2021年高考艺术生数学基础复习 考点43 椭圆（教师版含解析）

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考点43 椭圆
知识理解

一．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
二．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.
三． 椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1 (a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2


四． 直线与椭圆的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
五．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|=；
②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)= .
考向分析
考向一 椭圆的定义及应用
【例1-1】(2021·全国课时练习)下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.
【答案】②
【解析】①中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在；
②中，因为，所以点P的轨迹是线段；
③中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即.
故答案为：②
【例1-2】．(2021·上海市奉贤中学)若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点A，B，为椭圆下焦点，则三角形的周长为___________.
【答案】16
【解析】在椭圆中，
由椭圆的定义得
所以即
故答案为：16


【例1-3】(2021·安徽六安市·六安一中高三月考(理))已如是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于( )
A．24 B．26 C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆方程可得焦点在轴上，，，，
由椭圆定义可得，
又，则可解得，
，满足，则，
.故选：A.
【举一反三】
1．(2021·广西桂林市)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为_____.
【答案】8
【解析】由，得，由椭圆的定义可得到该椭圆的两个焦点的距离之和为.
故答案为：
2．(2021·浙江高三其他模拟)已知椭圆上一点到其左焦点的距离为1，则的中点到坐标原点的距离为( )
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】易知椭圆的标准方程为．设椭圆的长轴长为，则，设椭圆的右焦点为，连接，则由椭圆的定义得．在中，易知为的中位线，所以，故选：B．
3．(2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中)已知是椭圆上的任意一点，若，则___________.
【答案】4
【解析】由椭圆的方程知：，
由椭圆的定义知：，
所以
故答案为：
4．(2021·陕西安康市)已知点，P为椭圆上的动点，B是圆上的动点，则的最大值为___________.
【答案】2
【解析】由椭圆，可得，
设右焦点为，
因为P为椭圆上的动点，B是圆上的动点，
所以
，
，
当且仅当共线时取等号，，
故答案为：2.
5．(2021·全国课时练习)已知是椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，且，则的面积是______.
【答案】
【解析】在椭圆中，，，，
由椭圆的定义可得，，
在中，，
由余弦定理可得，解得，因此，.故答案为：.
考向二 椭圆的标准方程
【例2-1】(2021·全国单元测试)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为．
∵∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，
故所求的椭圆的标准方程为．故选：B．
【例2-2】(2021·黑龙江大庆市)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意程表示焦点在轴上的椭圆列不等式，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D
【举一反三】
1．(2021·全国课时练习)经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可知且椭圆焦点在轴上，故椭圆方程为.故选：A
2．(2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)
【答案】D
【解析】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆，
所以 ，即 ，所以实数的取值范围是．故选：D．
3．(2021·湖南岳阳市·岳阳一中)椭圆的一个焦点是，那么( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆上的一个焦点为，在轴上，所以，所以则.故选：B
4．(2021·浙江丽水市)“”是“曲线表示椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为曲线为椭圆，所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B

考向三 直线与椭圆的位置关系
【例3】(2021·全国课时练习)已知椭圆与直线有公共点，则实数 的取值范围是 _______ .
【答案】
【解析】由，得．
因为直线与椭圆有公共点，所以，
即，解得．
故答案为：．
【举一反三】
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．
【答案】　[1,5)∪(5，＋∞)
【解析】方法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.
方法二　由消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
2．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．
【答案】相交
【解析】由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
3．(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
(1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求m的取值范围.
【解析】(1)由已知得，，解得，， 椭圆的标准方程为．
(2)由，解方程组并整理得，
有两个不同的交点． 解不等式得．
考向四 弦长
【例4】(2020·上海市进才中学高二月考)过椭圆的左焦点，斜率为的直线被椭圆截得的弦长为________．
【答案】
【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为
椭圆的左焦点为所以直线的方程为
则所以
所以该直线别椭圆所截的弦长为故答案为：
【举一反三】
1．(2021·全国课时练习)求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆所截得的线段的长度．
【答案】
【解析】过点(3，0)且斜率为的直线方程为，
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得，
即x2－3x－8＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.
∴.
2．(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
(1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线与这个椭圆交于､两不同的点，若，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由已知得，则又因为，
所以椭圆的标准方程
(2)由消除得
因为有两个不同的交点，所以
得的取值范围为
由韦达定理得： ，
所以解得
考向五 离心率
【例5】(2021·全国课时练习)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴，即椭圆的离心率.故选：A

【举一反三】
1．(2021·全国高三月考(文))已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，若△为等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】由△为等腰三角形知：
当，而，则，整理得，
解得或(舍)，而，故，
此时；
当，而，则，整理得，
解得或(舍)，而，
故，此时；
故选：D.
2．(2021·浙江高三其他模拟)已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，是坐标原点，，则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据以及，得，于是，所以，又，所以．在中，由余弦定理，得，即，所以，因为，所以椭圆的离心率．故选D
3．(2021·江苏启东市)已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，即，所以
所以离心率.故选：A
强化练习

1．(2021·江西高三其他模拟(文))如图，是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点且，，则( )

A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】由可得：
因为，所以点是线段的中点，
设椭圆的右焦点为，则是的中点，
所以，
由椭圆的定义可知：，
所以，
故选：A.
2．(2021·全国课时练习)已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝( )
A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3
【答案】C
【解析】由＝1可知，，所以，
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(2，y)，
把P(2，y)代入椭圆，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：C
3．(2021·上海市莘庄中学)平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ，且为常数)成立是定值．
若动点到两定点的距离之和 ，且为常数)，当，此时的轨迹不是椭圆．
甲是乙的必要不充分条件．
故选：．
4．(2021·重庆)已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点是椭圆上位于第一象限的点，，
所以，为锐角，
因为是顶角为的等腰三角形，但，故，
所以，，
由余弦定理可得，
由椭圆定理可得，故.
故选：A.
5．(2021·江苏南通市)设，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，若焦点在轴上，，则，椭圆上存在点满足，如图所示，则，即，所以，即，得；若焦点在轴上，，则，则，即，所以，即，得；
所以的取值范围是.
故选：C.

