2021年高考艺术生数学基础复习 考点43 椭圆（学生版）

考点43  椭圆

一．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.

二．椭圆的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.

三．椭圆的几何性质

四．直线与椭圆的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．

例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

五．弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：

①|AB|＝|x1－x2|=；

②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)= .

考向一 椭圆的定义及应用

【例1-1】(2021·全国课时练习)下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；

②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；

③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆.

【例1-2】．(2021·上海市奉贤中学)若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点A，B，为椭圆下焦点，则三角形的周长为___________.

【例1-3】(2021·安徽六安市·六安一中高三月考(理))已如是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于(    )

A．24 B．26 C． D．

【举一反三】

1．(2021·广西桂林市)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两焦点距离之和为_____.

2．(2021·浙江高三其他模拟)已知椭圆上一点到其左焦点的距离为1，则的中点到坐标原点的距离为(    )

A．3 B． C．1 D．

3．(2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中)已知是椭圆上的任意一点，若，则___________.

4．(2021·陕西安康市)已知点，P为椭圆上的动点，B是圆上的动点，则的最大值为___________.

5．(2021·全国课时练习)已知是椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，且，则的面积是______.

考向二 椭圆的标准方程

【例2-1】(2021·全国单元测试)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是(    )

A． B．

C． D．

【例2-2】(2021·黑龙江大庆市)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2021·全国课时练习)经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为(    )

A． B． C． D．

2．(2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(    )

A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)

3．(2021·湖南岳阳市·岳阳一中)椭圆的一个焦点是，那么(    )

A． B． C． D．

4．(2021·浙江丽水市)“”是“曲线表示椭圆”的(    )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考向三 直线与椭圆的位置关系

【例3】(2021·全国课时练习)已知椭圆与直线有公共点，则实数 的取值范围是 _______ .

【举一反三】

1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．

2．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．

3．(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.

(1)求这个椭圆的标准方程；

(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求m的取值范围.

考向四 弦长

【例4】(2020·上海市进才中学高二月考)过椭圆的左焦点，斜率为的直线被椭圆截得的弦长为________．

【举一反三】

1．(2021·全国课时练习)求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆所截得的线段的长度．

2．(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.

(1)求这个椭圆的标准方程；

(2)如果直线与这个椭圆交于､两不同的点，若，求的值.

考向五 离心率

【例5】(2021·全国课时练习)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2021·全国高三月考(文))已知点是椭圆上的一点，，是椭圆的左、右焦点，若△为等腰三角形，则该椭圆的离心率为(    )

A． B．

C．或 D．或

2．(2021·浙江高三其他模拟)已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，是坐标原点，，则椭圆的离心率是(    )

A． B． C． D．

3．(2021·江苏启东市)已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是(    )

A． B． C． D．

1．(2021·江西高三其他模拟(文))如图，是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点且，，则(    )

A．2 B． C．3 D．4

2．(2021·全国课时练习)已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(    )

A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3

3．(2021·上海市莘庄中学)平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(   )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．(2021·重庆)已知椭圆在第一象限上的一点与椭圆的左、右焦点、恰好构成顶角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为(    )

A． B． C． D．

5．(2021·江苏南通市)设，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

6．(2021·江西高三其他模拟(文))若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为(    )

A．9 B．6 C．4 D．1

7．(2021·福建龙岩市)已知椭圆的一个焦点为，则这个椭圆的方程是(    )

A． B．

C． D．

8．(2021·江西赣州市)已知椭圆的右焦点为，则(    )

A． B． C． D．

9．(2021·广西百色市)“”是“方程表示焦点在轴的椭圆”的(    )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．(2021·河南郑州市)设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为(    )

A． B． C． D．

11．(2021·全国高三专题练习)已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是(    )

A． B． C． D．

12．(2020·江苏)若椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2，且其离心率为，则椭圆的方程为(    )

A． B． C． D．

13．(2021·全国课时练习)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(    )

A．  B． C． D．

14．(多选)(2021·山东滨州市·高三一模)已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是(    )

A．

B．直线与直线的斜率之积为

C．存在点满足

D．若的面积为，则点的横坐标为

15．(多选)(2020·武冈市第二中学)已知点在直线上，则圆锥曲线的离心率为(    )

A． B． C． D．

16．(多选)(2021·山东聊城市)已知五个数1，，，，16成等比数列，则曲线的离心率可以是(    )

A． B． C． D．

17．(2021·陕西西安市·高三月考(理))已知椭圆左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且．则椭圆的离心率________．

18．(2021·安徽芜湖市·)已知F1，F2为椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，，则___________.

19．(2021·上海市西南位育中学)已知Р为椭圆上的点，、，是椭圆的两个焦点，且，则_____

20．(2021·江苏南通市)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为____________.

21．(2021·广西百色市)已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________．

22．(2021·内蒙古赤峰市·高三期末(理))已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，则的面积为__________．

23．(2021·广东梅州市)已知过点的椭圆C的焦点分别为，，则椭圆C的标准方程是___________.

24．(2021·安徽省临泉第一中学)椭圆的离心率等于______.

25．(2021·湖南常德市一中高三月考)写一个离心率是椭圆的离心率4倍且焦点在轴上的双曲线标准方程：___________.

26．(2020·全国高三专题练习)过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为__________．

27．(2021·六安市裕安区新安中学)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于､两点，求中点的坐标．

28．(2021·河南高三月考(文))已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过的直线l与C交于A，B两点，若，求．

29．(2021·吉林长春市·高三二模(文))已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，的周长为为坐标原点，

(1)求椭圆的方程；

(2)求面积的最大值．

30．(2020·洮南市第一中学)设椭圆: 过点，离心率为．

(1)求的方程；

(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.