2x＝eq \f(1,2x＋2)，即x＝－1时等号成立．
答案：A
4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
解析：设每件产品的平均费用为y元，
由题意得y＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.
当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)(x＞0)，即x＝80时等号成立．
答案：B
5．已知x＞0，y＞0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．－4＜m＜2 B．－2＜m＜4
C．m≥4或m≤－2 D．m≥2或m≤－4
解析：x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝4＋eq \f(x,y)＋eq \f(4y,x)≥4＋2eq \r(\f(x,y)·\f(4y,x))＝8，当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(4y,x)，即x＝2y时取等号，所以m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2.
答案：A
6．已知x＞0，y＞0，x＋y2＝4，则lg2x＋2lg2y的最大值为________．
解析：因为实数x，y＞0，x＋y2＝4，
所以4＝x＋y2≥2eq \r(xy2)，化为xy2≤4，当且仅当x＝2，y＝eq \r(2)时取等号．
则lg2x＋2lg2y＝lg2(xy2)≤lg24＝2.
因此lg2x＋2lg2y的最大值是2.
答案：2
7．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是________．
解析：由a∥b知2x＋3y＝3，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)＋\f(2,y)))(2x＋3y)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋\f(9y,x)＋\f(4x,y)))≥8，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9y,x)＝\f(4x,y)，,2x＋3y＝3))
即x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,2)时等号成立．
答案：8
8．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂与仓库之间的距离为________千米时，运费和仓储费之和最小，最小值为________万元．
解析：设工厂与仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝eq \f(k2,x).
因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
所以k1＝5，k2＝20，
所以运费和仓储费之和为5x＋eq \f(20,x).
因为5x＋eq \f(20,x)≥2eq \r(5x×\f(20,x))＝20，当且仅当5x＝eq \f(20,x)，即x＝2时，运费和仓储费之和最小值为20万元．
答案：2 20
9．(1)若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≥4.
(2)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，求2x＋y的最大值．
解析：(1)证明：因为x＞0，y＞0，x＋y＝1，
所以xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝eq \f(1,4).
所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(x＋y,xy)＝eq \f(1,xy)≥4.
(2)因为4x2＋y2＋xy＝1，
所以4x2＋y2＝1－xy＞4xy，
所以xy≤eq \f(1,5).
所以(2x＋y)2＝4x2＋y2＋4xy＝1＋3xy≤eq \f(8,5)，
所以－eq \f(2\r(10),5)≤2x＋y≤eq \f(2\r(10),5).
所以2x＋y的最大值是eq \f(2\r(10),5).
10．围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解析：(1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，
由已知ax＝360，
得a＝eq \f(360,x)，
所以y＝225x＋eq \f(3602,x)－360(x＞2)．
(2)因为x＞0，所以225x＋eq \f(3602,x)≥2eq \r(225×3602)＝10 800，
所以y＝225x＋eq \f(3602,x)－360≥10 440，当且仅当225x＝eq \f(3602,x)时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
[B组 能力提升]
11．若两个正实数x，y满足eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，且不等式x＋eq \f(y,4)＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：因为不等式x＋eq \f(y,4)＜m2－3m有解，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))min＜m2－3m，
因为x＞0，y＞0，
且eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，
所以x＋eq \f(y,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))
＝eq \f(4x,y)＋eq \f(y,4x)＋2≥2eq \r(\f(4x,y)·\f(y,4x))＋2＝4，
当且仅当eq \f(4x,y)＝eq \f(y,4x)，
即x＝2，y＝8时取等号．
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,4)))min＝4，
故m2－3m＞4，
即(m＋1)(m－4)＞0，
解得m＜－1或m＞4，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：B
12．已知实数a，b，c满足条件a＞b＞c且a＋b＋c＝0，abc＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正负不确定
解析：因为a＞b＞c且a＋b＋c＝0，abc＞0，
所以a＞0，b＜0，c＜0，且a＝－(b＋c)，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝－eq \f(1,b＋c)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).
因为b＜0，c＜0，所以b＋c≤－2eq \r(bc)，
所以－eq \f(1,b＋c)≤eq \f(1,2\r(bc))，又eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≤－2eq \r(\f(1,bc))，
所以－eq \f(1,b＋c)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≤eq \f(1,2\r(bc))－2eq \r(\f(1,bc))＝－eq \f(3,2\r(bc))＜0，故选B.
答案：B
13．若a，b∈R，ab＞0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．
解析：∵a，b∈R，且ab＞0，
∴eq \f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq \f(4a2b2＋1,ab)≥eq \f(4ab,ab)＝4，
又∵ab＞0时，当且仅当a＝eq \r(2)b且ab＝eq \f(1,2)时取等号，
∴原式的最小值为4.
答案：4
14．设a，b＞0，a＋b＝5，则eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3)的最大值为________．
解析：令t＝eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3)，
则t2＝(eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋3))2
＝a＋1＋b＋3＋2eq \r(a＋1)·eq \r(b＋3)≤9＋a＋1＋b＋3＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝eq \f(7,2)，b＝eq \f(3,2)时，等号成立．
即t的最大值为3eq \r(2).
答案：3eq \r(2)
15．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.
证明：因为eq \f(a2,b)＋b≥2a，eq \f(b2,c)＋c≥2b，eq \f(c2,a)＋a≥2c，
所以eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c，
∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.
16．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．
问哪种方案最合算？为什么？
解析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则
f(n)＝50n－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12n＋\f(nn－1,2)×4))－72＝－2n2＋40n－72.
(1)获利就是要求f(n)＞0，
所以－2n2＋40n－72＞0，
解得2＜n＜18.
由n∈N知，从第三年开始获利．
(2)①年平均利润为eq \f(fn,n)＝40－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(36,n)))≤16.
当且仅当n＝6时取等号，
故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6.
②f(n)＝－2(n－10)2＋128.
当n＝10时，f(n)max＝128.
故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)．
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案．