6．(2021·江西高三其他模拟(文))若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为( )
A．9 B．6 C．4 D．1
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点在轴上，
所以，，所以，
所以，解得.
故选：C
7．(2021·福建龙岩市)已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：椭圆的一个焦点为，，，
，椭圆方程为．故选：．
8．(2021·江西赣州市)已知椭圆的右焦点为，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为右焦点为，故焦点在轴上且，故，故选：C.
9．(2021·广西百色市)“”是“方程表示焦点在轴的椭圆”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，
则满足，解得；
又由当则必有，但若则不一定有成立，
所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件．
故选：B．
10．(2021·河南郑州市)设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在椭圆中，，，则，所以，，
设点，则，可得，
，解得，，
因此，的面积为.
故选：D.
11．(2021·全国高三专题练习)已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，点在以为直径端点的圆上，
由此可得该圆的半径，，即，
，.
故选：A.
12．(2020·江苏)若椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，即，
由椭圆的离心率，解得：，
∴椭圆的标准方程：
故选：B
13．(2021·全国课时练习)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且，
因此椭圆的方程是.
故选：C
14．(多选)(2021·山东滨州市·高三一模)已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是( )
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足
D．若的面积为，则点的横坐标为
【答案】BD
【解析】由题意，，，，，短轴一个顶点，
，A错；
设，则，，
所以，B正确；
因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；
，，，则，，D正确．
故选：BD．
15．(多选)(2020·武冈市第二中学)已知点在直线上，则圆锥曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】∵在直线上，所以,
即,解得或,
当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率,
当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，,
故选:AC.
16．(多选)(2021·山东聊城市)已知五个数1，，，，16成等比数列，则曲线的离心率可以是( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由题意，，，曲线方程为或，
方程为时，离心率为，
方程为，离心率为．
故选：AC．
17．(2021·陕西西安市·高三月考(理))已知椭圆左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．
【答案】
【解析】如下图所示：

由已知条件可知，在中，，，，
则，
由椭圆的定义可得，即，.
故答案为：.
18．(2021·安徽芜湖市·)已知F1，F2为椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，，则___________.
【答案】
【解析】由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，
所以，
解得3|PF1|·|PF2|＝4，即，
故答案为：
19．(2021·上海市西南位育中学)已知Р为椭圆上的点，、，是椭圆的两个焦点，且，则_____
【答案】
【解析】由椭圆，可得、
由条件可得
由余弦定理可得
所以，即
所以
故答案为：
20．(2021·江苏南通市)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为____________.
【答案】1
【解析】由已知得，，
因为，所以，
所以，
所以当三点共线时，最小，
即.故答案为：1.
21．(2021·广西百色市)已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则，

．
在直角三角形中，令，则
由椭圆定义得椭圆的离心率．
故答案为：．
22．(2021·内蒙古赤峰市·高三期末(理))已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为__________．
【答案】
【解析】由已知得，所以，
由椭圆定义得，
由余弦定理得，
即，
，
则的面积为.
故答案为：.
23．(2021·广东梅州市)已知过点的椭圆C的焦点分别为，，则椭圆C的标准方程是___________.
【答案】
【解析】由题意，，所以,
所以椭圆方程为．
故答案为：．
24．(2021·安徽省临泉第一中学)椭圆的离心率等于______.
【答案】
【解析】由题意，所以，离心率为．故答案为：．
25．(2021·湖南常德市一中高三月考)写一个离心率是椭圆的离心率4倍且焦点在轴上的双曲线标准方程：___________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】有椭圆方程可知，，则，所以椭圆的离心率，则双曲线的离心率，则双曲线中，即，得，令，则，所以满足条件的一个双曲线方程是.
故答案为：(答案不唯一)
26．(2020·全国高三专题练习)过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为__________．
【答案】
【解析】根据题意，圆的标准方程为，其圆心为，半径，
过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线经过圆的圆心，
故直线的斜率；
故答案为：．
27．(2021·六安市裕安区新安中学)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于､两点，求中点的坐标．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆定义知，
，
所以，所以，
所求椭圆标准方程为．
(2)设直线与椭圆的交点为，，
联立方程，得，
得，．
设的中点坐标为，则，，
所以中点坐标为．
28．(2021·河南高三月考(文))已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过的直线l与C交于A，B两点，若，求．
【答案】(1)；(2)．
【解析】解：(1)因为椭圆C过点，
所以．①
又椭圆C的离心率为，所以，
故．②
联立①②得解得故椭圆C的标准方程为．
(2)当直线l的斜率不存在时，，所以，
故直线l的斜率存在，设直线．
联立消去y并整理得，
则．
，
同理．
因为，解得，
所以，
又因为，所以．
29．(2021·吉林长春市·高三二模(文))已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为为坐标原点，
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)设椭圆半焦距为由题意可知，
由离心率有，
所以椭圆方程为，
(2)设直线，联立方程组，
消去得，
设，
有，
由，
所以的面积，
函数，令，
则，
因为，所以，。
所以在上单调递增，
因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为．
30．(2020·洮南市第一中学)设椭圆: 过点，离心率为．
(1)求的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由题意得，，
因为，所以解得，
所以的方程为，
(2)由题意可得直线方程为，设直线与椭圆交于，
将代入椭圆方程得，，即，
所以，
所以